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1、 175第 10 章 函数列与函数项级数 第 10 章 函数列与函数项级数 10.1 问题的提出 10.1 问题的提出 函数项级数 函数项级数 设()nux是非空点集E上的函数列,称形式和1()nnux 为E上的函数项级数；若0 xE使得级数01()nnux收敛,则称0 x是该函 数项级数的收敛点；收敛点的全体称为收敛点集；当收敛点集D 时,自动地定义了D上的一个函数 1()(),nnS xuxxD,称为该函数项级数的和函数.注记 1 注记 1 函数项级数有两个含义:一是形式和；二是其收敛点集上的和函数.注记2 注记2 对函数项级数和函数列只需研究其一即可.但是,研究函数项级数更为方便和重要.
2、三个基本问题:三个基本问题:(1)若,a b上的连续函数项级数1()nnux在,a b上处处收敛,其和函数()S x是否也在,a b上连续?(2)若,a b上的可积函数项级数1()nnux在,a b上处处收敛,其和函数()S x是否也在,a b上可积?当()S x在,a b上可积时,是否成立 1()()bbnaanS x dxux dx?(逐项积分)(3)若,a b上的可导函数项级数1()nnux在,a b上处处收敛,其和函数()S x是否也在,a b上可导?当()S x在,a b上可导时,是否成立 1()()nnS xux?(逐项求导)例 1例 1 令11(),()nnnu xx uxxx,
3、则1()nnux是0,1上的可导函数项级 176数,其和函数0,01;()1,1xS xx在0,1上不连续,这便否定了(1),并且否定了(3)的前半部分.例 2例 2 令1,01;()0,1nnxxuxx,则1()nnux是0,1上的可积函数项级数,其和函数11,01;()0,1xxS xx在0,1上不可积,这便否定了(2)的前半部分.例 3例 3 令2222222(1)1()2,()22(1)xn xnxnu xxeuxn xenxe,则1()nnux是 0,1上的可积函数项级数,其和函数()0S x,但 22(1)11()1()bbnnnaannux dxeeS x dx,这便否定了(2)
4、的后半部分.例 4例 4 令111()sin,()sinsin(1)1nu xx uxnxnxnn,则1()nnux是0,1上的可导函数项级数,其和函数()0S x,但 11()lim()limcosnnknnnkuxuxnx仅在0 x 处收敛,这便否定了(3)的后半部分.练习题 10.1(练习题 10.1(392P)1(1,3,5,7),2.17710.2 一致收敛 10.2 一致收敛 定义10.2 定义10.2 设函数项级数1()nnux在非空点集E上收敛于和函数()S x.若*0,N,使得,nN xE 都成立 ()()nSxS x,则称1()nnux在E上一致收敛于()S x.类似地,可
5、以定义函数列的一致收敛.(几何意义如图所示)定义10.定义10.2 设函数项级数1()nnux在非空点集E上收敛于和函数()S x.若 sup()()0()nnx ESxS xn,则称1()nnux在E上一致收敛于()S x.类似地,函数列的一致收敛也可采用这里的定义.例 1例 1 11nnx在(0,1)收敛于11x,但并不一致收敛.解:解:11()()11nnxSxnxx；0111sup11nnxxxx .注记 10.注记 10.2 若函数项级数1()nnux在E上一致收敛,则它必在DE上一致收敛；若1()nnux分别在有限个点集12,NE EE上一致收敛,则它必在1NkkEE上一致收敛.定
6、理 10.3(Cauchy 一致收敛原理)定理 10.3(Cauchy 一致收敛原理)函数项级数1()nnux在非空点集E上一致收敛当且仅当,*0,N,使得*,nN pxE 都成立 1()n pkk nux 或 *,1sup()0()n pnkpx Ek nuxn .证:证:“仅当”.若1()nnux在E上一致收敛于()S x,即*0,N,使得*,nN pxE 都成立()(),()()22nn pSxS xSxS x,178则 1()()()n pkn pnk nuxSxSx 22.“当”.若*0,N,使得*,nN pxE 都成立 ()()2n pnSxSx,则固定的xE,存在有限极限lim(
7、)()nnSxS x,即1()nnux在E上收敛于()S x.于是,nN xE 成立 ()()lim()()2nnn ppSxS xSxSx.推论10.推论10.3(一致收敛的必要条件)(一致收敛的必要条件)若函数项级数1()nnux在非空点 集E上一致收敛,则函数列()nux在E上一致收敛于零,即0,*N,使得*,nN pxE 都成立 ()nux 或 sup()0()nnx Euxn.例 2例 2 1nxnne在(0,)上不一致收敛.解:解:0supnxnxnen.定理 10.4(一致收敛的 Weierstrass 比较判别法)定理 10.4(一致收敛的 Weierstrass 比较判别法)
8、设1()nnux是非空点集E上的函数项级数.如果存在收敛的数项级数1nna,使得*,nxE 都成立不等式()nnuxa,则1()nnux在E上一致收敛.证:证:因为1nna收敛,故*0,N,使得*,nN p 都成立不等式1n pkk na.于是,*,nN pxE 都成立不等式 11()n pn pkkk nk nuxa ,这说明1()nnux在E上一致收敛.179定理 10.5(一致收敛的 Dirichlet 判别法)定理 10.5(一致收敛的 Dirichlet 判别法)若1()()nnnax b x满足（1）()nb x对每个xE单调,并且在E上一致收敛于零；（2）1()()nnkkSxa
9、x在E上一致有界,则1()()nnnax b x在E上一致收敛.证:证:1()()n pkkk nax b x 1111()()()()()()()n pn pn pnnkkkk nSx bxSx bxSx bxb x 1111()()()()()()()n pn pn pnnkkkk nSx bxSx bxSx bxb x .取0M满足*()(,)nSxMnxE .*0,N,使得()(,)4nb xnN xEM.于是,*,nN pxE,成立 1()()n pkkk nax b x 111()()44n pkkk nMMMbxb xMM 1()()2n pnM bxbx224MM.定理 10.
10、6(一致收敛的 Abel 判别法)定理 10.6(一致收敛的 Abel 判别法)若1()()nnnax b x满足（1）()nb x对每个xE单调,并且在E上一致有界；（2）1()nnax在E上一致收敛,则1()()nnnax b x在E上一致收敛.证:证:11()()()()n ppkkn kn kk nkax b xax bx 11111()()()()()ppkn jn pn jn kn kjkjaxbxaxbxbx 11111()()()()()ppkn jn pn jn kn kjkjaxbxax bxbx 11111sup()()sup()()()kkn jn pn jn pnkk
11、jjaxbxaxbxbx.180取0M 满足*()(,)nb xMnxE .*0,N ,使得 11sup()(,)3kn jkjaxnN xEM.于是,*,nN pxE,成立 1()()233n pkkk nax b xMMMM.例 3例 3 研究11cossin,nnnxnxnn(01)在(0,2)和,2(0)上 的一致收敛性.解:解:因为1,021cossupn pnpxk nkxk ,故1cosnnxn在(0,2)上不一致收敛.因为241,0211sinsinsupn pnnnpxk nk nkkxkk 21122sin42(2)4nk nnkn,故1sinnnxn在(0,2)上不一致收
12、敛.,2x,成立1122221111cos,sinsinsinsinsinnnkkxxkxkx,再由一致收敛的 Dirichlet 判别法,便知11cossin,nnnxnxnn(01)在,2上一致收敛.练习题 10.2(练习题 10.2(404P)1(2),2(1,5,6,7),3,4,6,9.问 题 10.2(问 题 10.2(405P)1,3,4.18110.3 极限函数与和函数的性质 10.3 极限函数与和函数的性质 定理 10.7 定理 10.7 若连续函数项级数1()nnux在有限闭区间,a b上一致收 敛到和函数()S x,则()S x也是,a b上的连续函数.证:证:固定0,x
13、a b.*0,N,使得,xa b 成立()()3NSxS x；又0,使得0,xa bxx,成立 0()()3NNSxSx；于是0,xa bxx,成立 0000()()()()()()()()NNNNS xS xS xSxSxSxSxS x 000()()()()()()333NNNNS xSxSxSxSxS x.这说明()S x在0 x处连续.例 1例 1 0nnx在(0,1)上的和函数11x连续,但0nnx在(0,1)上并不一致 收敛.这说明定理 10.7 的逆定理不成立.定理 10.8(Dini 定理)定理 10.8(Dini 定理)若非负连续函数项级数1()nnu x在有限闭区间 ,a
14、b上收敛到连续函数()S x,则1()nnu x在,a b上一致收敛到()S x.证:证:(反证法)若1()nnux在,a b上不一致收敛,则当n 时,正数列 ,max()()nnxa bS xSx递减收敛于00.*n,取,nxa b使得 0()()nnnnS xSx,再取nx的子列kjx收敛于0,xa b.*n,当kjn时,0()()()()kkkkkkjnjjjjjS xSxS xSx,故 000()()lim()()kknjnjkS xSxS xSx.这与00lim()()nnSxS x相矛盾.定理 10.9 定理 10.9 若可积函数项级数1()nnu x在有限闭区间,a b上一致收敛
15、 182到和函数()S x,则()S x也在,a b上可积,并且函数项级数1()xnanu t dt 在,a b上一致收敛到()xaS t dt.证:证:*0,N,使得,nN xa b 成立()()nS xSxba,即 ()()()nnSxS xSxbaba,于是 ()()()()bbnnaaSx dxI SI SSx dx,0()()2()()I SI SI SI S.故()S x在,a b上可积(可积性定理).另外,nN xa b 有 1()()()()()nxxxknaaaku t dtS t dtS tS t dtxaba.这说明1()xnanu t dt 在,a b上一致收敛到()x
16、aS t dt.定理 10.10 定理 10.10 若有限闭区间,a b上的1C函数项级数1()nnu x满足(1)1()nnu x在,a b上一致收敛；(2)存在0,xa b使得01()nnu x收敛,则1()nnu x在,a b上一致收敛到一个1C函数()S x,并且1()()nnS xu x.证:证:0011()()()xnnnxnnu xu t dtu x 显然在,a b上一致收敛到和函数()S x(定理 10.9).()()()()nnSxxSxS xxS xxx ()()()()nnS xxSxxS xSxxx 111()()kkk nk nuxxuxx 1111()()xxxxk
17、kxxk nk nu t dtu tdtxx 183 11()xxkxk nu t dtx 1max()0()kna t bk nu tn .于是 ()()()()()()nnnnnnSxxSxSxxSxS xxS xxxx,0011()()()()()liminflimsup()nnknknxxkkS xxS xS xxS xuxu xxx .令n 就得到 001()()()()liminflimsup()kxxkS xxS xS xxS xu xxx .定理10.7的推广(定理10.7的推广(414P,问题10.3,第1题),问题10.3,第1题)设E是非空点集,0 x是E的极限点.若函数
18、项级数1()nnu x在E上一致收敛到和函数()S x,并且存在有限极限0*lim()()nnxxu xan,则(1)1nna收敛；(2)01lim()nxxnS xa.证:证:(1)*0,N,使得*,nN pxE 成立1()2n pkk nu x,令0 xx便有12n pkk na,故1nna收敛.(2)*0,N ,使得x E 成立()(),33NNSxS xSS.又0,使得0,0 xExx,成立()3NNSxS；于是0,0 x Ex x,成立()()()()NNNNS xSS xSxSxSSS ()()()333NNNNS xSxSxSSS.这说明01lim()nxxnS xa.练习题 1
19、0.3(练习题 10.3(413P)1,2,4,5.问 题 10.3(问 题 10.3(414P)6.18410.4 幂级数的和函数 10.4 幂级数的和函数 幂级数 幂级数 称形如00()nnna x x的函数项级数为幂级数,它是多项式的推广.只需研究0nnna x即可.内闭一致收敛 内闭一致收敛 设1()nnux是开区间(,)a b上的函数项级数.若对任意有限闭区间1,(,),()nnc da bux都在,c d上一致收敛,则称1()nnux在(,)a b上内闭一致收敛.定理 10.11、定理 10.12 和定理 10.13(Abel 第一定理)定理 10.11、定理 10.12 和定理
20、10.13(Abel 第一定理)对于幂级数 0nnna x,令1limsupnnnRa,则(1)当0R 时,该幂级数仅在0 x 处收敛；(2)当R 时,该幂级数在上绝对并且内闭一致收敛；(3)当0R 时,该幂级数在(,)R R上绝对并且内闭一致收敛,在,cR R上处处发散.分别称R和(,)R R为幂级数0nnna x的收敛半径和收敛开区间.证:证:(1)设0 x.因为limsupnnna,故存在na的子列nka满足 1nnkkax,或 1nnkka x.这说明0nnna x发散.于是,0nnna x仅在0 x 处收敛.(2)固定0r.因为limsup0nnna,故*N,使得nN 成立不等式12
21、nnar.于是,nN xr r 成立不等式11()22nnnnnxrar.这说明0nnna x在,r r上绝对并且一致收敛,从而在上绝对并且内闭一致收敛.(3)固定,(,)r rR R,再取(,)r R.因为limsup1nnnaR,故 185*N,使得nN 成立不等式1nna.于是,nN xr r 成立 不等式1()()nnnnnxrra.这说明0nnna x在,r r上绝对并且一致 收敛,从而在(,)R R上绝对并且内闭一致收敛.若xR,则存在na 的子列nka满足1nnkkax,或1nnkka x.这说明0nnna x发散.定理 10.14定理 10.14 幂级数在其收敛开区间上能逐项求
22、导任意次,所得新幂 级数仍然具有相同的收敛开区间.证:证:设0nnna x的收敛开区间为(,)R R,则1limsupnnnRa,limsupnnnna 11limlimsup1nnnnnnaRR.故1nnnna x的收敛开区间为(,)R R,从而 11nnnna x的收敛开区间也为(,)R R.,(,)a bR R,由于0nnna x在 ,a b上一致收敛,因此101(),nnnnnnna xSxa xxa b.定理 10.15定理 10.15 幂级数在其收敛开区间上能逐项积分任意次,所得新幂 级数仍然具有相同的收敛开区间.证:证:设0nnna x的收敛开区间为(,)R R,则1limsup
23、nnnRa,1limsupnnnan 111limlimsup11nnnnnanRR.故01nnnxan的收敛开区间为(,)R R,从而101nnnxan的收敛开区间也为(,)R R.(,)xR R ,由于0nnna t在 0,x上一致收敛到()S t,因此10000()1nnnxxnnnxaS t dta t dtn.下面的几个例子表明幂级数在其收敛开区间的端点处的敛散性 是很复杂的.例 1 例 1 幂级数0nnx的收敛半径是1,在1处发散.例 2 例 2 幂级数21nnxn的收敛半径是1,在1处收敛.例 3 例 3 幂级数1nnxn的收敛半径是1,在1x处发散；在1x 处收敛.186例 4
24、 例 4 求幂级数0()nnP n x的和函数()S x,其中()P y是m次多项式.解:解:limsup()1nnP n,故该幂级数的收敛半径是1.将()P y改写成 01()(1)()(1)(1)mP yaa yaymymy,则 0()()nnS xP n x 010(1)()(1)(1)nmnaa nanm nmnx()011111mmmxxaaaxxx.定理 10.15(Abel 第二定理)定理 10.15(Abel 第二定理)设幂级数0nnna x的收敛半径是(0,).R 若0nnna x在R处收敛,则它在每个,RR上一致收敛；若0nnna x在 R处收敛,则它在每个,R R上一致收
25、敛.作为推论,其和函数()S x 是收敛点集上的连续函数.证:证:设0nnna R收敛.由一致收敛的 Abel 判别法,00nnnnnnna xa RxR在0,R上一致收敛,从而在每个,RR上一致收敛.例 5例 5 0,!nxnxexn；11log(1)(1),11nnnxxxn；(11(1)log2nnn)210arctan(1),1121nnnxxxn.(0(1)421nnn)证:证:仅证第 1 种情形.因为1limsup0!nnn,故0!nnxn的收敛半径是.x,有 11()()1!nnxS xS xn,()()()0 xxxS x eS x eS x e,()(0)xxxS xCeSe
26、e.练习题 10.4(练习题 10.4(424P)1(1,2),3,4(3).18710.5 函数的幂级数展开式 10.5 函数的幂级数展开式 函数的 Taylor 级数 函数的 Taylor 级数 若函数()f x在0 x的邻域上具有任意阶导数,则称()000()()!nnnfxx xn 为()f x在0 x处的 Taylor 级数.函数的幂级数展开式 函数的幂级数展开式 设()f x是开区间00(,)xR xR上的函数.称()f x能在00(,)xR xR上展开为幂级数,如果存在幂级数 00()nnna x x,使得该幂级数的收敛半径R,并且其和函数()S x在00(,)xR xR上与()
27、f x相等.此时,称00()nnna x x为()f x在开区间00(,)xR xR上的幂级 数展开式.命题 1 命题 1 若()f x能在开区间00(,)xR xR上展开为幂级数,则(1)()f x是00(,)xR xR上的C函数；(2)()f x在00(,)xR xR上的幂级数展开式是唯一的,恰为它在0 x处的 Taylor 级数.证:证:(1)由幂级数的和函数的性质.(2)因为000()()(),nnnf xS xa x xxxR,故()()00()()(1)(1)(),kkn knn kfxSxa n nnkx xxxR.令0 xx便有()()00()()!kkkfxSxk a,即()
28、0(),!kkfxakk.注记 注记(1)C函数的Taylor级数的收敛半径可能为零(问题10.5,第1题)；(2)C函数的 Taylor 级数的收敛半径虽然大于零,但其和函数却未必是这个C函数.这说明C函数未必能展开为幂级数.定 理10.20 定 理10.20 设()f x是 开 区 间00(,)xR xR上 的C函 数.若()()()nfxnN在00(,)xR xR上 一 致 有 界,则()f x必 能 在 18800(,)xR xR上展开成在0 x处的 Taylor 级数.证:证:00(,)xxR xR,利用带 Lagrange 余项的 Taylor 定理,就有 ()(1)10000()
29、()()()()!(1)!nmmnmnfxff xxxx xnm,()10000()()()0()!(1)!nmmnnfxMx xf xx xmnm.这说明()000()()!nnnfxx xn在00(,)xR xR上收敛到()f x.例 1例 1 0,!nxnxexn.证:证:对任意0R,()()xne在(,)RR上一致有界,故xe在(,)RR上能 展开成在0处的 Taylor 级数0!nnxn(定理 10.20).例 2(Euler 公式)例 2(Euler 公式)如果记 0(),!nixnixexn,则 (1)20cos(1),(2)!kkkxxxk；(2)210sin(1),(21)!
30、kkkxxxk；(3)cossin,ixexixx.(10ie)证:证:()(cos)nx和()(sin)nx都在(,)上一致有界,故cosx和sinx都能在(,)上展开成在0处的 Taylor 级数(定理 10.20).另外,显然 有等式 221000()(1)(1),!(2)!(21)!nkkkknkkixxxixnkk.例 3(二项式定理)例 3(二项式定理)设,n,记(1)(1)!nnCnn,则 0(1),1nnnxC xx.证:证:不妨设.1limlimlim11nnnnnnnCnCnC,故0nnnC x的收敛 189区间是(1,1).记其和函数为()Sx.首先,1111000(1)
31、nnnnnnnnnCxxCxCx 111111nnnnnnCxCx 11()nnnC xSx,故 1()(1)()SxxSx.其次,11(1)(1)()(1)!nnnSxxn 11(1)(1)1(1)(1)1(1)!nnnxn 1()()1SxSxx.于是,()()()(1)0(1)(1)SxSxSxxxx,()(1)(0)(1)(1)SxCxSxx.常见的 6 个 Taylor 展开式 常见的 6 个 Taylor 展开式 0,!nxnxexn；20cos(1),(2)!kkkxxxk；210sin(1),(21)!kkkxxxk；0(1),11nnnxC xx；11log(1)(1),11
32、nnnxxxn；210arctan(1),1121nnnxxxn.练习题 10.5(练习题 10.5(432P)1(3,4，6),2(1,4).问 题 10.5(问 题 10.5(432P)1.19010.6 用多项式一致逼近连续函数 10.6 用多项式一致逼近连续函数 多项式一致逼近 多项式一致逼近 设()f x是有限闭区间,a b上的函数.若0,存在多项式函数()P x,使得,xa b 都成立 ()()f xP x,则称()f x在,a b上能被多项式一致逼近.显然,(1)()f x在,a b上能被多项式一致逼近存在多项式函数列()nP x在,a b上一致收敛到()f x；(2)若()f
33、x在,a b上能被多项式一致逼近,则()f x是,a b上的连续函数.定理 10.21(Weierstrass 一致逼近定理)定理 10.21(Weierstrass 一致逼近定理)有限闭区间,a b上的连续函数能被多项式一致逼近.证:证:设()f x是,a b上的连续函数,则()()g yf ay ba是0,1上的连续函数.由Bernstein多项式的逼近性质(定理10.22,已在5.3中 证明),多项式函数列 0()()()(1)nn kknknkB gygyykn 在0,1上一致收敛到()g y,从而多项式函数列()()()nnxaP xBgba在,a b上一致收敛到()()xagf xba.问 题 10.6(问 题 10.6(437P)1,3,4.