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1、第五章第五章 二次型二次型5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示5.2 标准形标准形5.3 唯一性唯一性5.4 正定二次型正定二次型 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、n元二次型元二次型二、非退化线性替换二、非退化线性替换三、矩阵的合同三、矩阵的合同四、小结四、小结5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示解析几何中解析几何中选择适当角度选择适当角度,逆时针旋转逆时针旋转坐标轴坐标轴 (标准方程标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线中心
2、与坐标原点重合的有心二次曲线 问题的引入问题的引入 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示代数观点下代数观点下作适当的非退作适当的非退化线性替换化线性替换 只含平方项的多项式只含平方项的多项式二次齐次多项式二次齐次多项式(标准形标准形)5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示一、一、n元二次型元二次型1 1 1 1、定义、定义、定义、定义 设设P为数域，为数域，称为数域称为数域P上的一个上的一个n元二次型（元二次型（Quadratic Form）n个文字个文字 的二次齐次多项式的二次齐次多项式 5.1
3、5.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示注意注意2.式式 也可写成也可写成1.为了计算和讨论的方便为了计算和讨论的方便,式式中中 的系数的系数写成写成 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示（1）约定约定中中aij=aji，ij，由，由 xixjxjxi，有有2 2、二次型的矩阵表示、二次型的矩阵表示 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 则矩阵则矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵（matrix）.5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次
4、型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示（2）令 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示于是有于是有 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示注意注意注意注意2.二次型与它的矩阵相互唯一确定，即二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具阵是一个有力的工具.若若 且且 ，则，则1.二次型的矩阵总是对称矩阵，即二次型的矩阵总是对称矩阵，即（这表明在选定文字下，二次型（这表明在选定文字下，二次型 完全由对称矩阵完全由对称矩阵A决定决定.)5.15.1 二次
5、型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示练习练习1写出矩阵表示写出矩阵表示1.实数域实数域R上的上的2元二次型元二次型 3.复数域复数域C上的上的4元二次型元二次型2.实数域实数域R上的上的3元二次型元二次型 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示练习练习2 写出下列二次型的矩阵写出下列二次型的矩阵其中其中 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二、非退化线性替换二、非退化线性替换1 1、定义、定义是两组文字是两组文字,关系式关系式称为由称为由的一个的一个线性替换线性替换
6、;若系数行列式若系数行列式|c|cij|0,0,则称则称为为非退化线性替换非退化线性替换(non-degenerate linear transformation)(non-degenerate linear transformation).5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示.0是非退化的是非退化的.例例1 1变换变换 5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示2 2 2 2、线性替换的矩阵表示、线性替换的矩阵表示、线性替换的矩阵表示、线性替换的矩阵表示则则可表示为可表示为 X=CY若若|C|00，
7、则则为非退化线性替换为非退化线性替换.5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示3 3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型、二次型经过非退化线性替换仍为二次型 是一个是一个 二次型二次型.5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示三、矩阵的合同三、矩阵的合同1.合同具有合同具有对称性（对称性（symmetrysymmetry）：）：反身性（反身性（reflexivityreflexivity）：）：注意注意注意注意1 1、定义、定义 设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵使使 ，则称，则称A与与B合同合同(
8、congruent).5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示3.与对称矩阵合同的矩阵是与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵对称矩阵.2.合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩.即即C1C2可逆可逆.传递性（传递性（transitivitytransitivity）:5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示 2 2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与与B合同合同.二次型二次型XAX可经非退化线性替换化为二次型可经非退化线性替换化为二次型YBY原二次型矩阵是合同的原二次
9、型矩阵是合同的.5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示例例2 2证明：矩阵证明：矩阵A与与B合同，其中合同，其中一个排列一个排列.5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示四、小结四、小结 n n元二次型元二次型元二次型元二次型：非退化线性替换：非退化线性替换：非退化线性替换：非退化线性替换：，或，或X=CY，|C|0.基本概念基本概念矩阵的合同：矩阵的合同：矩阵的合同：矩阵的合同：5.15.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示基本结论基本结论1、二次型经过线性替换仍为二次型、二次型经过线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型二次型XAX经非退化线性替换化为二次型经非退化线性替换化为二次型YBY与与合同，即存在可逆阵合同，即存在可逆阵，使使 .