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1、第 4 课时操作探究型问题(60 分)1(15 分)2017 北京如图 441，P 是AB所对弦 AB 上一动点，过点P 作 PMAB交AB于点 M，连结 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N.已知 AB6 cm，设 A，P 两点间的距离为 x cm，P，N 两点间的距离为y cm(当点 P 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0)小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整：图 441(1)通过取点、画图、测量，得到了x 与 y 的几组值，如下表：(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)x/cm0123456y/cm0
2、2.02.32.11.60.90(2)建立平面直角坐标系，描出己补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；第 1 题答图(3)结合画出的函数图象，解决问题：当P AN 为等腰三角形时，AP 的长度约为_2.2(答案不唯一)_cm.【解析】(3)如答图，作 yx 与函数图象交点即为所求则AP2.2(答案不唯一)2(15 分)2017 襄阳如图 442，在 ABC 中，ACB90，CD 是中线，ACBC.一个以点 D 为顶点的 45角绕点 D 旋转，使角的两边分别与AC，BC 的延长线相交，交点分别为点E，F，DF 与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N.图 442(1)如图，
3、若 CECF，求证：DEDF；(2)如图，在 EDF 绕点 D 旋转的过程中：探究三条线段 AB，CE，CF 之间的数量关系，并说明理由；若 CE4，CF2，求 DN 的长解：(1)证明：ACB90，ACBC，ADBD，BCDACD45，BCEACF90.DCEDCF135.又CECF，CDCD，DCEDCF.DEDF；(2)DCFDCE135，CDFF18013545.又CDFCDE45，FCDE.CDFCED，CDCECFCD，即 CD2CE CF.ACB90，ACBC，ADBD，CD12AB.AB24CE CF.如 答图，过点D 作 DGBC 于 G，则DGNECN90，CGDG.当 C
4、E4，CF2 时，由 CD2CE CF，得 CD2 2.在 RtDCG 中，CGDGCD sinDCG2 2 sin45 2.第 2 题答图ECNDGN，ENCDNG，CENGDN.CNGNCEDG2，GN13CG23.DNGN2DG2232222 103.3(15 分)(1)问题发现与探究：如图 443，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACB DCE90，点 A，D，E 在同一直线上，CMAE 于点 M，连结 BD，则：线段 AE，BD 之间的大小关系是 _AEBD_，ADB_90_，并说明理由求证：AD2CMBD；(2)问题拓展与应用：如图、图，在等腰直角三角形ABC 中，ACB90
5、，过点 A 作直线，在直线上取点 D，ADC45，连结 BD，BD1，AC2，则点 C到直线的距离是 _312_或_312_，写出计算过程图 443 解：(1)ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBC，CECD，ACBDCE90，ACE ECBBCDECB，ACEBCD，在ACE与BCD 中，ACBC，ACEBCD，CECD，ACEBCD(SAS)，AEBD，AECBDC，CEDCDE45，AEC135，BDC135，ADB90；证明：在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，CMDMME，DE2CM.ADDEAE2CMBD；(2)如答图，过点 C 作 CHAD 于点 H，
6、CECD 交 AD 于点 E，则CDE 是等腰直角三角形，由(1)知，AEBD1，ADB90，AB2AC2，ADAB2BD23，DEADAE31，CDE 是等腰直角三角形，CH12DE312；如答图，过点 C 作 CHAD 于点 H，CECD 交 AD 于点 E，则CDE 是等腰直角三角形，由(1)知，AEBD1，ADB90，AB2AC 2，ADAB2BD23，DEAEAD13，CDE 是等腰直角三角形，CH12DE312.综上，点 C 到直线的距离是312或312.第 3 题答图4(15 分)在ABC中，ABAC，A60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF120，DE 与线段 AB 相交于
7、点 E，DF 与线段 AC(或 AC 的延长线)相交于点 F.(1)如图 444，若 DFAC，垂足为 F，AB4，求 BE的长；(2)如图，将(1)中的 EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段 AC 相交于点 F.求证：BECF12AB；(3)如图，将(2)中的 EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段 AC的延长线相交于点F，作 DNAC 于点 N，若 DNFN，求证：BECF3(BECF)图 444 解：(1)ABAC，A60，ABC 是等边三角形，BC60，BCACAB4.点 D 是线段 BC 的中点，BDDC12BC2.DFAC，即AFD90，AED
8、360609012090，BED90，BEBD cosB2121；(2)证明：如答图，过点 D 作 DMAB 于 M，作 DNAC 于 N，则有AMDBMDANDCND90.A60，MDN360 60 90 90 120.EDF120，MDENDF.在MBD 和NCD 中，BMDCND，BC，BDCD，MBDNCD，BMCN，DMDN.在EMD 和FND 中，EMDFND，DMDN，MDENDF，EMDFND，EMFN，BECFBMEMCFBMFNCFBMCN2BM2BD cos60 BD12BC12AB；第 4 题答图(3)如答图，过点 D 作 DMAB 于 M，同(1)可得BACD60.同
9、(2)可得 BMCN，DMDN，EMFN.DNFN，DMDNFNEM，BECFBMEMCFCNDMCFNFDM2DM，BECFBMEMCFBMNFCF BMNC2BM.在 RtBMD 中，DMBM tanB3BM，BECF3(BECF)(20 分)5(20 分)2017 天门在 RtABC 中，ACB90，点 D 与点 B 在 AC 同侧，DACBAC，且 DADC，过点 B 作 BEDA 交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连结MD，ME.(1)如图 445，当ADC90时，线段 MD 与 ME 的数量关系是 _MDME；_；图 445(2)如图，当 ADC60时，试探究线段MD 与
10、ME 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图，当 ADC时，求MEMD的值解：(2)MD3 ME.证明：如答图，延长 EM 交 DA 于点 F，BEDA，FAMEBM，又AMBM，AMFBMF，AMFBME，AFBE，MFME，第 4 题答图 DADC，ADC60，BEDADC60，ACD60，ACB90，ECB30，EBC30，CEBE，DFDE，DMEF，DM 平分ADC，MDE30.在 RtMDE 中，tanMDEMEMD33.MD3ME；第 5 题答图(3)如答图，延长 EM 交 DA 于点 F，BEDA，FAMEBM，又AMBM，AMFBME，AMFBME，AFBE，MFME，延长
11、BE 交 AC 于点 N，BNCDAC，DADC，DCADAC，BNCDCA，ACB90，ECBEBC，CEBE，AFCE，DFDE，DMEF，DM 平分ADC，ADC，MDE2，在 RtMDE 中，MEMDtanMDEtan2.(20 分)6(20 分)2017 衡阳如图 446，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE 并将其绕点 C 顺时针旋转得到 CF，连结 DF，以 CE，CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD，AC 分别交于点 H，M，GF 交 CD 延长线于点 N.(1)证明：点 A，D，F 在同一条直线上；(2)随着点 E 的移动，线段DH
12、 是否有最小值？若有，求出 最图 446小值；若没有，请说明理由；(3)连结 EF，MN，当 MNEF 时，求 AE 的长【解析】(1)证明三点共线，一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180.由旋转不改变图形的形状和大小，可证CBECDF，得到 CDFCBE90，所以可证 ADF180，问题得证(2)求 AE的最值，需要建立适当的函数模型，考虑AE，AH 是同一个直角三角形的边，所以设AHy，AEx，由图直观看出 CBEEAH，利用对应边成比例，可以得出 y 与 x 的函数关系式，从而最值问题可解(3)连结 CG，根据正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，EFMN，所以 NGGM，
13、所以 CNCM，从而可推出 EFDECA13，所以 RtCBERtFAE，所以BCAFBEAE，因此 AE 可求第 6 题答图解：(1)证明：如答图，由旋转的性质知，CFCE，又122390，13，又 CDCB，CBECDF，CDFCBE90，ADF180.故点 A，D，F 三点共线；(2)设 DHy，AH1y，AEx，在 RtCBE 和 RtEAH 中，4590，RtCBERtEAH，CBAEBEAH，即1x1x1y，yx2x1 x12234，即当点 E 是 AB 的中点时，DH 最小，最小值为34；(3)如答图，连结 CG.矩形FGE 是正方形，对角线 CG 所在的直线是其对称轴，又FGGE，EFMN，GNGM，CNCM，又CNM453，NMC45ECM，又ECMEFH，3EFH1，RtCBERtFAE，BCAFBEAE，BC1，BE1AE，AF11AE2AE，即有12AE1AEAE，AE24AE20，解得 AE221(不合题意，舍去)，AE22.