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1、 278第 15 章 曲面的表示 第 15 章 曲面的表示 本章主要讲述 3 维空间3中曲面的显函数表示、隐函数表示和参数表示.曲面的概念曲面的概念 设3 是连通点集.若a,存在空间3中包含a的区域V,使得V与平面2中的某个开圆盘同胚,则称是3中的曲面.例如,球面、圆柱面、平面上的区域是曲面；平面上的闭区域不 是曲面(由去掉一个边界点不影响单连通性可证明).15.1 曲面的显式方程和隐式方程15.1 曲面的显式方程和隐式方程 命题 1命题 1 若(,)zf x y是区域2D上的连续函数,则 3(,(,):(,)x y f x yx yD 是3中的曲面.该曲面有时也记成“曲面(,)(,)zf x
2、 yx yD”.证:证:因为(,)(,(,)F x yx y f x y是从D到3的连续映射,故()F D 连通.0000(,(,)xyf xy,取00(,)BxyD,则00(,)VBxy是包含点0000(,(,)xyf xy的区域.300(,(,):(,)(,)Vx y f x yx yBxy 显然与00(,)Bxy同胚,因为投影映射便是从V到00(,)Bxy上的同胚映射.命题 2 命题 2 若(,)zf x y是区域2D 上的1C函数,00(,)xyD,则 0000(,),(,),1)ffxyxyxy 是曲面(,)(,)zf x yx yD的上侧在点0000(,(,)xyf xy处的一个法
3、向量；切平面方程为 00000000(,)(,)()(,)()ffxyzf xyxyxxxyyy.279证:证:曲面(,)zf x y与平面0yy相交成曲线100()(,(,)xx yf x y,00(1,0,(,)fxxy是1在0000(,(,)x yf x y处的一个切向量；曲面(,)zf x y与平面0 xx相交成曲线200()(,(,)yxy f xy,00(0,1,(,)fyxy是2在0000(,(,)xyf xy处的一个切向量.故曲面上侧在点0000(,(,)x yf x y 处的法向量之一便是 00(1,0,(,)fxxy123000000,1,0,(,)0,1,(,)(0,1,
4、(,)detfxfyfyeeexyxyxy 0000(,),(,),1)ffxyxyxy.命题 3 命题 3 若(,)F x y z是区域3V 上的1C函数,(,):(,)x y zV F x y z 0连通,并且(,)0,(,)gradF x y zx y z,则是3中的曲面.该曲面有时也记成“曲面(,)0(,)F x y zx y zV”.证:证:000(,)xyz,因为000(,)0F x y zgrad,故不妨设000(,)0Fzx y z.由隐函数定理,存在200(,)Bxy上唯一的1C函数(,)zf x y使得000(,(,)0,(,)F x y f x yzf xy.这说明在00
5、0(,)xy z附近,就是曲面(,)zf x y.命题 4 命题 4 设(,)F x y z是区域3V上的1C函数,(,)(,):F x y zx y zV 0连通,并且(,)0(,),F x y zx y zgrad.对于固定点000(,)xyz,000(,)F x y zgrad是曲面在000(,)x y z处的一个法向量,指向(,):x y zV(,)0F x y z；切平面方程为 00000000(,)()(,)()FFxyxy zxxxy zyy 0000(,)()0Fzxy zzz.证:证:因为000(,)0F x y zgrad,故不妨设000(,)0Fzx y z.由隐函数定理
6、,在000(,)xy z附近,能表示成显式曲面(,)zf x y.故 0000(,),(,),1)ffxyxyxy 280是曲面在000(,)xy z处的一个法向量.从 0000000000000000(,)(,)(,),(,)(,)(,)FFyffxxyFFzzxy zxy zxyxyxy zxy z ,便知0000000000(,)(,)(,),(,),1)ffFzxygradF xy zxy zxyxy.对于方向000000(,)(,)gradF xy zugradF xy z,有 000000(,)(,),Fuxy zgradF xy zu 000(,)0gradF xy z.这说明单
7、变量函数000()(,)g tFxy ztu在0t 附近严格递增,故u指向(,):(,)0 x y zVF x y z.推论推论 若000(,)xy z是空间曲线(,)0(,)0F x y zG x y z上的点,则000(,)gradF xy z 000(,)gradG xy z是该曲线在点000(,)xy z处的一个切向量.作为特例,若00(,)xy是平面曲线(,)0f x y 上的点,则0000(,),(,)ffyxxyxy是该曲线在点00(,)xy处的一个切向量.证:证:交线的切线同时位于两块曲面的切平面上,故交线的切向量同时 正交于两块曲面的法向量,从而gradFgradG是交线的切
8、向量.平面曲线(,)0f x y 可视为空间曲线(,)00f x yz,其切向量之一是 00000000(,),(,),0)(0,0,1)(,),(,),0)ffffxyyxxyxyxyxy.练习题 15.1(练习题 15.1(181P)2,4,5,8,9,10,11.28115.2 曲面的参数方程15.2 曲面的参数方程 命题 1命题 1 若(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v是从区域2D到点集3 上的同胚映射,则()S D 是3中的曲面.该曲面有时也记成“参数曲面(,)(,),(,),(,)(,)S u vx u vy u v z u vu vD”.证:证
9、:显然连通.00(,)S u v,取00(,)B u vD,则00(,)S B u v与00(,)B u v同胚.只要能找到3中包含00(,)S u v的区域V,使得V 00(,)S B u v即可.00(,)(,)u vB u v,3(,)BS u v使得 100(,)(,)SBS u vB u v.(当然与(,)u v有关)于是,00(,)(,)(,)u vBuvVBS u v是3中包含00(,)S u v的区域,并且V 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)u vBu vu vBu vB S u vS B u vS u v V.参数曲面的正侧 参数曲面的正侧 对于参数曲面
10、(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u v)D,设是D中按逆时针方向描出的简单闭曲线.称使简单闭曲线S按逆时针方向描出的那一侧为该参数曲面的正侧.例 1例 1 曲面(,)(,)zf x yx yD可视为参数曲面(,)(,(,)S u vu v f u v(,)u vD.前者的上侧恰为后者的正侧.命题2命题2 若(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u vD是光滑参数曲面(即S不仅是从D到3的1C映射,而且SSuv在D上处处都是非零向量),00(,)u vD,则0000(,)(,)SuSvu vu v是该参数曲面的正侧
11、在00000(,)(,)S u vxy z处的一个法向量；切平面方程为 000000000000000,det(,),(,),(,)0(,),(,),(,)yxzuuuyxzvvvxxyyzzu vu vu vu vu vu v.282证:证:曲线1000()(,),(,),(,)ux u vy u vz u v位于参数曲面上,00(,)Suu v是1在000(,)x yz处的一个切向量；2000()(,),(,),(,)vx u vy u v z u v也位于参数曲面上,00(,)Svu v是2在000(,)xyz处的一个切向量.故曲面正侧在点000(,)x y z处的法向量之一便是0000
12、(,)(,)SSuvu vu v.例 2 例 2 若(,)zf x y是区域2D上的1C函数,则(,)(,(,)S u vu v f u v(,)u vD 是光滑参数曲面,其正侧的法向量恰为(,),(,),1)ffuvu vu v.证:证:123,1,0,(,)(,)(,)0,1,(,)(,)(,)det(,1)fufvffSSuvuveeeu vu vu vu vuvu v.命题 3命题 3 设(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u vD是光滑参数曲面,记 22,SSSSuvuvEGF(称为该参数曲面的第一基本量),则20SSuvEGF,从而2SSuv
13、EG Fn是该参数曲面正侧的单位法向量.证:证:2222sinSSSSuvuv222(1cos)SSuv2EGF.柱坐标 柱坐标 对于点3(,)x y zz轴,存在唯一的(,)0rz（，）0,2),使得 (,)(cos,sin,)x y zrrz.称(,)rz为点(,)x y z的柱坐标.283 球坐标 球坐标 对于点3(,)x y zz轴,存在唯一的(,)0)(0,)0,2)r （，,使得 (,)(sin cos,sin sin,cos)x y zrrr.称(,)r 为点(,)x y z的球坐标.例 3例 3 在柱坐标下,柱面()()rr的参数表示为(,)()cos,()sin,)(,)(,
14、)Szrrzz.例 4.例 4 在球坐标下,球面rR的参数表示为(,)(sin cos,sin sin,cos)(,)(0,)0,2)SRRR .有向面积元素 .有向面积元素 对于光滑参数曲面(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u vz u v(,)u v)D,称(,)(,)SSuvu vu v dudv为该参数曲面在(,)S u v处的面积元素；称(,)(,)(,)(,)SSSSuvuvu vu v dudvnu vu v dudv为该参数曲面 的正侧在(,)S u v处的有向面积元素.命题4命题4 直角坐标下曲面(,)zf x y的面积元素为 221;ffxydxdy 柱坐
15、标下柱面()rr的面积元素为22rr d dz；球坐标下球面rR的面积元素为2sinRd d ；直角坐标系下曲面(,)0F x y z 的 面积元素为FzgradFdxdy或FxgradFdydz或FygradFdzdx.证:证:(1)(,)zf x y的参数表示为(,)(,(,)S x yx y f x y,故(,1)ffSSxyxy,221ffxySSxydxdydxdy.(2)()rr的参数表示为(,)()cos,()sin,)Szrrz,故 284 123,detcossin,sincos,00,0,1SSzeeerrrr sincos,cossin,0rrrr,22SSzrr d d
16、zd dz.(3)rR的参数表示为(,)(sin cos,sin sin,cos)SRRR,故 123,detcos cos,cos sin,sinsin sin,sin cos,0SSeeeRRRRR 222sincos,sinsin,sin cosR,2sinSSd dRd d .(4)设(,)0F x y z的局部显式表示为(,)zf x y,则/,/ffFFFFxxzyyz ,故 221ffxydxdyFzgradFdxdy.参数曲面上曲线的弧长元素参数曲面上曲线的弧长元素 设(,)(,),(,),(,)S u vx u vy u v z u v(,)u v)D是光滑参数曲面,(),()()u t v tt 是D中的光滑曲线,则()(),()()tS u t v tt 是该参数曲面上的光滑曲线,在()t处的弧长元素为 22()()2()()()tdtE u tFu t v tG v tdt.证:证:()()()SSuvtu tv t,22222()()2,()()()SSSSuuvvtu tu t v tv t 22()2()()()0E u tFu t v tG v t,这是因为,E FF G正定和(),()u tv t处处非零之故.练习题 15.2(练习题 15.2(188P)1(1,3,5,6),2,3.