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1、 24413.7 多变量连续函数13.7 多变量连续函数 定 义 13.16 定 义 13.16 设f是 非 空 点 集nD 上 的 函 数,aD.若0,0,使得()xDB a,成立()()f xf a,则称f在a处连续,或a是f的连续点；若f在D中的每个点处都连续,则称 f 在D上连续,或 f 是D上的连续函数；D上连续函数的全体通常用()C D表示.命题 1(在某点处连续的等价条件)命题 1(在某点处连续的等价条件)设 f 是非空点集nD 上的函数,aD.若a是D的孤立点,则 f 必在a处连续；若a是D的极限点,则f 在a处连续lim()()xaf xf a.命题 2 命题 2 若多变量函
2、数,f g都在a处连续,则,fg f g也都在a处连续；在附加上条件“g处处不取零值”后,fg也在a处连续.命题 3 命题 3 若多变量函数f在a处连续,单变量函数g在()bf a处连续,则gf在a处连续.例 1 例 1 n中有限点集上的任何函数都是连续函数.例 2 例 2 n上n元多项式函数是连续函数；n元有理函数是其定义域上 的连续函数.例 3(代表性的例子)例 3(代表性的例子)(1)2222,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0)x yx yf x yxyx y在2上连 续；(2)22,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0)xyx yxyg x yx y 在2(0,0)上连
3、续,在(0,0)处不连续.证:证:这是因为(,)(0,0)lim(,)0 x yf x y,(,)(0,0)lim(,)x yg x y不存在之故.定义 13.17(重要的概念)定义 13.17(重要的概念)设f是非空点集nD 上的函数.若0,0,使得,x yD,xy,成立()()f xf y,则 245称f在D上一致连续,或f是D上的一致连续函数.显然,若f是D上的一致连续函数,则f一定是D上的连续函数(反之则可能不正确).注记13.1注记13.17 函数f在D上不一致连续0 和,iixyD,使 得lim0iiixy,并且()()iif xf y,i.例 4例 4 22(,)xyg x yx
4、y在2(0,0)上连续,但不一致连续.解:解:1 111 111lim(,)(,0)0,(,)(,0)2iggi iii ii.定理 13.22定理 13.22 n中紧致集D上的连续函数f一定在D上一致连续.证:证:(利用D的列紧性反证)假定连续函数f不一致连续,即0 和,iixyD,使得lim0iiixy,并且()()iif xf y,i.取 ix的一个子列ikx收敛于aD,则iky也收敛于aD,从而0()()lim()()0iikkif af af xf y,得到矛盾.定理 13.23定理 13.23 若nD 是紧致集,f是D上的连续函数,则()f D是中的紧致集.作为推论,f在D上有界.
5、证:证:只需证()f D列紧.(),iiyf DxD使得*(),iiyf xi.取 ix的子列ikx收敛于aD,则()iikkyf x收敛于()()f af D.这说明()f D是中的列紧集.定理 13.24(最大值和最小值的可达性)定理 13.24(最大值和最小值的可达性)若nD 是紧致集,f是D 上的连续函数,则必,a bD,使得()min()x Df af x,()max()x Df bf x.作为推论,f在D上有界.证:证:利用D的列紧性易知.定理 13.25 和 13.26 定理 13.25 和 13.26 若nD 是连通点集,f是D上的连续函数,则()f D是中的区间.作为推论,f
6、在D上具有介值性.246证:证:对于任意非空无交并分解()f DAB,能得到另一个对于任意非空无交并分解11()()DfAfB.于是,11()()fAfB和11()()fAfB至少有一个非空.不妨设1()afA是1()fB的极限点,则1()ixfB收敛于a,故()if xB收敛于()f aA,从而AB.这说明()f D连通.练习题 13.7(练习题 13.7(100P)1,2.(阅读 3,4,5,6)问 题 13.7(问 题 13.7(102P)1.(阅读 2,3)24713.8 连续映射13.8 连续映射 定义在 定义在n中非空点集上的映射 中非空点集上的映射 若nD 是非空点集,则映射:m
7、fD 便自动地确定了D上的m个n元函数(1,2,)kfkm满足 12()(),(),(),mf xf xfxfxxD；反之,也能用D上的m个n元函数(1,2,)kfkm来定义一个映射:mfD ,其中 12()(),(),(),mf xf xfxfxxD；通常可将映射:mfD 记成12()(),(),(),mf xf xfxfxxD.定义 13.18定义 13.18 设f是从非空点集nD 到m的映射,a是D的极限点,mp是固定点.若0,0,使得,0 xDxa,成立()f xp,则称当xa时()f x趋向于p；或称当xa时f有极限p；或称当xa时f以p为极限；或称f在a处有极限p.“当xa时f有极
8、限p”这件事用数学符号表示成 lim()xaf xp 或()()f xp xa.定义 13.1定义 13.18 lim()xaf xp(),()BpB a,使得()x DB aa ,成立()()f xBp.定理 13.27定理 13.27 1212lim(),(),()(,)mmxaf xf xfxppp lim(),1,2,kkxaf xpkm.证:证:1()()(),1,2,mkkiiifxpf xpf xpkm.定理 13.28(映射极限的线性运算和内积运算)定理 13.28(映射极限的线性运算和内积运算)设,f g是从非空点集nD 到m的映射,a是D的极限点,是常数.若lim(),li
9、m()xaxaf xpg xq,则 248(1)lim()()xaf xg xpq；(2)lim(),(),xaf xg xp q .证:证:(略).定义 13.19定义 13.19 设f是从非空点集nD 到m的映射,aD.若0,0,使得()xDBa,成立()()f xf a,则称f在a处连续,或a是f的连续点；若f在D中的每个点处都连续,则称f在D上连续,或f是从D到m的连续映射.定 义 13.1定 义 13.19 映 射f在a处 连 续(),()Bf aBa,使 得()x DB a,成立()()f xBf a.命题 命题 映射12(,)mffff在a处连续每个函数kf在a处连续,1,2,k
10、m.定理 13.29定理 13.29 若nD是非空开(闭)集,则映射:mfD连续开(闭)集1,()mGfG是n中的开(闭)集.证:证:当D是开集时,证明很容易.这里仅证D是闭集的情形.“”.aD,要 证f在a处 连 续.10,()cfBf a 是 闭 集,1()cafBf a,故0使得1()()cBafBf a,于 是()()f DB aBf a.这说明f在a处连续.“”.设f是连 续映射.(反证法)假定mG 是闭集,而1()fG不是闭集,则存在1()ixfG收敛于1()afG.注意,D是闭集确保了aD.于是,()if xG收敛于()f aG,这与G是闭集相矛盾.注记注记 有关多变量函数极限和连续的全部概念和结论(除去涉及到“次序”的那些)都能推广到多变量映射.定理13.30定理13.30 若f是从非空紧致集nD到m的连续映射,则f在D 上一致连续.249定理 13.31 定理 13.31 若f是从非空连通集nD 到m的连续映射,则()f D是m中的连通点集.定理 13.32 定理 13.32 若f是从非空紧致集nD 到m的连续映射,则()f D是m中的紧致集.作为推论,f在D上有界.练习题 13.8(练习题 13.8(105P)2.问 题 13.8(问 题 13.8(105P)1,2,3.