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1、第 2 课时探究型问题(69 分)一、选择题(每题 6 分，共 12 分)12017 滨州 如图221，点P为定角 AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若 MPN在绕点 P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：PMPN恒成立；OMON的值不变；四边形PMON的面积不变；MN的长不变，其中正确的个数为(B)A4 B3 C2 D1 图221 第 1 题答图【解析】如答图，作 PEOA于 E，PFOB于 F.PEOPFO90，EPFAOB180，MPNAOB180，EPFMPN，EPMFPN，OP平分AOB，PEOA，PFOB，PEPF，在 Rt POE和
2、Rt POF 中，OPOP，PEPF，Rt POE Rt POF，OEOF，在PEM 和PFN中，MPENPF，PEPF，PEMPFN，PEM PFN，EMNF，PMPN，故正确；S PEMS PNF，S四边形PMONS四边形 PEOF定值，故正确；OMONOEMEOFNF2OE定值，故 正确；MN 的长度是变化的，故 错误故选 B.22017 株洲 如图222，若 ABC内一点P满足 PACPBAPCB，则点 P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点(Brocard，point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle，17801855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人
3、们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard，18451922)重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形 DEF中，EDF90，若点 Q为DEF的布洛卡点，DQ1，则EQFQ的值为(D)A5 B4 C32D22图222 第 2 题答图【解析】如答图，在等腰直角三角形DEF 中，EDF90，DEDF，123，1QEF3DFQ45，QEFDFQ，23，DQF FQE,DQFQFQQEDFEF12，DQ1，FQ2，EQ2，EQFQ22.二、填空题(每题 6 分，共 12 分)32017 绍兴如图223，AOB45，点M，N在边OA上，OMx，ONx4，点P
4、是边OB上的点，若使点 P，M，N构成等腰三图 223角形的点 P恰好有三个，则 x的值是 _x0 或 x4 24 或 4x4_ 2_【解析】分三种情况：如答图，当 M 与 O 重合时，即 x0时，点 P恰好有三个；如答图，以 M 为圆心，以 4 为半径画圆，当M与 OB 相切时，设切点为C，M 与 OA 交于 D，MCOB，AOB45，MCO 是等腰直角三角形，MCOC4，OM4 2，当 M 与 D 重合时，即 xOMDM4 24 时，同理可知：点P 恰好有三个；如答图，取 OM4，以 M 为圆心，以 OM 为半径画圆，则 M 与 OB 除了 O 外只有一个交点，此时 x4，即以PMN 为顶
5、角，MN 为腰，符合条件的点P有一个，以 N圆心，以 MN 为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以PNM 为顶角，以 MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以 NM 为底边的符合条件的点P；点 M沿 OA运动，到 M1时，发现 M1与直线 OB 有一个交点，当 4x4 2时，圆 M 在移动过程中，则会与OB 除了 O 外有两个交点，满足点 P 恰好有三个 综上所述，若使点 P，M，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则 x 的值是 x0或 x4 24 或 4x4 2.4如图 224，正方形 ABCD边长为 1，以AB为直径作半圆，P是CD中点，BP第 3 题答图 第 3 题答图 第
6、3 题答图 与半圆交于点 Q，连结 DQ.给出如下结论：DQ1；PQBQ32；SPDQ18；cosADQ35.其中正确结论是 _ _(填序号)图224 第 4 题答图【解析】如答图，连结 OQ，OD，DP12CDBO12AB，且 DPOB，四边形 OBPD 是平行四边形 AODOBQ，DOQOQB，OBOQ，OBQOQB，AODDOQ，AODQOD(SAS)，OQDDAO90，DQAD1.正确；如答图，延长 DQ 交 BC于点E，过点 Q 作 QFCD，垂足为 F，根据切线长定理，得 QEBE，设 QEx，则 BEx，DE1x，CE1x，在 Rt CDE 中，(1x)2(1x)21，解得 x1
7、4，CE34，DQFDEC，DQDEFQCE45，得 FQ35，PQF PBC，PQBPFQCB35，PQBQ32.正确；S PDQ12DP QF121235320，错误；ADBC，ADQDEC，cos ADQcos DECCEDE345435，正确故答案为 .三、解答题(共 45 分)5(15 分)2017 连云港 问题呈现：如图225，点 E，F，G，H分别在矩形 ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AEDG.求证：2S四边形 EFGHS矩形ABCD.(S表示面积)图225实验探究：某数学实验小组发现：若图中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E，G作BC边的平行
8、线，再分别过点 F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形 A1B1C1D1.如图，当AHBF时，若将点 G向点C靠近(DGAE)，经过探索，发现：2S四边形 EFGHS矩形ABCDS矩形 A1B1C1D1.如图，当 AHBF时，若将点 G向点D靠近(DGAE)，请探索 S四边形 EFGH，S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由图225 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：(1)如图，点 E，F，G，H分别是面积为 25的正方形 ABCD各边上的点，已知AHBF，AEDG，S四边形 EFGH11，HF29，求E
9、G的长图225图225(2)如图，在矩形 ABCD中，AB3，AD5，点E，H分别在边 AB，AD上，BE1，DH2，点F，G分别是边 BC，CD上的动点，且 FG10，连结 EF，HG，请直接写出四边形 EFGH面积的最大值解：问题呈现：证明：四边形 ABCD是矩形，AB CD，A90，又AEDG，四边形 AEGD 是矩形，S HEG12EG AE12S矩形 AEGD，同理可得 S FEG12S矩形 BCGE.S四边形 EFGHS HEGS FEG，2S四边形 EFGHS矩形 ABCD.实验探究：由题意得，当将G 点向点 D 靠近(DGAE)时，如答图所示，SHEC112S矩形 HAEC1，
10、SEFB112S矩形 EBFB1，SFGA112S矩形 FCGA1，SGHD112S矩形 GDHD1，S四边形 EFGHSHEC1SEFB1SFGA1SGHD1S矩形 A1B1C1D1，2S四边形 EFGHS矩形 HAEC1S矩形 EBFB1S矩形 FCGA1S矩形 GDHD12S矩形 A1B1C1D1，即 2S四边形 EFGHS矩形 ABCDS矩形 A1B1C1D1.迁移应用：(1)如答图所示，由“实验探究”的结论可知2S四边形 EFGH第 5 题答图 第 5 题答图S矩形 ABCDS矩形 A1B1C1D1，S矩形 A1B1C1D1S矩形 ABCD2S四边形 EFGH252 113A1B1
11、A1D1，正方形面积是 25，边长为 5，又A1D2 1HF25229254，A1D12，A1B132，EG2A1B2 15294251094，EG1092.(2)四边形 EFGH面积的最大值为172.6(15分)2016 黑龙江已知：P是?ABCD对角线 AC所在直线上的一个动点(点P不与点 A，C重合)，分别过点 A，C向直线 BP作垂线，垂足分别为 E，F，O为AC的中点(1)如图226，当点 P与点O重合时，求证 OEOF；图226(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 OFE30 时，如图、图的位置，猜想线段 CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情
12、况予以证明解：(1)证明：AEPB，CFBP，AEOCFO90，在AEO和CFO 中，AEOCFO，AOECOF，AOCO，AEO CFO(AAS)，OEOF；(2)图中的结论为 CFOEAE.图中的结论为 CFOEAE.选图中的结论，证明：如答图，延长 EO交 CF 于点 G.AEBP，CFBP，AECF，EAOGCO，在EOA和GOC中，EAOGCO，OAOC，AOECOG，EOA GOC(ASA)，EOGO，AECG，在 Rt EFG中，EOOG，OEOFGO，OFE30，OFG90 30 60，OFG 是等边三角形，OFFG，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.第 6 题答
13、图选图的结论，证明：如答图，延长EO交 FC 的延长线于点 G，AEBP，CFBP，AECF，AEOG，在AOE和COG中，AEOG，AOECOG，AOCO，AOE COG(AAS)，OEOG，AECG，在 Rt EFG中，OEOG，OEOFOG，OFE30，OFG90 30 60，OFG 是等边三角形，OFFG，OEOF，OEFG，CFFGCG，CFOEAE.7(15分)2017 成都问题背景：如图 227，等腰三角形 ABC中，ABAC，BAC120，作ADBC于点D，则D为BC的中点，BAD12BAC60，于是BCAB2BDAB3；图227图227迁移应用：如图，ABC和ADE都是等腰三
14、角形，BACDAE120，D，E，C三点在同一条直线上，连结BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段 AD，BD，CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图，在菱形ABCD中，ABC120，在 ABC内作射线 BM，作点 C关于BM的对称点 E，连结 AE并延长交BM于点F，连结 CE，CF.证明：CEF是等边三角形；若AE5，CE2，求BF的长图227解：迁移应用：证明：ABC和ADE 都是等腰三角形，BACDAE120，ADAE，ABAC，DABDAEBAE，CAEBACBAE，DABCAE，ADB AEC；BD3ADCD.拓展延伸：证明：如答图所示，连结BE，作BGAE，点 C，E关于 BM
15、对称，BM 垂直平分 CE，FEFC，BEBC，CEF 和BEC 都是等腰三角形，ABBCBE，又BGAE，ABGEBG，EBFCBF，GBFEBGEBF12ABC60，GFB30，EFC60，CEF 是等边三角形；AE5，CE2，在等腰三角形ABE中，GEGA52.又EF2，GFGEEF92，在 RtGBF 中，GFB30，FG3BG，第 7 题答图BF2GF33 3.(15 分)8(15分)2017 自贡 如图228，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A(1，0)，点B(0，3)(1)求BAO的度数；(2)如图，将 AOB绕点O顺时针旋转得 A OB，当A 恰好落在 AB边上时，设AB
16、 O的面积为 S1，BA O的面积为 S2，则S1与S2有何关系？为什么？(3)若将AOB绕点O顺时针旋转到如图所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断图228【解析】(1)在 Rt AOB 中，利用锐角三角函数求解；(2)当 A 恰好落在 AB 边上时，易证 AOA是等边三角形，从而得到旋转角为60，分别求得S1和 S2，比较即可；(3)对于AB O 和BA O，OAOA，分别作这两条边上的高，通过比较高的大小即可得到它们面积之间的关系解：(1)A(1，0)，B(0，3)，AO1，BO3，tan BAOBOAO313，BAO60；(2)S1S2.理由：根据旋转的性质可得AOAO
17、，OA B 60.BAO60，AOA是等边三角形，A OAO，AOA 60，AOA OAB，A Bx 轴，A B y轴如答图，设 AB与 y 轴交于点 C，在 Rt A CO 中，A O1，A OC90 60 30，A C12，CO32.S112AO CO1213234，S212BO A C1231234，S1S2；第 8 题答图 第 8 题答图(3)关系没有变化理由：如答图，过点 B 作 B Dx轴于 D，过点 B作 BEOA于 E，ODB OEB90.AOA BOB，AOBA OB 90，BOEB OD.又OBOB，OBEOB D，BEB D.又OAOA，S1S2.(16 分)9(16 分
18、)2017 盐城【探索发现】如图229是一张直角三角形纸片，B90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_12_图229【拓展应用】如图，在 ABC中，BCa，BC边上的高 ADh，矩形PQMN的顶点 P，N分别在边 AB，AC上，顶点 Q，M在边BC上，则矩形 PQMN面积的最大值为 _14ah_(用含a，h的代数式表示)【灵活应用】如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB32，BC40，AE20，CD16，小明从中剪出了一个面积最大的矩
19、形(B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量 AB50 cm，BC108 cm，CD60 cm，且tanBtanC43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积图229备用图解：【灵活应用】如答图，设矩形 BFGK 是从“缺角矩形”中剪出的一个矩形，显然，当顶点G在线段 DE 上时，矩形的面积才可取最大值作直线 DE，分别交线段 BA，BC 的延长线于点 P，Q，过点 E作 EHBC于点 H.四边形 ABCM是矩形，AMBC，DEMDQC.EMCQMDCD.CD16，CMAB32，MDCD
20、16.EMCQ1，即 CQEM.AE20，AMBC40，EMAE20.AECQ.同理 PAMDCD16.当 BK12PB24，即当顶点 G在 DE 中点处时，矩形的面积最大，最大面积为14 60 48720.【实际应用】分三种情形：(I)如答图，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边 AB，CD 上时，延长 BA，CD 相交于点 E.BC，EBEC.过点 E 作 EHBC 于点 H.BH12BC12 10854.在 RtEBH 中，EHBH tanB54 4372.EB90.由结论，当 PB12EB45AB时，矩形面积有最大值14 108 721 944 cm2第 9 题答图 第 9 题答图 第 9 题答图(II)如答图，当矩形的另两个顶点P，Q分别在边 AD，CD 上时，延长 BA，CD 相交于 E，延长 QP交 AE 于 F，过点 F 作 FGBC于 G，则矩形 PQMN的面积小于矩形FQMG 的面积由知，S矩形 FQMG1 944.(III)当矩形另两个顶点P，Q分别在边 AB，AD 上时，此时不能裁出矩形综上所述，矩形面积的最大值为1 944 cm2.