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1、第四部分综合与实践第一讲阅读理解型问题第 1 课时新定义型问题(62 分)一、选择题(每题 6分，共 18分)1如果三角形满足一个角是另一个角的3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)A1，2，3 B1，1，2 C1，1，3 D1，2，3【解析】A123，不能构成三角形故错误；B.1212(2)2，是等腰直角三角形故错误；C.底边上的高线长是1232212，可知是顶角 120，底角30的等腰三角形故错误；D.解直角三角形可知该三角形是三个角分别为90，60，30的直角三角形，其中90303，符合“智慧三角形”的定义故D 正确故选 D
2、.2 2017 潍坊改编 函数 yx的图象如图 111 所示，则 方程x12x2的解为(A)A0 或2 B0 或 2 C1 或2 D.2或2【解析】由函数图象可知，当 2x1 时，y2，即有 x2，此时方程无解；当 1x0 时，y1，即有 x1，此时方程无解；当0 x1 时，y0，即有 x0，此时方程为012x2，解得 x0；当 1x2 时，y1，即有 x图 1111，此时方程为 112x2，解得 x2或2(不在 x 的取值范围内，舍去)综上可知，方程的解为0 或2.3我们定义：当 m，n 是正实数，且满足 mnmn时，就称 P m，mn为“完美点”，已知点 A(0，5)与点 B 都在直线 y
3、xb 上，且 B 是“完美点”，若C 也是“完美点”且 BC2，则点 C 的坐标可以是(B)A(1，2)B(2，1)C(3，4)D(2，4)【解析】由 mnmn 变形为mnm1，可知 P 点坐标为(m，m1)，点 P 在直线 yx1 上，点 A(0，5)在直线 yxb 上，求得直线 yx5，进而求得 B(3，2)，设 C 点坐标为(a，a1)，然后根据勾股定理列出关于a的方程，解方程即可求得 a.mnmn且 m，n 是正实数，mn1m，即mnm1，即“完美点”P 在直线 yx1 上，点 A(0，5)在直线 yxb 上，b5，yx5，“完美点”B 在直线 yx5 上，由yx1，yx5，解得x3，
4、y2.B(3，2)，C 是“完美点”，点 C 在直线 yx1 上，设 C 点坐标为(a，a1)，BC2，根据勾股定理，得(3a)2(2a1)2(2)2，解得 a12，a24，点 C 坐标为(2，1)或(4，3)在本题中符合题意的只有(2，1)故选 B.二、填空题(每题 6分，共 24分)42017 天水定义一种新的运算：x*yx2yx，如：3*1321353，则(2*3)*2 _2_【解析】根据新运算的定义，(2*3)*2 2232*24*242242.52017 凉山古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，其中1 是第一个三角形数，3 是第二个三角形数，6 是第三个三角形数
5、，依此类推，第100个三角形数是 _5_050_【解析】设第 n 个三角形数为an，观察，发现规律：a11，a2312，a36123，a4101234，an12nn（n1）2，将 n100代入 an，得 a100100（1001）25 050.6对于任意实数 m，n，定义一种运算 mnmnmn3，等式的右边是通常的加减和乘法运算例如：353535310.请根据上述定义解决问题：若a2x7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 _4a5_【解析】2x2x2x3x1，ax17，即 a1x6，若解集中有两个整数解，则这两个整数解为5，4，即a14，a13，解得 4a5.7如果关于 x 的一元二次
6、方程ax2bxc0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是_(写出所有正确说法的序号)方程 x2x20 是倍根方程；若(x2)(mxn)0 是倍根方程，则4m25mnn20；若点(p，q)在反比例函数 y2x的图象上，则关于x 的方程 px23xq0 是倍根方程；若方程 ax2bxc0 是倍根方程，且相异两点M(1t，s)，N(4t，s)都在抛物线 yax2bxc 上，则方程 ax2bxc0 的一个根为54.【解析】探究一元二次方程ax2bxc0 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 t，则另一个根为2t，因此 ax2bxc
7、a(xt)(x2t)ax23atx2t2a.则 b3at，c2at2，可得 b292ac0；我们记 Kb292ac，即 K0 时，方程 ax2bxc0 为倍根方程下面我们根据此结论来解决问题：对于，Kb292ac10，因此错误；对于，(x2)(mxn)mx2(n2m)x2n0，K(n2m)292m(2n)0?4m25mnn20，因此正确；对于，显然 pq2，而 K3292pq0，因此正确；对于，由 M(1t，s)，N(4t，s)，知b2a1t4t252?b5a，由倍根方程的结论知b292ac0，从而有 c509a，所以方程变为 ax25ax509a0?9x245x500?x1103，x253，
8、因此 错误综上可知，正确的是.三、解答题(共 20 分)8(10 分)如果抛物线 yax2bxc 过定点 M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个表达式小敏写出了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 yx22bxc1，求该抛物线顶点纵坐标的值为最小时的表达式，请你解答解：(1)答案不唯一，如 yx2x1，yx22x2，只要 a，b，c 满足 abc1即可；(2)定点抛物线 yx22bxc1(xb)2b2c1，该抛物线的顶点坐标为(b，b2c1)，且12
9、bc11，即 c12b.顶点纵坐标为 b2c1b22b2(b1)21，当 b1 时，b2c1 最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c1，抛物线的表达式为yx22x.9(10 分)2017 郴州设 a，b 是任意两个实数，用maxa，b表示 a，b 两数中较大者，例如：max1，11，max1，22，max4，3 4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max5，2_5_，max0，3_3_；(2)若 max3x1，x1x1，求 x 的取值范围；(3)求函数 yx22x4 与 yx2 的图象的交点坐标，函数 yx22x4 的图象如图 112 所示，请你在图中作出函数yx2 的图象，并根据图象直接
10、写出maxx2，x22x4的最小值图 112 第 9 题答图【解析】(1)比较 5 和 2，0 和 3 的大小关系即可求得答案；(2)若 max3x1，x1x1，得x13x1，由此可求得答案；(3)求得抛物线与直线的交点坐标，再利用新定义确定maxx2，x22x4的最小值解：(1)5，3；(2)由题意可得 3x1x1，解得 x0；(3)由题意得yx2，yx22x4，解得x12，y14，x23，y21，交点坐标为(2，4)和(3，1)，所作的函数 yx2 的图象如答图，由图象可知：当 x3 时，maxx2，x22x4 有最小值 1.(24 分)10(12 分)2017 义乌定义：有一组邻边相等，
11、并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图 113，等腰直角四边形ABCD，ABBC，ABC90.若 ABCD1，ABCD，求对角线 BD 的长若 ACBD，求证：ADCD.(2)如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC9，点 P 是对角线 BD 上一点，且 BP2PD，过点 P 作直线分别交边 AD，BC 于点 E，F，使四边形 ABFE 是等腰直角四边形求 AE 的长图 113【解析】(1)由 ABCD，ABCD，得到四边形ABCD 是平行四边形再根据ABBC，ABC90，判断出平行四边形ABCD 的形状，利用勾股定理计算出BD 的长 由 ABBC，ACBD，根据等腰三角形
12、的三线合一性得到ABDCBD，再证明 ABDCBD；(2)若 EF 与 BC 垂直，则四边形 ABFE 不能出现邻边相等的情况；若EF 与 BC 不垂直，则要使四边形ABFE 是等腰直角四边形，还需AEAB 或 BFAB.解：(1)ABCD1，ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形 ABBC，?ABCD 是菱形 ABC90，菱形 ABCD 是正方形，BD2.证明：如答图，连结 AC，BD，ABBC，ACBD，ABDCBD，又BDBD，ABDCBD，ADCD.(2)若 EF 与 BC 垂直，则 AE EF，BF EF，四边形 ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件若 EF 与 BC 不垂直，
13、当 AEAB 时，如答图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形 AEAB5.当 BFAB 时，如答图，此时四边形 ABFE 是等腰直 角四边形第 10 题答图 第 10 题答图 BFAB5.DEBF，PEDPFB，DEBFPDPB12，DE2.5，AE92.56.5.综上所述，AE 的长为 5 或 6.5.11(12 分)2016 台州定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形(1)三等角四边形 ABCD 中，ABC，求 A 的取值范围；(2)如图 114，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点 E，F 分别落在边 BE，BF 上的点 A，C 处，折痕分别为 DG，DH.求证：四边形 ABCD
14、是三等角四边形；图 114(3)三等角四边形 ABCD 中，ABC，若 CBCD4，则当 AD 的长为何值时，AB 的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC 的长解：(1)ABC，3AADC360，ADC3603A，0ADC180，03603A180，60A120.(2)证明：四边形 DEBF 是平行四边形，EF，由折叠的性质，得 EDAE，FDCF，DAEDCF，DABDCB，DABDAE180，EB180，DABB，DABDCBB，四边形 ABCD 是三等角四边形；(3)当 60A90时，如答图，过点 D 作 DFAB 交 BC 于点 F，作 DEBC 交 AB 于点 E，四边形 BE
15、DF 是平行四边形，DFCBDEA，EBDF，DEFB，第 10题答图 第 11题答图ABC，ADEACDFC.DAEDCF，ADDE，DCDF4，设 ADx，ABy，则 AEy4，CF4x，由DAEDCF，得AECFADCD，y44xx4.y14x2x414(x2)25，当 x2 时，y 的最大值为 5，即当 AD2 时，AB 的长最大，最大值是5；当A90 时，三等角四边形 ABCD 是正方形，则 ABBCCD4；当 90 A120 时，则 D 为锐角，如答图，AE4AB0，AB4，综上所述，当 AD2 时，AB 的长最大，最大值是 5.此时AE1.如答图，过点 C 作 CMAB 于 M，
16、过点 D 作 DNAB于 N.DADE，DNAB，AN12AE12，DANCBM，DNACMB90，DANCBM，ADBCANBM，BM1，AM4，CMBC2BM215，ACAM2CM231.(14 分)12(14 分)2016 长沙若抛物线 L：yax2bxc(a，b，c 是常数，abc0)与直线 l都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线l 与该抛物线 L 具有“一带一路”关系此时，直线l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线L 叫做直线 l 的“路线”(1)若直线 ymx1 与抛物线 yx22xn 具有“一带一路”关系，求m，n 的值；(2)若某“路
17、线”L 的顶点在反比例函数y6x的图象上，它的“带线”l 的表达式为 y2x4，求此“路线”L 的表达式；第 11题答图 第 11题答图(3)当常数 k 满足12k2 时，求抛物线L：yax2(3k22k1)xk 的“带线”l与 x 轴，y 轴所围成的三角形的面积的取值范围解：(1)令直线 ymx1 中 x0，则 y1，即直线与 y 轴的交点为(0，1)，将(0，1)代入抛物线 yx22xn 中，得 n1.抛物线的表达式为yx22x1(x1)2，抛物线的顶点坐标为(1，0)将点(1，0)代入到直线 ymx1 中，得 0m1，解得 m1.m的值为 1，n 的值为 1；(2)将 y2x4 代入到
18、y6x中，得 2x46x，即 2x24x60，解得 x11，x23.该“路线”L 的顶点坐标为(1，6)或(3，2)令“带线”l：y2x4 中，x0，则 y4，“路线”L 的图象过点(0，4)设该“路线”L 的表达式为 yq(x1)26 或 yt(x3)22，由题意，得 4q(01)26 或4t(03)22，解得 q2，t23.此“路线”L 的表达式为 y2(x1)26 或 y23(x3)22；(3)令抛物线 L：yax2(3k22k1)xk 中，x0，则 yk，即该抛物线与 y 轴的交点为(0，k)抛物线 L：yax2(3k22k1)xk 的顶点坐标为3k22k12a，4ak（3k22k1）
19、4a2，设“带线”l 的表达式为 ypxk，点 3k22k12a，4ak（3k22k1）24a在 ypxk 上，4ak（3k22k1）24ap（3k22k1）2ak，解得 p3k22k12.“带线”l 的表达式为 y3k22k12xk.令“带线”l：y3k22k12xk中，y0，则03k22k12xk，解得 x2k3k22k1.即“带线”l 与 x 轴的交点为 2k3k22k1，0，与 y 轴的交点为(0，k)“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积S122k3k22k1|k|，12k2，121k2，Sk23k22k1132k1k211k122，当1k1 时，S有最大值，最大值为12；当1k2 时，S有最小值，最小值为13.抛物线 L：yax2(3k22k1)xk 的“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围为13S12.