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1、第 3 课时方法模拟型问题(56 分)一、选择题(共 6 分)12016 济南定义：点 A(x，y)为平面直角坐标系内的点，若满足xy，则把点 A 叫做“平衡点”例如：M(1，1)，N(2，2)都是“平衡点”当 1x3 时，直线 y2xm上有“平衡点”，则m 的取值范围是(B)A0m1 B3m1 C3m3 D1m0【解析】xy，x2xm，即 x m.1x3，1m3，3m1.二、填空题(每题 6分，共 18分)22017 临沂在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为(m，n)，向量 OP可以用点 P 坐标表示为 OP(m，n)已知：OA(x1，y1)，OB(x2，y2)，如果 x1x2y1y20，那
2、么 OA与OB互相垂直，下列四组向量：OC(2，1)，OD(1，2)；OE(cos30，tan45)，OF(1，sin60)；OG(32，2)，OH32，12；OM(0，2)，ON(2，1)其中互相垂直的是 _ _(填上所有正确答案的序号)【解析】2(1)120，OC与OD互相垂直；cos301tan45sin6032113230，OE与OF不互相垂直；(32)(32)(2)123210，OG与OH互相垂直；022(1)220，OM与ON互相垂直综上所述，互相垂直32017 威海阅读理解：如图 131，O 与直线 a，b 都相切，不论 O 如何转动，直线 a，b 之间的距离始终保持不变(等于
3、O 的直径)，我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”，图是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的拓展应用：如图所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图，夹在平行线 c，d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线 c，d 之间的距离等于 2 cm，则莱洛三角形的周长为 _2_cm.图 131【解析】由题意知 ABBCAC2 cm，BACABCACB60，AB在以点 C 为圆心、2 为半径的圆上，AB的长为60218023，则莱洛三角形的周长为233
4、2.42017 百色阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2x3 的方法(1)二次项系数 212；(2)常数项 3131(3)，验算：“交叉相乘之和”；(3)发现第个“交叉相乘之和”的结果 1(3)211，等于一次项系数 1，即(x1)(2x3)2x23x2x32x2x3，则 2x2x3(x1)(2x3)，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：3x25x12_(x3)(3x4)_三、解答题(共 32 分)5(10 分)2016 郴州设 a，b 是任意两个实数，规定a 与 b 之间的一种运算“”为：abba（a0），ab（a0）.例如：1
5、(3)31 3，(3)2(3)25，(x21)(x1)x1x21(因为 x210)参照上面材料，解答下列问题：(1)24_2_，(2)4_6_；(2)若 x12，且满足(2x1)(4x21)(4)(14x)，求 x 的值解：(1)24422，(2)4246；(2)x12，(2x1)(4x21)(4)(14x)，即4x212x14(14x),4x212x14x5，4x21(4x5)(2x1)，4x218x214x5，2x27x30，(2x1)(x3)0，解得 x112，x23.经检验，x112是增根，x23 是原方程的解，故 x 的值是 3.6(10 分)2016 南京用两种方法证明“三角形的外
6、角和等于360”如图 132，BAE，CBF，ACD 是ABC 的三个外角图 132 求证：BAECBFACD360.证法 1：_平角等于 180_，BAE1CBF2ACD31803540，BAECBFACD540(123)_123180_，BAECBFACD540180360.请把证法 1 补充完整，并用不同的方法完成证法2.证明：证法 1：平角等于 180，BAE1CBF2ACD31803540，BAECBFACD540(123)123180，BAECBFACD540180360.证法 2：BAE23，CBF13，ACD12，BAECBFACD2(123)，123180，BAECBFACD
7、360.7(12 分)先阅读下列材料，然后解答问题：材料 1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6 种不同的排法，抽象成数学问题就是从 3 个不同的元素中选取2 个元素的排列，排列数记为A23326.一般地，从 n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记做Amn.Amnn(n1)(n2)(n3)(nm1)(mn)例：从 5 个不同的元素中选取3 个元素排成一列的排列数为：A3554360.材料 2：从三张不同的卡片中选取两张，有3 种不同的选法，抽象成数学问题就是从 3 个元素中选取 2 个元素的组合，组合数为C2332213.例如，从 6 个不同的元素选 3 个元素的组合数为：C3665
8、432120.问：(1)从某个学习小组 8 人中选取 3 人参加活动，有 _56_种不同的选法；(2)从 7 个人中选取 4 人，排成一列，有多少种不同的排法解：(1)C3887632156(种)；(2)A477654840(种)(28 分)8(14 分)2017 自贡【探究函数 yx4x的图象与性质】(1)函数 yx4x的自变量 x 取值范围是 _x0_；(2)下列四个函数图象中函数yx4x的图象大致是(C)(3)对于函数 yx4x，求当 x0 时 y的取值范围请将下列的求解过程补充完整解：x0，yx4x(x)22x2x2x2_4_，x2x20，y_4_【拓展运用】(4)若函数 yx25x9
9、x，则 y 的取值范围是 _y1 或 y11_【解析】(4)当 x0 时，yx25x9xx9x5(x)23x25x3x21，x3x20，y1；当 x0 时，yx25x9xx9x5（x）23x25x3x211，x3x20，y11.综上所述，y1 或 y11.9(14 分)2017 德州有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y1kx 与 ykx(k0)的图象性质小明根据学习函数的经验，对函数 y1kx 与 ykx，当 k0 时的图象性质进行了探究下面是小明的探究过程：(1)如图 133 所示，设函数 y1kx 与 ykx图象的交点为 A，B.已知 A 点的坐标为(k
10、，1)，则 B 点的坐标为 _(k，1)_(2)若点 P 为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N.求证：PMPN.证明：设 P m，km，直线 PA 的表达式为 yaxb(a0)，则kab1，mabkm，解得a1m，bkm1.直线 PA 的表达式为 _y1mxkm1_请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明当 P 点坐标为(1，k)(k1)时，判断 PAB 的形状，并用 k 表示出 PAB的面积图 133备用图【解析】(1)根据反比例函数的对称性可知点A 与点 B 关于原点 O 对称，据此可求B 点的坐标；(2)利用加减
11、消元法易求a，b 的值(用含 m，k 的式子表示)；利用直线 PA 的表达式，确定点 M 的坐标，过点 P 作 PHx 轴于 H，利用点的坐标表示MN 与 PH 的长，再利用勾股定理求得PM 的长，同理求得 PN 长，可得结论 PMPN.当 P 点坐标为(1，k)(k1)时，有 MHHNPH，从而可求 APB90，故PAB为直角三角形 分 k1，0k1 两种情况，利用相关三角形的面积和差计算PAB的面积解：(1)B 点的坐标为(k，1)；第 9 题答图(2)证明过程如下：设P m，km，直线 PA 的表达式为 yaxb(a0)，则kab1，mabkm，解得a1m，bkm1，所以直线 PA 的表
12、达式为 y1mxkm1.令 y0，得 xmk.M 点的坐标为(mk，0)如答图，过点 P 作 PHx 轴于 H，点 H 的坐标为(m，0)MHxHxMm(mk)k.同理可得 HNk，PMPN.由知，在 PMN 中，PMPN，PMN 为等腰三角形，且MHHNk.当 P 点坐标为(1，k)时，PHk，MHHNPH.PMHMPH45，PNHNPH45.MPN90，即 APB90.PAB 为直角三角形当 k1 时，如答图，SPAB SPMNSOBN SOAM12MNPH12ONyB12OM|yA|12 2k k12(k1)112(k1)1k21.当 0k1 时，如答图，SPAB SOBNSPMN SO
13、AM12ON yBk212OM|yA|12(k1)1k212(1k)11k2.(16 分)10(16 分)2017 江西我们定义：如图 134，在 ABC 中，把 AB点绕点 A 顺时针旋转(0 180)得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC，连结 B C.当 180时，我们称 AB C 是ABC 的“旋补三角形”，ABC边 BC上的中线 AD 叫做 ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”特例感知：(1)在图，图中，ABC是 ABC 的“旋补三角形”，AD 是ABC 的“旋第 9 题答图 补中线”如图，当 ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD_12
14、_BC；如图，当 BAC90，BC8 时，则 AD 长为_4_猜想论证：(2)在图中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明拓展应用(3)如图，在四边形ABCD 中，C90，D150，BC12，CD2 3，DA6.在四边形内部是否存在点P，使PDC 是PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 P AB 的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由图 134 解：(1)ABC 是等边三角形，ABBCACAB AC，DBDC，ADBC，BAC60，BACB AC 180，BAC120，B C 30，AD12AB12BC.故答案为12.BAC90，BACB AC 1
15、80，BACBAC90，ABAB，ACAC，BACBAC，BCB C，BDDC，AD12BC12BC4.故答案为 4.(2)结论：AD12BC.理由：如答图，延长 AD 到 M，使得 ADDM，连结 B M，CM，BDDC，ADDM，四边形 ACMB 是平行四边形，ACB MAC，BACB AC 180，BACAB M180，BACMB A，ABAB，BACABM，BCAM，AD12BC.第 10 题答图第 10 题答图(3)存在理由：如答图，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BEAD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连结 PA，PD，PC，作PC
16、D 的中线 PN.连结 DF 交 PC于 O.ADC150，MDC30，在 RtDCM 中，CD2 3，DCM90，MDC30，CM2，DM4，M60，在 RtBEM 中，BEM90，BM14，MBE30，EM12BM7，DEEMDM3，AD6，AEDE，BEAD，PEPC，BFFC，PAPD，PBPC，在 RtCDF 中，CD2 3，CF6，tanCDF3，CDF60 CPF，易证FCPCFD，CDPF，CDPF，四边形 CDPF 是矩形，CDP90，ADPADCCDP60，ADP 是等边三角形，ADP60，BPFCPF60，BPC120，APDBPC180，又PBPC，P APD，PDC 是PAB 的“旋补三角形”，在 RtPDN 中，PDN90，PDAD6，DN3，PNDN2PD2（3）26239.