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1、第八章二次型目录 上页 下页 返回 结束 一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.（我们仅讨论实二次型）（我们仅讨论实二次型）目录 上页 下页 返回 结束 例如：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。目录 上页 下页 返回 结束 只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如为二次型的标准形为二次型的标准形.目录 上页 下页 返回 结束 1用和号表示用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法目录 上页 下页 返回 结束 则（则（1）式可以表示为）式可以表示为二次型用和号表示二次型用和号表示目录 上页 下页 返
2、回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 则则 其中其中 为对称阵：为对称阵：.二次型的矩阵表示式二次型的矩阵表示式说明说明对称阵与二次型一一对应；对称阵与二次型一一对应；若若 ，二次型的矩阵二次型的矩阵 满足：满足：的对角元的对角元 是是 的系数；的系数；的的 元是元是 系数的一半系数的一半.则对称阵则对称阵 称为称为 二次型二次型 的矩阵；二次型的矩阵；二次型 称为对称阵称为对称阵 的的 二次型；二次型；目录 上页 下页 返回 结束 三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任
3、给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系目录 上页 下页 返回 结束 解解例例目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 求二次型求二次型 的矩阵的矩阵解：解：解：解：目录 上页 下页 返回 结束 解：解：目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2：求对称矩阵：求对称矩阵 所对应的二次型。所对应的二次型。解：解：例例3 3：已知二次型：已知二次型 的秩为的秩为2 2，求参数，求参数c c。解：解：目录 上页 下页 返回 结束 四、化二次型为
4、标准形设设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形目录 上页 下页 返回 结束 系数系数矩阵矩阵则线性变换可记作：则线性变换可记作：是可逆矩阵，是可逆矩阵，则称线性变换（则称线性变换（2）是非退化线性变换）是非退化线性变换是正交矩阵，是正交矩阵，则称线性变换（则称线性变换（2）是正交线性变换）是正交线性变换目录 上页 下页 返回 结束 二次型研究的主要问题是：二次型研究的主要问题是：寻找可逆变换寻找可逆变换 ，使，使 这种只含平方项的二次型称为二次型的标这种只含平方项的二次型称为二次型的标准
5、形准形(法式法式).特别地，如果标准形中的系数特别地，如果标准形中的系数 只在只在三个数中取值，那么这个标准形称为二次型三个数中取值，那么这个标准形称为二次型的规范形的规范形.标准形的矩阵是对角阵标准形的矩阵是对角阵.目录 上页 下页 返回 结束 经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有因为有所以所以 与与 的关系为：的关系为：目录 上页 下页 返回 结束 则则因为因为目录 上页 下页 返回 结束 以上说明：以上说明：目录 上页 下页 返回 结束 矩阵的合同关系矩阵的合同关系定义定义 设设 和和 是是 阶矩阵，阶矩阵，若有可逆矩阵若有可逆矩阵 ，使使则
6、称矩阵则称矩阵 与与 合同合同.说明说明 合同关系是一个等价关系合同关系是一个等价关系.设设 与与 合同，若合同，若 是对称阵，则是对称阵，则 也对称阵也对称阵.对称阵一定合同对称阵一定合同,相似与一个对角阵相似与一个对角阵.若若 与与 合同，则合同，则 .经可逆变换经可逆变换 后，二次型的矩阵由后，二次型的矩阵由 变变 为与为与 合同的矩阵合同的矩阵 ,且二次型的秩不变且二次型的秩不变.目录 上页 下页 返回 结束 注释：注释：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）3.“合同合同”定义中，矩阵定义中，矩阵A、B为一般方
7、阵，但实际中，为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系多针对对称矩阵考虑合同关系4.任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵目录 上页 下页 返回 结束 化二次型为标准形化二次型为标准形 对二次型对二次型 作可逆变换作可逆变换 ，相当于对对称阵相当于对对称阵 作合同变换；作合同变换；把二次型化成标准形相当于把对称阵把二次型化成标准形相当于把对称阵 用合用合同变换化成对角阵同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化称为把对称阵合同对角化)，即寻找可逆阵即寻找可逆阵 ,使使 .定理定理 任给二次
8、型任给二次型 ,总总其中其中 是是 的矩阵的矩阵 的特征值的特征值.即任何二次型都可用正交变换化为标准形即任何二次型都可用正交变换化为标准形.存在正交变换存在正交变换 ，使，使 化为标准形化为标准形目录 上页 下页 返回 结束 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤目录 上页 下页 返回 结束 解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例目录 上页 下页 返回 结束 从而得特征值从而得特征值2求特征向量求特征向量3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组目录 上页 下页 返回 结束 4将正交向量组单位化，得
9、正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵目录 上页 下页 返回 结束 于是所求正交变换为于是所求正交变换为目录 上页 下页 返回 结束 解解例例3 3目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型作业目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 任给二次型任给二次型 ,总总其中其中 不一
10、定是不一定是 的矩阵的矩阵 的的特征值特征值.存在满秩变换存在满秩变换 ，使，使 化为标准形化为标准形目录 上页 下页 返回 结束 初等变换化二次型为标准型而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积定理定理 任给二次型任给二次型 ,总总其中其中 可能是可能是 的矩阵的矩阵 的的特征值特征值.存在满秩变换存在满秩变换 ，使，使 化为标准形化为标准形目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 用用 阶单位矩阵阶单位矩阵 及矩阵及矩阵 ，构造，构造每次对矩阵每次对矩阵 做初等行变换后，立即对做初等行变换后，立即对做同类型初等列变换。做同类
11、型初等列变换。经过若干次这样的变换后，当经过若干次这样的变换后，当 化为对角阵时，化为对角阵时，而而 就化为变换矩阵就化为变换矩阵 。目录 上页 下页 返回 结束 惯性定理(Inertia Theorems)一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为实变换，来研究下面我们限定所用的变换为实
12、变换，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 (惯性定理惯性定理)设有二次型设有二次型 ，它，它 的秩为的秩为 ，有两个可逆变换，有两个可逆变换及及使使及及则则正数的个数相等正数的个数相等.中正数的个数与中正数的个数与中中目录 上页 下页 返回 结束 注意注意目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 任给二次型任给二次型 ，总，总有可逆变换有可逆变换 ，使，使 为为规范形规范形.即任何二次型都可用可逆变换化为即任何二次型都可用可逆变换化为规范形规范形.目录 上页 下页 返回 结束 证证 设有二次型设有二次型由定理由定理 知，存在正交变换知
13、，存在正交变换 ，使，使 设二次型设二次型 的秩为的秩为 ，则特征值，则特征值 中恰有中恰有 个个不为不为0，不妨设，不妨设 不等于不等于0，于是，令于是，令其中其中则则 可逆，且变换可逆，且变换 把把 化为化为目录 上页 下页 返回 结束 记记 ，则可逆变换则可逆变换 能把能把 化为规范形化为规范形目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:目录 上页 下页 返回 结束 由以上讨论不难得到以下结论由以上讨论不难得到以下结论:(1)对于任何对于任何n阶实二次型阶实二次型 ,都存在非退化线性都存在非退化线性变换变换 ,化为规范型二次型化为规范型二次型,即即其中其中 r 为为 f 的秩的秩,P 为为
14、f 的正惯性指数的正惯性指数.目录 上页 下页 返回 结束(2)任一任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A都合同于对角矩阵都合同于对角矩阵(3)n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A合同于合同于B的充要条件为的充要条件为r(A)=r(B),且且A和和B的正惯性指数相同的正惯性指数相同.目录 上页 下页 返回 结束 例例 下列矩阵中，与矩阵下列矩阵中，与矩阵 合同的矩阵是哪一个？为什么？合同的矩阵是哪一个？为什么？目录 上页 下页 返回 结束 解解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性定理解题定理解题.容易求得容易求得 的特征值的特征值 ，于是可知，于是可知，所对应的二次型的
15、正惯性指数所对应的二次型的正惯性指数为为 ；负惯性指数为；负惯性指数为 .合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，合同的二次型应有相同的正、负惯性指数，故选故选(B).应选应选(B)，理由是理由是:目录 上页 下页 返回 结束 正定正定Positive definite二次型的概念二次型的概念定义定义 设有二次型设有二次型 ，如果对任何如果对任何 ，都有，都有 如果对任何如果对任何 ，都有，都有 ，则称，则称 为负定二次型，并称对称阵为负定二次型，并称对称阵 是负定的；是负定的；阵阵 是正定的；是正定的；(显然显然0)，则称则称 为正定二次型，为正定二次型，并称对称并称对称为正定二次型为正定二次
16、型为负定二次型为负定二次型例如例如目录 上页 下页 返回 结束 说明说明按定义，当变量取不全为零的值时，二次型按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定若是正定()二次型，则它的对应值总是二次型，则它的对应值总是 正数正数().负定负定负数负数若若 是正定二次型，则是正定二次型，则 就是负定二次型就是负定二次型.目录 上页 下页 返回 结束 三、正(负)定二次型的判别目录 上页 下页 返回 结束 证证 已知已知 ，有可逆变换，有可逆变换 ，使，使先证充分性：先证充分性：设设 ，任给，任给 ，则则 ，故，故再证必要性再证必要性:用反证法用反证法.假设有假设有 ，取取 (单位坐标向量单位坐标
17、向量)，这与这与 为正定相矛盾为正定相矛盾.这就证明了这就证明了 .则有则有 ，且，且目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1 正定二次型正定二次型(正定矩阵正定矩阵)的秩为的秩为 .推论推论2 对称阵对称阵 为正定矩阵的充要条件是：为正定矩阵的充要条件是：的特征值全为正的特征值全为正.目录 上页 下页 返回 结束 这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理(H(Hurwitzurwitz)定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数
18、阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即目录 上页 下页 返回 结束 正定二次型的判定：正定二次型的判定：正定正定的正惯性指数的正惯性指数的的 个特征值全为正个特征值全为正的规范形为的规范形为合同于单位阵合同于单位阵可逆可逆的各阶主子式全为正的各阶主子式全为正目录 上页 下页 返回 结束 正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质目录 上页 下页 返回 结束 解：解：使用配方法化二次型为标准型，然后判断目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目
19、录 上页 下页 返回 结束 练习练习 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用特征值判别法用特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解目录 上页 下页 返回 结束 2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；定义法；(2)顺次主子式判别法；
20、顺次主子式判别法；(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导目录 上页 下页 返回 结束 思考题目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答目录 上页 下页 返回 结束 v矩阵的三大关系：矩阵的三大关系：它们的定义它们的定义存在存在 阶可逆阵阶可逆阵 和和 阶可逆阵阶可逆阵 ，使，使 与与 等价等价 与与 相似相似 与与 正
21、交相似正交相似 与与 合同合同 存在可逆阵存在可逆阵 ，使，使存在正交阵存在正交阵 ，使，使存在可逆阵存在可逆阵 ，使，使等价、相似等价、相似(正交相似正交相似)、合同、合同 目录 上页 下页 返回 结束 关系不变量关系不变量 等价关系的不变量：等价关系的不变量：相似关系的不变量：相似关系的不变量：秩，即秩，即 秩，即秩，即 特征多项式，即特征多项式，即 特征值特征值.合同关系的不变量：合同关系的不变量：秩，即秩，即 对称性，即若对称性，即若 是对称阵，则是对称阵，则 也是也是 对称阵；对称阵；对称阵对称阵 对应的二次型的正惯性指对应的二次型的正惯性指 数和负惯性指数；数和负惯性指数；对称阵对称阵 对应的二次型的规范形对应的二次型的规范形.目录 上页 下页 返回 结束