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1、第第1313章晶格振动章晶格振动本讲稿第一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军第第13章章 晶格振动晶格振动原子在平原子在平原子在平原子在平衡位置不衡位置不衡位置不衡位置不动动动动原子偏离原子偏离原子偏离原子偏离平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置而振动而振动而振动而振动原子离开原子离开原子离开原子离开平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置而扩散而扩散而扩散而扩散晶体由固态晶体由固态晶体由固态晶体由固态转变成液态转变成液态转变成液态转变成液态T TT TT T理想情况理想情况晶格振动晶格振动熔解熔解晶格振动能够解释固体的许多物理性质，如晶格振动能够解释固体的许多物理
2、性质，如晶格振动能够解释固体的许多物理性质，如晶格振动能够解释固体的许多物理性质，如比热、热传导、热膨比热、热传导、热膨比热、热传导、热膨比热、热传导、热膨胀、本征电阻、离子晶体的光学性质以及与热现象胀、本征电阻、离子晶体的光学性质以及与热现象胀、本征电阻、离子晶体的光学性质以及与热现象胀、本征电阻、离子晶体的光学性质以及与热现象有关的物理有关的物理有关的物理有关的物理过程过程过程过程 本讲稿第二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动物理模型一维单原子晶格振动物理模型xn+1xn+2xnxn-1x
3、n-2nn+1n+2n-2n-1nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3两原子间的相对位移：=xn+1-xn平衡时两原子间作用势U（a）U(a+)本讲稿第三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论1.1.将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开将偏离平衡位置后的势能在平衡位置处泰勒展开高阶略去平衡时势能为极小值2.2.将将U(a+U(a+)对对求偏导求偏导常数：力常数简谐运动公式简谐近似作用力nn+1n+2n+3n-3n-2
4、n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3本讲稿第四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论3.3.相邻两个原子间的作用力相邻两个原子间的作用力nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2对时间的二阶导数牛二牛二本讲稿第五页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论4.4.从力
5、的方程到振动位移方程从力的方程到振动位移方程nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2n+2n-2n+1n-1n简谐波的试探解在简谐近似下，晶格振动以平面波的形式在在简谐近似下，晶格振动以平面波的形式在晶体中传播晶体中传播格波格波波矢振幅相邻原子相位差振动角频率本讲稿第六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F
6、F1 1F F2 2n+2n-2n+1n-1n格波ma-na=S所有原子都以相同所有原子都以相同和和A A做简谐振动做简谐振动简谐波的特性简谐波的特性周期性周期性本讲稿第七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论5.5.色散方程的求出色散方程的求出nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2色散关系之讨论色散关系之讨论本讲稿第八页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.
7、1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论5.5.色散方程的求出色散方程的求出nn+1n+2n+3n-3n-2n-1axn-3xn-2xn-1xnxn+1xn+2xn+3F F1 1F F2 2本讲稿第九页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论maxmaxO/a-/aqI.I.周期性周期性&偶对称偶对称第一第一布区布区只有在第一布区才能找到唯一波矢解第一布区外的波矢点可以找到其在第一布区的等效点q
8、qq q/本讲稿第十页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论I.I.周期性周期性&偶对称偶对称两个波矢等效等效点等效点本讲稿第十一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论maxmaxO/a-/aqII.II.对波长的讨论对波长的讨论长波极限长波极限讨论问题区域在第一布讨论问题
9、区域在第一布区原点附近区原点附近q q线性关系线性关系相速度与波相速度与波长无关长无关本讲稿第十二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论II.II.对波长的讨论对波长的讨论长波极限长波极限相速度与波长无关相速度与波长无关与宏观弹性波的性质一致与宏观弹性波的性质一致在长波情况下在长波情况下在长波情况下在长波情况下，相速度是与波长无关的的常数，这与宏观的，相速度是与波长无关的的常数，这与宏观的，相速度是与波长无关的的常数，这与宏观的，相
10、速度是与波长无关的的常数，这与宏观的弹性波是一致弹性波是一致弹性波是一致弹性波是一致的。的。的。的。还可以进一步证明，两者相速度在数值上完全相等；还可以进一步证明，两者相速度在数值上完全相等；还可以进一步证明，两者相速度在数值上完全相等；还可以进一步证明，两者相速度在数值上完全相等；故，在长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格振动类似于再连续介质中传播故，在长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格振动类似于再连续介质中传播故，在长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格振动类似于再连续介质中传播故，在长波近似下，格波的波长远大于原子间距，晶格振动类似于再连续介质中传播的弹性波的弹性波的弹
11、性波的弹性波本讲稿第十三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.1一维单原子晶格振动一维单原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论6.6.有关色散方程的讨论有关色散方程的讨论II.II.对波长的讨论对波长的讨论短波极限短波极限讨论问题区域在第一布区讨论问题区域在第一布区的布区边缘的布区边缘maxmaxO/a-/aq随着随着随着随着q q的增加，色散曲线逐渐偏离直线向下弯曲；当的增加，色散曲线逐渐偏离直线向下弯曲；当的增加，色散曲线逐渐偏离直线向下弯曲；当的增加，色散曲线逐渐偏离直线向下弯曲；当时，色散曲线完全平坦时，色散曲线完全平坦时，色散曲
12、线完全平坦时，色散曲线完全平坦 连续介质的整体运动，连续介质的整体运动，=0=0，恢复，恢复力为力为0 0相邻原子反向振动，相邻原子反向振动，=maxmax，恢复，恢复力最大力最大本讲稿第十四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动物理模型一维双原子晶格振动物理模型2aMmMMmMm2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3本讲稿第十五页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方
13、程讨论1.1.从运动方程到色散方程从运动方程到色散方程2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3本讲稿第十六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论1.1.从运动方程到色散方程从运动方程到色散方程2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3振幅振幅A&BA&B有非零解有非零解本讲稿第十七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动简谐近似运动方程方程的解xn色散方程讨论1.1.从运动
14、方程到色散方程从运动方程到色散方程2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3+:光学支光学支-:声学支声学支本讲稿第十八页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3I.I.一般情况下，声学波相邻（一般情况下，声学波相邻（M&mM&m）原子沿同一方向振动；光学波相）原子沿同一方向振动；光学波相邻原子沿相反方向振动邻原子沿相反方向振动本讲稿第十九页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学
15、院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3II.II.长波极限下，长声学波两种原子运动完全长波极限下，长声学波两种原子运动完全一致一致，且振幅和位相都无，且振幅和位相都无差别，此时长声学波代表着差别，此时长声学波代表着原胞质心的运动原胞质心的运动；长光学波，异类原子；长光学波，异类原子反向反向振动，振动，原胞质心保持不动原胞质心保持不动；长声学波长声学波长光学波长光学波布区中心附近本讲稿第二十页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维
16、双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-12amM2n-3III.III.短波极限下，声学波短波极限下，声学波轻原子不振动轻原子不振动，重原子振动；光学波，重原子振动；光学波重原子重原子不振动不振动，轻原子振动；，轻原子振动；短波极限下声学波短波极限下声学波短波极限下光学波短波极限下光学波布区边缘附近本讲稿第二十一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动2.2.声学支和光学支振动特点声学支和光学支振动特点2n2n+22n+12n-22n-
17、12amM2n-3长波极限长波极限短波极限短波极限本讲稿第二十二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.2 一维双原子晶格振动一维双原子晶格振动关于声学支和光学支关于声学支和光学支运动特点的推导运动特点的推导本讲稿第二十三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动晶格振动.一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支声学支声学支的色散关系式声学支的色散关系式本讲稿第二十四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系
18、色散关系.声学支之长波极限声学支之长波极限长声学波的长声学波的 -q q呈线性关系呈线性关系 长声学波的原胞中长声学波的原胞中两种原两种原子运动完全一致子运动完全一致，振幅和，振幅和位相都没有差别；即在长位相都没有差别；即在长声学波时，声学波实际代声学波时，声学波实际代表原胞质心的振动表原胞质心的振动 长波极限：长波极限：长波极限：长波极限：q q0 0时，时，时，时，本讲稿第二十五页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支之短波极限声学支之短波极限短波极限：短波极限：短波极限：短波极限：解得解得
19、A=0A=0，但，但B0B0，即，即x x2n+12n+1=0 0，因此，在短波极，因此，在短波极限的情况下，限的情况下，轻的原子不轻的原子不振动，重的原子振动振动，重的原子振动 本讲稿第二十六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.声学支之一般情况声学支之一般情况条件：条件：条件：条件：0|q|/2a0|q|0cos(qa)0 声学波相邻原子的振幅有相同的正负号，即相邻原子沿声学波相邻原子的振幅有相同的正负号，即相邻原子沿同一方同一方向振动向振动 本讲稿第二十七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院
20、陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.光学支光学支本讲稿第二十八页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.光学支光学支.长波极限长波极限光学支长波极限条件：光学支长波极限条件：光学支长波极限条件：光学支长波极限条件：q q0 0：u=Mm/(M+m)u=Mm/(M+m)，称，称为折合质量为折合质量 当当当当q q0 0时，有时，有时，有时，有 +max+max 反向运动；原胞反向运动；原胞质心不动质心不动 本讲稿第二十九页，共五十八页电子科技大学
21、光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.光学支光学支.短波极限短波极限短波极限：短波极限：短波极限：短波极限：解得解得A0 A0，但，但B=0B=0，即，即x x2n2n=0 0，因此，在短波极限，因此，在短波极限的情况下，的情况下，重的原子不重的原子不振动，轻的原子振动振动，轻的原子振动 本讲稿第三十页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动晶格振动.一维双原子晶格的振动一维双原子晶格的振动.色散关系色散关系.光学支光学支.一般情况一般情况条件：条件：条件：条件：0|q|/2a0|q|
22、0cos(qa)0 光学波相邻原子的振幅是反向的，即相邻原子沿光学波相邻原子的振幅是反向的，即相邻原子沿相反方向相反方向振动振动 本讲稿第三十一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数玻恩玻恩-卡门条件卡门条件前面讨论的是一维无限长的原子链，现在讨论有前面讨论的是一维无限长的原子链，现在讨论有N N个原子的有限长链个原子的有限长链123NN-1.123.N-1N基本假设：基本假设：有有N N个原子的有个原子的有限长链中，可限长链中，可首尾相接首尾相接，并将第并将第1 1个原子看成是第个原子看成是第N+1N+1个
23、原子，这样就可以用之前讨个原子，这样就可以用之前讨论的结果来描述有限长的原子论的结果来描述有限长的原子链模型链模型N+1N+1本讲稿第三十二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数123NN-1.N+1N+1 qNa=2S S S为整数为整数讨论第一布区讨论第一布区结论：结论：S S在有限的范围内取整在有限的范围内取整数，所以波矢数，所以波矢q q的值是有限并的值是有限并离散的。与无限长原子链波离散的。与无限长原子链波矢连续形成对比矢连续形成对比本讲稿第三十三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技
24、大学光电信息学院陈德军13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数123NN-1.N+1N+1结论：一维下结论：一维下N N个原子的晶体在第一布区有个原子的晶体在第一布区有N N个独立的振动波矢个独立的振动波矢N N为原子个数为原子个数N=1N=1 qNa=2S S=0S=0 q=2S/(/(Na)一维布拉菲格子一维布拉菲格子q=0q=0N=2N=2S=0S=0，1 1N=3N=3S=-1S=-1，0 0，1 1本讲稿第三十四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数123NN-1.N+1N+1结论延伸至三
25、维结论延伸至三维几个重要的概念和结论几个重要的概念和结论1 1、晶体中原胞个数：、晶体中原胞个数：N N2 2、每个原胞的原子数：、每个原胞的原子数：n n3 3、原子自由度、原子自由度 原子的空间原子的空间维数维数：k k4 4、原胞自由度总数：、原胞自由度总数：nknk5 5、晶体中原子的自由度总数：、晶体中原子的自由度总数：NnkNnkI.I.格波支数格波支数 晶体中晶体中光学波和声学波的光学波和声学波的支数之和支数之和：nknkII.II.每支格波的格波数每支格波的格波数 每支格波包含的每支格波包含的波矢个数波矢个数：N NII.II.晶体总格波数：晶体总格波数：NnkNnkk k支频
26、率最低的格波为声学支频率最低的格波为声学波，其余为光学波波，其余为光学波本讲稿第三十五页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.3 周期边界条件与格波数周期边界条件与格波数123NN-1.N+1N+1结论延伸至三维结论延伸至三维一维布拉菲格子一维布拉菲格子举例说明举例说明（以下晶体原胞的个数为（以下晶体原胞的个数为N N）晶体晶体格波支数格波支数（声学支、光学支）（声学支、光学支）每支格波每支格波的格波数的格波数总的格总的格波数波数1 1（1 1、0 0）N NN N一维双原子格子一维双原子格子2 2（1 1、1 1）N N2N2N二维正方格子二维正方格子
27、2 2（2 2、0 0）N N2N2N金刚石结构金刚石结构6 6（3 3、3 3）N N6N6N本讲稿第三十六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.4 晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子由玻恩卡门条件可以知道：在有限的晶体内，振动模由玻恩卡门条件可以知道：在有限的晶体内，振动模式（式（q q，）是分立的；）是分立的；每一个独立的振动模式，都可以看成是一个谐振子，总每一个独立的振动模式，都可以看成是一个谐振子，总能量为能量为N N个谐振子能量之和个谐振子能量之和根据量子力学，一个谐振子的能量可以写成根据量子力学，一个谐振子的能量可以写成声子：晶
28、格振动的最小单位零点能格波数本讲稿第三十七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.4 晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子对声子的深入理解对声子的深入理解1 1、声子是晶格振动格波的能量量子，是晶格振动能量的最小、声子是晶格振动格波的能量量子，是晶格振动能量的最小单位；声子越多，该模式振动越强烈；单位；声子越多，该模式振动越强烈；2 2、声子是玻色子，服从玻色、声子是玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计分布；爱因斯坦统计分布；5 5、声子服从能量守恒和准动量守恒：、声子服从能量守恒和准动量守恒：3 3、声子不是一种真实的粒子，不携带物理量，其准动量为、
29、声子不是一种真实的粒子，不携带物理量，其准动量为q q；4 4、声子数不守恒，在与其他粒子碰撞时，可产生，也可湮、声子数不守恒，在与其他粒子碰撞时，可产生，也可湮灭；灭；本讲稿第三十八页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.4 晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子本讲稿第三十九页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论一维单原子的振动一般解讨论关于晶格振动简正坐标的关于晶格振动简正坐标的表示，以及谐振子能量公表示，以及谐振子能量公式的推导式的推
30、导本讲稿第四十页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论一维单原子的振动一般解讨论问题的提出问题的提出问题的提出问题的提出：如果采用：如果采用：如果采用：如果采用x xn n为为为为坐标系，那么会有坐标系，那么会有坐标系，那么会有坐标系，那么会有NN（NN为为为为原子个数）个实数坐标系；原子个数）个实数坐标系；原子个数）个实数坐标系；原子个数）个实数坐标系；而这而这而这而这NN个坐标系的物理性质个坐标系的物理性质个坐标系的物理性质个坐标系的物理性质又又又又相互关联相互关联相互关联相互关联，这
31、将为讨论问题，这将为讨论问题，这将为讨论问题，这将为讨论问题带来麻烦；带来麻烦；带来麻烦；带来麻烦；解决思路解决思路解决思路解决思路：采用一归一化正：采用一归一化正：采用一归一化正：采用一归一化正交坐标系使其坐标系中的物交坐标系使其坐标系中的物交坐标系使其坐标系中的物交坐标系使其坐标系中的物理操作都是相互独立的理操作都是相互独立的理操作都是相互独立的理操作都是相互独立的简正坐标简正坐标简正坐标简正坐标；步骤一：线性叠加步骤一：线性叠加步骤一：线性叠加步骤一：线性叠加解决方法解决方法解决方法解决方法：简正坐标的建立即变：简正坐标的建立即变：简正坐标的建立即变：简正坐标的建立即变原来的几何空间为状
32、态空间，在原来的几何空间为状态空间，在原来的几何空间为状态空间，在原来的几何空间为状态空间，在状态空间建立相应的坐标系去讨状态空间建立相应的坐标系去讨状态空间建立相应的坐标系去讨状态空间建立相应的坐标系去讨论问题；论问题；论问题；论问题；归一化因子归一化因子归一化因子归一化因子本讲稿第四十一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子.一维单原子的振动一般解讨论一维单原子的振动一般解讨论2步骤二：简正坐标的表示步骤二：简正坐标的表示步骤二：简正坐标的表示步骤二：简正坐标的表示以以b bnqnq为坐标系为坐标系简正坐标简正
33、坐标为状态空间为状态空间q q的坐标系的坐标系独立的坐标数仍然为独立的坐标数仍然为独立的坐标数仍然为独立的坐标数仍然为NN个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的个，因而晶体中原子的自由度总数仍然是一致的 本讲稿第四十二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量晶格振动总能量在简正坐标系下讨论该问题：在简正坐标系下讨论该问题：在简正坐标系下讨论该问题：在简正坐标系下讨论该问题：动能动能动能动能1 1势能势能势能势能设平
34、衡位设平衡位设平衡位设平衡位置时能为置时能为置时能为置时能为零零零零本讲稿第四十三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动晶格振动.晶格振动的量子化与声子晶格振动的量子化与声子.晶格振动总能量晶格振动总能量2总能量总能量总能量总能量根根根根x xn n无关，只跟波矢无关，只跟波矢无关，只跟波矢无关，只跟波矢q q有关有关有关有关进一步讨论：哈密顿方程进一步讨论：哈密顿方程进一步讨论：哈密顿方程进一步讨论：哈密顿方程本讲稿第四十四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格振动晶格振动.晶格振动的量子化与声子晶格振动的量
35、子化与声子.声子声子每个谐振每个谐振每个谐振每个谐振子的能量子的能量子的能量子的能量谐振子能量是量子化的，谐振子能量是量子化的，谐振子能量是量子化的，谐振子能量是量子化的，有有有有NN个独立的谐振子，总个独立的谐振子，总个独立的谐振子，总个独立的谐振子，总能量为其和能量为其和能量为其和能量为其和根据量子力学理论：根据量子力学理论：根据量子力学理论：根据量子力学理论：谐振子能量谐振子能量谐振子能量谐振子能量三维空间：三维空间：三维空间：三维空间：声子声子声子声子晶格振动的最小单元晶格振动的最小单元晶格振动的零点能晶格振动的零点能晶格振动的零点能晶格振动的零点能本讲稿第四十五页，共五十八页电子科技
36、大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热比热的定义：比热的定义：单位温度变化所引起的内能变化单位温度变化所引起的内能变化以下对比热的讨论只考虑晶格的影响以下对比热的讨论只考虑晶格的影响晶格振动能量引入比热电子运动能量引入比热本讲稿第四十六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热1 1、经典比热理论、经典比热理论杜隆杜隆-珀替定理珀替定理经典能量均分原理：经典能量均分原理：E=3NKE=3NKB BT T晶体振动总的自由度每个谐振子的能量比热与温度无关，为一常数：比热与温度无关，为一常数：C CV
37、V=3NK=3NKB B在低温处出现矛盾本讲稿第四十七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热2 2、晶格比热的量子理论、晶格比热的量子理论谐振子的能量谐振子的能量谐振子平均能量谐振子平均能量f(B)f(B)本讲稿第四十八页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热2 2、晶格比热的量子理论、晶格比热的量子理论谐振子的能量谐振子的能量谐振子平均能量谐振子平均能量本讲稿第四十九页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热2 2
38、、晶格比热的量子理论、晶格比热的量子理论谐振子的能量谐振子的能量谐振子平均能量谐振子平均能量总的平均能量总的平均能量晶体的比热晶体的比热本讲稿第五十页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热2 2、晶格比热的量子理论、晶格比热的量子理论谐振子的能量谐振子的能量谐振子平均能量谐振子平均能量总的平均能量总的平均能量晶体的比热晶体的比热假设频率假设频率连续连续频率分布函数本讲稿第五十一页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热2 2、晶格比热的量子理论、晶格比热的量子理论可以证明该公式
39、在可以证明该公式在T T很大时，趋近很大时，趋近3NK3NKB B；在在T T很低时，趋向很低时，趋向0 0；谐振子的能量谐振子的能量谐振子平均能量谐振子平均能量总的平均能量总的平均能量晶体的比热晶体的比热假设频率假设频率连续连续本讲稿第五十二页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热3 3、爱因斯坦模型、爱因斯坦模型假设：原子中所有原子振动独立，且频率相同假设：原子中所有原子振动独立，且频率相同即：0 00 00 0爱因斯坦比热函数爱因斯坦温度本讲稿第五十三页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13
40、.5 晶格比热晶格比热3 3、爱因斯坦模型、爱因斯坦模型高温时高温时低温时低温时结论结论1 1：高温时与实验相符：高温时与实验相符趋近于0结论结论2 2：低温时，趋势与实验相同；低温时，趋势与实验相同；但是实验表明比热与但是实验表明比热与T T3 3成正比，而爱成正比，而爱因斯坦模型比它更快地趋向零。因斯坦模型比它更快地趋向零。本讲稿第五十四页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热4 4、德拜模型、德拜模型假设：晶体是各向同性的连续介质，格波可以看成连续介质中假设：晶体是各向同性的连续介质，格波可以看成连续介质中的弹性波（长声学波）的
41、弹性波（长声学波）波速为常数波速为常数经过推导，可得经过推导，可得德拜温度德拜温度德拜温度德拜温度德拜比热函数德拜比热函数德拜比热函数德拜比热函数本讲稿第五十五页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军13.5 晶格比热晶格比热4 4、德拜模型、德拜模型结论结论1 1：高温时与实验相符，但是，为：高温时与实验相符，但是，为了接近实验结果，常常选取随温度变化了接近实验结果，常常选取随温度变化的德拜温度的德拜温度结论结论2 2：低温时，比热与温度低温时，比热与温度T T3 3成成正比，与实验符合得很好。温度越低，正比，与实验符合得很好。温度越低，符合得越好；符合得越
42、好；本讲稿第五十六页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格比热晶格比热.德拜模型德拜模型假设：假设：假设：假设：把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且假定纵把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且假定纵把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且假定纵把布拉菲晶格看作是各向同性的连续介质，即把格波看作是弹性波，并且假定纵的弹性波和横波波速相等，都是的弹性波和横波波速相等，都是的弹性波和横波波速相等，都是的弹性波和横波波速相等，都是 对于每一支振动，波矢的数值在对于每一支振动，波矢的数值在
43、对于每一支振动，波矢的数值在对于每一支振动，波矢的数值在qq+dqqq+dq的的的的振动方式数目为振动方式数目为振动方式数目为振动方式数目为 其中其中其中其中V V为晶体的体积为晶体的体积为晶体的体积为晶体的体积 对于各向同性介质中的弹性波对于各向同性介质中的弹性波对于各向同性介质中的弹性波对于各向同性介质中的弹性波的格波数的格波数的格波数的格波数本讲稿第五十七页，共五十八页电子科技大学光电信息学院陈德军电子科技大学光电信息学院陈德军晶格比热晶格比热.德拜模型德拜模型2德拜温度德拜温度德拜温度德拜温度德拜比热函数德拜比热函数德拜比热函数德拜比热函数比热与经典的杜隆比热与经典的杜隆比热与经典的杜
44、隆比热与经典的杜隆-珀替定律一致珀替定律一致珀替定律一致珀替定律一致 低温时：低温时：低温时：低温时：即在低温极限下，比热与温度即在低温极限下，比热与温度即在低温极限下，比热与温度即在低温极限下，比热与温度T3T3成比例，成比例，成比例，成比例，与实验符合得很好。温度越低符合得越与实验符合得很好。温度越低符合得越与实验符合得很好。温度越低符合得越与实验符合得很好。温度越低符合得越好。因为在非常低的温度下，只有长波好。因为在非常低的温度下，只有长波好。因为在非常低的温度下，只有长波好。因为在非常低的温度下，只有长波激发是主要的，对于长波晶格可以看作激发是主要的，对于长波晶格可以看作激发是主要的，对于长波晶格可以看作激发是主要的，对于长波晶格可以看作是连续介质。但在高温下，不但有长波是连续介质。但在高温下，不但有长波是连续介质。但在高温下，不但有长波是连续介质。但在高温下，不但有长波而且有短波，不但有声学波，而且还有而且有短波，不但有声学波，而且还有而且有短波，不但有声学波，而且还有而且有短波，不但有声学波，而且还有光学波，这时，不能再把晶格看作连续光学波，这时，不能再把晶格看作连续光学波，这时，不能再把晶格看作连续光学波，这时，不能再把晶格看作连续介质介质介质介质 本讲稿第五十八页，共五十八页