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1、 315第 18 章 曲面积分 第 18 章 曲面积分 本章讲述第一型曲面积分(相当于二重积分的直接推广)、第二型曲面积分(数学和物理上的用途甚多)、第二型曲面积分与三重积分的关系Gauss 公式(相当于三维 Newton-Leibniz 公式)和第二型曲线积分与第二型曲面积分的关系Stokes 公式(是推广的 Green 公式,相当于二维推广的 Newton-Leibniz 公式).18.1 光滑(参数)曲面的面积18.1 光滑(参数)曲面的面积 关于曲面面积的注记 关于曲面面积的注记 曲线的长度能用内接折线长度的上确界来定义；但曲面的面积不能用内接三角形折面面积的上确界来定义,因为这将导致
2、许多明显具有面积的曲面在此定义下没有面积(例如,圆柱侧面便在此定义下没有面积).另一方面,任何曲面在局部上都能用参数表示,而数学上只有在光滑(参数)曲面的情形才有有效的处理手段,故只需定义光滑(参数)曲面的面积即可.关于光滑(参数)曲面的注记 关于光滑(参数)曲面的注记 设(,)S u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面.若是从区域2 到D上的正则映射,并且处处成立det0J,则称光滑(参数)曲面(,)(,)S 与光滑(参数)曲面(,)S u v(,)u v)D是同一块光滑(参数)曲面,或称光滑(参数)曲面S是光滑(参数)曲面S的另一参数表示.若处处成立det0J,则称光滑(参数)曲面
3、S是光滑(参数)曲面S的反向曲面.定义 18.1定义 18.1 设2D 是有面积的有界闭区域,(,)S u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面,则定义()S D 的面积为 2()SSuvDDdudvEGF dudv,其中22,SSSSuvuvEGF.定义 18.1 的合理性的证明:定义 18.1 的合理性的证明:如下图所示,316 小曲边四边形()iS I的面积相应的平行四边形的面积()()()()()iiiiiuvuvuvI.于是,()S D 的面积为 01()lim()()()kiiiuviI SSuvDdudv.注记 18.注记 18.1 光滑(参数)曲面的面积与其参数表示和方向
4、无关.证:证:设2D 是有面积的有界闭区域,(,)S u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面,是从有界闭区域2 到D上的正则映射,则光滑(参数)曲面(,)(,)S 的面积为 1212()()SSSSuvuvd d detSSuvJd d SSuvDdudv.例 1例 1 求以R为半径的球面的面积.解:解:利用球坐标,则该球面的面积元素是2sinRd d ,故所求面积是 22200sin4RddR.例 2例 2 求以R为半径、高度为h的圆柱面的侧面积.解:解:利用柱坐标,则该圆柱面的面积元素是Rd dz,故所求面积是 2002hRddzRh.练习题 18.1(练习题 18.1(285P)
5、1,2,4,5,7.31718.2 第一型曲面积分18.2 第一型曲面积分 定义 18.2 定义 18.2 设2D是有面积的有界闭区域,(,)S u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面,f 是()S D 上的函数,:1iDik 是D 的分割.若不论如何分法,iiD如何取法,总存在有限极限 01lim()()kiiif SS D,则称该极限为函数 f 在曲面()S D 上的第一型曲面积分(或对面积的曲面积分),记成(,)f x y z d.其物理意义是“具有非均匀面密度 的曲面的质量”.注记 18.注记 18.2 第一型曲面积分与曲面的参数表示和方向无关.命题 命题 设2D是有面积的有界
6、闭区域,(,)S u v(,)u v)D是3中的 光滑(参数)曲面,f 是()S D 上的连续函数,则(,)(,)SSuvDf x y z df S u vdudv 2(,)Df S u vEGF dudv.证:证:由积分中值定理,存在iiD使得()iSSiuvDS Ddudv()()()SSiiiuvD.故 01lim()()kiiif SS D 01lim()()()()kSSiiiiuvif SD (,)SSuvDf S u vdudv.再由 f 的一致连续性,便知对于任取的iiD,同样成立 01lim()()kiiif SS D(,)SSuvDf S u vdudv.318例 1例 1
7、 求222222,0()xyzax y zxyd.解:解:原式2222224222,0224()3383xyzax y zaaaxyzd.例 2例 2 潜水艇潜入水中,求水对其表面的总压力F(数量).解:解:建立直角坐标系,使得xy平面位于水平面上,z轴指向水下,如图所示.阴影小曲面所受压力约为zd,故()()zdFzd()(的质心深度).练习题 18.2(练习题 18.2(289P)1(1,2).问 题 18.2(问 题 18.2(289P)1,3.31918.3 双侧曲面和第二型曲面积分18.3 双侧曲面和第二型曲面积分 双侧曲面的直观解释 双侧曲面的直观解释 设是3中的曲面(不透明),在
8、a处有两只蚂蚁彼此看不见对方.若这两只蚂蚁能通过在上爬行后而彼此相见,则称是单侧曲面(或不可定向曲面)；否则,便称是双侧曲面(或可定向曲面).例如,显曲面(,)zf x y,隐曲面(,)0F x y z和(参数)曲面(,)S u v(,)u v)D都是双侧曲面.定向曲面定向曲面 设是3中的双侧曲面.指定一侧作为的正侧后,便称为定向曲面.例如,显曲面(,)zf x y,隐曲面(,)0F x y z和(参数)曲面(,)S u v(,)u v)D都是定向曲面,其正侧按自然方式确定.定向曲面的诱导边界 定向曲面的诱导边界 设是3中的定向曲面,由有限条光滑的简单曲线所组成,则规定的诱导边界 为这有限条光
9、滑的简单曲线,并按下述方式确定其正向当直立在正侧的旅行者沿这有限条光滑的简单曲线的正向行走时,其左手总是指向的内部.注记注记 作为点集,其边界 ；作为定向曲面,其诱导边界 .例 1 例 1 Mo bius 带是单侧曲面.例 2 例 2 轮胎表面是双侧曲面；规定外侧为正侧后,它成为定向曲面,其诱导边界是空集.例3 例3 正方体的表面是双侧曲面；规定外侧为正侧后,它成为定向曲面,其诱导边界是空集.例 4 例 4 一段圆柱面是双侧曲面；规定外侧为正侧后,它成为定向曲面,其诱导边界是两个圆周,其方向如下图所示.320有向面积的分量有向面积的分量 设是3中有面积的定向平面块,其单位法向量是(cos,co
10、s,cos)n.将投影到,yz zx xy平面后分别得到定向平面块123,其面积分别是123(),(),()(带正负号).此时有等式123()(),(),()n,即有向面积()n的三个分量恰为它在,yz zx xy平面的投影面积.证:证:如下图所示,显然有3()cos().有向面积元素的分量有向面积元素的分量 设(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u v)D是3中的定向光滑(参数)曲面,(cos,cos,cos)n是其单位法向 量场.若记,det,yyuvzzuvdy dzdudv,det,zzuvxxuvdz dxdudv,det,xxuvyyuvdx
11、 dydudv,则该定向光滑(参数)曲面的有向面积元素为(cos,cos,cos)ndddd (,)dy dz dz dx dx dy.证:证:123,(,)()det,ySSxzuvuuuyxzvvveeedy dz dz dx dx dynddudvdudv.第二型曲面积分的物理背景第二型曲面积分的物理背景 设是3中的定向光滑曲面,(,)F x y z(,),(,),(,)P x y z Q x y z R x y z是流体在上的速度场,(,)n x y z是的 321单位法向量场.问如何计算流体通过的流量?解:解:如图所示,设:1iik 是的分割,1max()ii kdiam.任取ii,
12、则流体通过i的流量()cos()iiiF()()()iiiFn,故流体通过 的流量为 01lim()()()(,)(,)kiiiiFnF x y zn x y z d.定义 定义 设2D是有面积的有界闭区域,(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面,(,)FP Q R是()S D 上的向量场,(cos,cos,cos)n是的单位法向量场,:1iDik 是D的分割,1max()ii kdiam D.若不论如何分法,iiD如何取法,总存在有限极限 01lim()()()kiiiiF Sn SS D,则称该极限为(,)FP Q R
13、在定向曲面上的第二型曲面积分(或通过定向曲面的通量),记成 F nd或(coscoscos)PQRd 或()Pdy dz Qdz dx Rdx dy.其物理意义是“非匀速流体通过定向曲面的流量”.注记注记 第二型曲面积分与定向曲面的参数表示无关,但与方向有关,322即F ndF nd.命题命题 设2D是有面积的有界闭区域,(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u v)D是3中的光滑(参数)曲面,(,)FP Q R是()S D 上的连续向量场,(cos,cos,cos)n是的单位法向量场,则(coscoscos)F ndPQRd()Pdy dzQdz dxR
14、dx dy,()()det,PS QS RSySSxzuvuuuDDyxzvvvFSdudvdudv.证:证:由第一型曲面积分的已知结论.例 5例 5 设是平面,0,0,0 xa xyb yzc z围成的长方体表面(外侧是正侧),求向量场22(,)Fxzyz在上的第二型曲面积分.解:解:将组成的六个定向长方形分别记为126,它们分别位于平面,0,0,0 xa xyb yzc z上.于是 122a bc,342200000acacz dz dxz dz dx ,256200000ababab ccydy dxydy dx .故 2()bF ndabc a.323例 6 例 6 求()xdy dz
15、ydz dxzdx dy,其中3(,):,0,x y zx y z 1xyz,法向量是(1,1,1).解:解:原式(1,1,1)31111223333(,)()x y zdd.例7 例7 求222()x dy dzy dz dxz dx dy,其中是以(,)a b c为中心、以R为半径的球面,外侧是正侧.解:解:原式(,)222(),(),()x a y b z cRxaaybbzccd 2221(0)()()()RRBx xay ybz zcd 3332222221(0)()(222)()RRBxyzaxbycza xb yc z d 2222()22223(0)(0)()()RRa b c
16、RRBBaxbyczdxyzd 38()3a b c R.练习题 18.3(练习题 18.3(297P)1(1,4,5),2,3.32418.4 Gauss 公式和 Stokes 公式18.4 Gauss 公式和 Stokes 公式 空间区域的诱导边界 空间区域的诱导边界 设3V是有界闭区域,其边界由有限块光滑的双侧曲面所组成,则规定V的诱导边界V为这些光滑的双侧曲面所确定的有限块定向曲面,并按下述方式确定其正侧正侧的单位法向量场总是指向V的外部.(举球和球环的例子)定理 18.1(Gauss 公式相当于三元函数的 Newton-Leibniz 公式)定理 18.1(Gauss 公式相当于三元
17、函数的 Newton-Leibniz 公式)设3V是有界闭区域,其边界由有限块光滑的双侧曲面所组成,V是其诱导边界,(,)FP Q R是V上的1C(也称连续可微)向量场,则 ()QPRxyzVVPdy dzQdz dxRdx dydxdydz.证:证:只需证明RzVVdxdydzRdx dy即可.将V分割成有限个小闭区域:1iVik,其中每个iV如下图所示.因为在正反侧上同时进行第二型曲面积分具有相互抵消作用,故 只需证iiRzVVdxdydzRdx dy即可.(,)(,)ix yRRzzVDx ydxdydzdz dxdy (,(,)(,(,)DR x yx yR x yx ydxdy.31
18、2iVRdx dyRdx dyRdx dyRdx dy 123,1,0,0,1,(0,0,(,(,)detxyDe e eR x yx ydxdy 325123,(0,0,(,(,)det1,0,0,1,xyDe e eR x yx ydxdy 2(0,0,)(cos,cos,0)Rd (,(,)(,(,)DDR x yx y dxdyR x yx y dxdy.推论 推论 设V与定理 18.1 相同,则13()VVxdy dz ydz dx zdx dy.例 1例 1 设是平面,0,0,0 xa xyb yzc z围成的长方体表面(外侧是正侧),求向量场22(,)Fxzyz在上的第二型曲面积
19、分.解:解:解:解:22x dy dzz dz dxyzdx dy(2)Vxy dxdydz 0000002cbacabxdx dy dzydy dx dz 22122()ba bcab cabc a.例 2 例 2 求333x dy dzy dz dxz dx dy,其中是以原点为中心、以a为半径的上半球面的外侧.326解：解：32223()VVxyzdxdydz (Gauss 公式)252400063sin5aar drdd .因为 3333333(,)(0,0,1)0 xy zdz d,故 533365ax dy dzy dz dxz dx dy.例 3例 3 设一个物体漂浮在水面上,求
20、该物体所受水的浮力F(向量).解:解:以水平面为xy平面建立直角坐标系.设物体浸入水下的部分是V,浸入水下的表面是(法向量指向物体的外部),如图所示.阴影小曲面所受水的浮力约为()(,)(,)z dn x y zzdy dz zdz dx zdx dy,故 (,)Fzdy dzzdz dxzdx dy (,)VVVzdy dzzdz dxzdx dy(0,0,)Vdxdydz (Gauss 公式)(0,0,()V.这说明,物体所受水的浮力垂直向上,大小是所排开的水的体积(Archimedes 浮体定律).327例 4例 4 设3中有一电量为q的点电荷,是任意包含该点电荷的定向光滑紧曲面(外侧是
21、正侧).求该点电荷所确定的静电场通过的电通 量I.解:解:取点电荷为原点,则电场强度32222(,)()(,)x y zxyzE x y zq,如图所示.(0)BVE ndE ndE nd 333222222222222()()()xdy dzydz dxzdx dyVxyzxyzxyzq 00Vqdxdydz.(Gauss 公式)故 3(,)(,)(0)(0)x y zx y zBBIE ndE ndqd 2(0)4qBdq.定理 18.2(Stokes 公式推广的定理 18.2(Stokes 公式推广的 Green 公式)公式)设是3中的定向光滑曲面,由有限条光滑的简单曲线所组成,是其诱导
22、边界.若(,)FP Q R是的邻域上的1C(也称连续可微)向量场,则()()()()QQRPRPyzzxxyPdxQdyRdzdy dzdz dxdx dy ,detxyzdy dz dz dx dx dyPQR.证:证:将分割成有限个小定向曲面(与的定向一致).由于第二型曲线积分的往复抵消作用,只需证明 Stokes 公式对每个小定向曲面成立即可.故不妨设是如下图所示的显式曲面.328 若(),()()x ty tt 是D的参数表示,则(),(),(),()x ty tf x ty t()t 是的参数表示,故 (),(),(),()()PdxP x ty tf x ty tx t dt,(,
23、(,)DP x y f x y dx (Green 公式)(,(,)(,(,)(,)fPPyzyDx y f x yx y f x yx y dxdy.另一方面,()PPzydz dxdx dy 123,(0,)det 1,0,0,1,fPPzyxDfye e edxdy (,(,)(,)(,(,)fPPzyyDx y f x yx yx y f x ydxdy.这说明,()PPzyPdxdz dxdx dy.同理,有 ()QQxzQdydx dydy dz,()RRyxRdzdy dzdz dx.两边加起来,再合并同类项,就得到 Stokes 公式.练习题 18.4(练习题 18.4(304
24、P)1(2,3,4),2,3,4(1,3),5.32918.5 微分形式和(外)微分运算18.5 微分形式和(外)微分运算 微分形式 微分形式 设3V 是非空点集.若,u P Q R是V的邻域上的kC函数,则分别称,u PdxQdyRdz Pdy dzQdz dxRdx dy和udx dy dz是V上的 0 次,1 次,2 次和 3 次kC微分形式；称u是V上的kC数量场,(,)P Q R是V上的kC向量场；微分形式与数量场或向量场本质上是相同的；微分形式的概念能推广到n维 Euclid 空间.微分形式的运算 微分形式的运算 规定0,0,0,dx dxdy dydz dzdz dydy dz,
25、dx dzdz dx dy dxdx dy 后,便能定义两个微分形式的(外)积积；用自然的方式能定义两个同次微分形式的和和.(外)积的规律 (外)积的规律 设(0)u,(1)(1,2,3)iiiiPdxQdyRdz i,(1)PdxQdyRdz,(2)(1,2,3)iiiif dy dzg dz dxhdx dy i,(2)fdy dzgdz dxhdx dy,(3)vdx dy dz,则有(1)(0)(1)uPdxuQdyuRdz；(0)(2)ufdy dzugdz dxuhdx dy；(0)(3)uvdx dy dz.(类似于数乘)(2)(1)(2)()PfQgRh dx dy dz.(类
26、似于内积,并能推广到n维 Euclid 空间)(3)121212121212(1)(1)12()()()Q RRQ dy dzR P PR dz dxPQQ P dx dy 111222,detdy dz dz dx dx dyPQRPQR.(类似于外积)(4)111(1)(1)(1)123222333,det,P Q RP Q Rdx dy dzP Q R.(类似于混合积或行列式,并能推广到n维 Euclid 空间)330(5)(1)(1)0,(2)(2)120,(1)(3)0,(2)(3)0.例 1 例 1 对于n阶方阵,A B,成立det()det()det()ABAB.证:证:记111
27、1,nnnndxBAdx.由行列式的定义,成立 11detnnBdxdx；11detnnA；11det()nnAB dxdx.比较后,便得到det()det()det()ABAB.对微分形式的(外)微分(外)微分算子对微分形式的(外)微分(外)微分算子d 规定(1)uuuxyzdudxdydz；(2)()d PdxQdyRdzdP dxdQ dydR dz()()()QQRPRPyzzxxydy dzdz dxdx dy,det,xyzdy dz dz dx dx dyPQR；(3)()d Pdy dzQdz dxRdx dy dP dy dzdQ dz dxdR dx dy ()QPRxyz
28、dx dy dz.(4)()0d udx dy dzdu dx dy dz.三度与微分 三度与微分 对于数量场u,称向量场(,)uuuxyzgradu为u的梯度；对于向量场(,)FP Q R,称向量场(,)QQRPRPyzzxxyrotF为F的旋度；对于向量场(,)FP Q R,称数量场QPRxyzdivF为F的散度.于是,微分算子d作用于 0 次微分形式的实际效果是grad；作用于 1 次微分形式的实际效果是rot；作用于 2 次微分形式的实际效果 331是div；作用于 3 次微分形式的实际效果是零.故物理学中只有梯度、旋度和散度,而不再有其它的“度”.定理(极其重要)定理(极其重要)20
29、d.证:证:2()uuuxyzd uddxdydz,det,0uuuxyzxyzdy dz dz dx dx dy；2()dPdxQdyRdz ()()()QQRPRPyzzxxyddy dzdz dxdx dy 222222()()()0QQRPRPx yx zy zy xz xz ydx dy dz ；2()0dPdy dzQdz dxRdx dy；2()0dudx dy dz.对微分形式的积分 对微分形式的积分 对 0 次微分形式的积分如同零重积分；对 1 次微分形式的积分如同第二型曲线积分；对 2 次微分形式的积分如同第二型曲面积分；对 3 次微分形式的积分如同三重积分.Stokes 定理(多元微积分的基本定理)Stokes 定理(多元微积分的基本定理)设是3中的光滑曲线或定向光滑曲面或有界闭区域,的诱导边界是两个点或有限条简单光滑曲线或有限块定向光滑曲面.若是的邻域上的 0 次或 1 次或2 次1C微分形式,则成立 d.证:证:由推广的 Newton-Leibniz 公式或 Stokes 公式或 Gauss 公式.注记注记 Stokes 定理在n维 Euclid 空间(甚至流形上)也成立.练习题 18.5(练习题 18.5(310P)1(2),2(2,4,5,6,7).问 题 18.5(问 题 18.5(310P)1,2.