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1、第六章第六章 二次型二次型 1二次型的矩阵二次型的矩阵 合同矩阵合同矩阵 f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a1nx1xn+2an-1,nxn-1xn 令令令令 aij=aji，记记 2aij=aij+aji,则则则则 f=XTAX实对称阵实对称阵A叫做二次型叫做二次型f的的矩阵，矩阵，R(A)叫做二次型叫做二次型f的的秩。秩。第六章第六章 二次型二次型1二次型的矩阵二次型的矩阵 合同矩阵（续合同矩阵（续1）形如形如 f=d1y12+d2y22+dryr2 (rn)的二次型称为的二次型称为标准形标准形。若对若对n阶方阵阶方阵A和和B，存在可逆
2、阵，存在可逆阵P,使使 PTAP=B，则称，则称A与与B合同合同。定理定理1 合同矩阵秩相等。合同矩阵秩相等。第六章第六章 二次型二次型 2 化二次型为标准形化二次型为标准形令令X=QY，则，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT Y =1y12+2y22+nyn2 为标准形。为标准形。(i为为A的特征值的特征值)证明：证明：A为实对称阵，为实对称阵，存在存在正交正交阵阵Q,使使 Q-1AQ=，即，即QTAQ=，定理定理2 对对n元元二次型二次型 f=XTAX，存在正交变换，存在正交变换X=QY,使使f化为化为标准形。标准形。推论：对实推论：对实二次型二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换，存
3、在可逆线性变换X=PY,使使f化为化为标准形标准形:d1y12+d2y22+dnyn2(di未必是未必是A的特征值的特征值)第六章第六章 二次型二次型 3 惯性定理惯性定理f=k1y12+kpyp2-kp+1yp+12-kryr2 （ki0）及及 f=d1z12+dqzq2-dq+1zq+12-drzr2 (di0)则则p=q.定理定理3 设设n元实元实二次型二次型 f=XTAX的秩的秩R(A)=r,，若可逆线性，若可逆线性变换变换X=BY及及X=CZ将将f分别化为分别化为标准形：标准形：p叫作正惯性指数；叫作正惯性指数；r-p叫作负惯性指数；叫作负惯性指数；p-(r-p)=2p-r叫作符号差
4、叫作符号差.第六章第六章 二次型二次型 3 惯性定理惯性定理 (续续1)f=k1y12+kpyp2-kp+1yp+12-kryr2 （ki0）则则 f=u12+up2-up+12-ur2f的标准形中，作可逆线性变换：的标准形中，作可逆线性变换：称其为称其为f的的规范形规范形，是唯一的。，是唯一的。第六章第六章 二次型二次型3 惯性定理（续惯性定理（续1）定理定理4 设设A为为n阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，则下列则下列命题等价：命题等价：f=XTAX正定；正定；f=XTAX 的正惯性指数为的正惯性指数为n；存在可逆阵存在可逆阵P,使使A=PTP;A的的n个特征值全大于个特征值全大于0。定义定义 设设f=XTAX 为为n元实元实二次型二次型，若对任，若对任意意n维非零列向量维非零列向量X，均有，均有XTAX0,则称则称f=XTAX为为正定二次型正定二次型，A为为正定矩阵。正定矩阵。第六章第六章 二次型二次型 3 惯性定理（续惯性定理（续2）定理定理5 实对称阵实对称阵A正定的充要条件为正定的充要条件为A的各阶的各阶顺序主子式全大于顺序主子式全大于0，即，即a110|A|0;例例1 判别判别f=3x12+6x1x3+x22-4x2x3+8x32的的正定性。正定性。解：解：30,|A|0;A正定正定,f=XTAX正定正定.