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1、第七章第七章 一维有限区间中的波动方程一维有限区间中的波动方程 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立 7.2 7.2 分离变量法分离变量法 7.3 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 7.5 7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例1 两端固定弦的自由振动 7.1 7.1 定解问题的建立定解问题的建立均匀细弦两端拉紧拉紧并固定，被拨动后开始振动。第一步第一步：由物理基本理论建立描述该现象的方程 假定弦振动属于微小横振动，即 ，所以 “一维齐次波动方程一维齐次波动方程”1.边界条件：弦两端固定不动，所以不管在什么时刻，u
2、(x,t)在两端点(x=0和x=l)处取值为0，即：u(0,t)=0,u(l,t)=0记为：第二步第二步：由已知条件确定满足的边界及初始条件 2.初始条件：假如初始时刻弦各处的运动状态为已知，即已知 t=0 时刻弦上各点的位移和速度:第三步第三步：写出定解问题例2 两端固定弦的受迫振动 T1T2例3 一端固定另一端受力的均匀细杆的纵振动。问题给定了细杆一端固定另一端受应力F(t)。在固定端(x=0)处位移为0，所以 u(0,t)=0。在受力端(x=l)处应力为F(t)，那么 再假设初始条件为 那么完整的定解问题为:小结:1.定解问题:描述物理现象的偏微分方程+定解条件;2.微元法建立偏微分方程
3、:在系统中任选一微元,将有关的物理定律用于这一微元,建立它的运动方程.然后取趋向于无穷小的极限,保留最低阶小量,略去高阶小量,就可得到所需的偏微分方程;3.定解条件:边界条件+初始条件(+附加条件);4.边界条件:Ux+Ux=0 或 x=l=f(t)(f=0 齐次,f0 非齐次)第一类边界条件 =第二类边界条件 第三类边界条件7.2 7.2 分离变量法分离变量法 例4 求解两端固定弦的自由振动问题 解：假设试解 根据问题的边值条件可得:因为 ,所以(i)0，那么通解为因此本征值为：相应于每一本征值 有一本征函数 为:其次，对每一个本征值 ，T(t)的方程为：以上方程通解为：因此，对应每个本征值
4、，相应地得到一个既满足方程又满足边值条件的本征解。o ln=4 每一个本征解代表弦一种特定频率的驻波振动，称为弦的本征振动。本征振动的角频率为：当n=1时，对应于最低频率，称为基基频频。当n1时，相应的本征振动的频率是基频的倍数，称为n n次谐频次谐频。一般说来，任何一个本征解都不能单独满足初始条件，因此本征解并不是定解问题的解。可以证明，通解式既满足微分方程，又满足边值条件。若要使其满足初始条件，那么 为了获得满足初始条件的解，通常要将本征解进行线性叠加，从而形成如下的通解式:(x)和和(x)的傅氏展开的傅氏展开 根据以上初始条件，可以进一步确定通解式中待定常数例5 管乐器一般是直径均匀的细
5、管，一端封闭、另一端开放。管内空气的驻波振动可归结为如下本征值问题，试求出各种本征振动。解：设试解 另外，根据问题的边值条件可得:(i)若0，得到解为 代入边界条件后得:，若要使 ，那么 相应的本征函数为：因此该问题的本征解为:管乐器中空气的本征振动角频率为：当n=0时，对应于最低频率0（基基频频）。）。当n1时，相应的本征振动频率是n n次谐频次谐频。管乐器声音中只有奇次谐频，没有偶次谐频只有奇次谐频，没有偶次谐频。分离变量法解题的四步分离变量法解题的四步:1.设具有分离变量法的试探解,并代入偏微分方程和边界条件,从而化为几个常微分方程(必需有一个方程构成本征值问题)和相应的边界条件;2.解
6、本征值问题,求出本征解集和相应的本征值集.并进而解出与每一个本征值相应的其它各常微分方程的解;3.利用迭加原理,将所有(与不同的本征值相对应的)可能的解迭加成级数形式的解;4.根据初始条件或尚未用到的边界条件,决定迭加成级数时所需要的迭加系数.补充知识：拉普拉斯变换补充知识：拉普拉斯变换 7.3 傅里叶级数展开法傅里叶级数展开法 例6 求解两端固定弦的受迫振动问题。解：根据前面讨论，满足边界条件的本征函数:假设u(x,t)展开成如下傅里叶级数:另外，非齐次项f(x,t)也应该展成傅里叶级数。其中系数 为已知函数，可按下式求出:将u(x,t)和f(x,t)的傅里叶展开式代入方程和初始条件得:最后
7、得到该定解问题的解为:例7 求解如下定解问题:解：满足边界条件的本征函数为：所以可假设问题的解具有如下傅里叶级数形式：将上式代入定解问题的方程及初始条件。比较方程两边的系数得到:7.4 7.4 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 例8 一端固定(x=0)、另一端受周期性应力 作用的均匀细杆的纵振动问题。解：不妨假设问题的解为 v(x,t)将满足齐次边界条件 例9 求解定解问题 解：设 若要使v(x,t)满足如下齐次的定解问题：则w(x)必须满足条件：求解以上定解问题很容易求出：根据 v(x,t)定解问题中的初始条件，就可以确定待定系数7.5 有阻尼的波动问题有阻尼的波动问题 例10 两端
8、固定弦的小阻尼振动问题 弦在振动过程中所受阻力一般正比于速率。(,为常数)类似于本章例1的推导可以得到：（阻尼因子）解：采用分离变量法，设 因为 ,所以 假设（小阻尼情形）那么衰减函数衰减函数 e-t例例11 均匀传输线中的电压波动方程。均匀传输线中的电压波动方程。假设一段均匀传输线每单位长度的电阻、电感和电容分别为R0、L0和C0。若传输线一端(x=0)绝缘，另一端(x=l)从t=0时刻开始施加稳恒电压E，求传输线中电压波动函数(忽略电漏)。xxx+xu(x,t)u(x+x,t)R0 xC0 x L0 xI(x,t)I(x+x,t)零电势线x 0绝缘端 I=0，根据得到，另一端另外，初始条件为解：首先将边界条件齐次化首先将边界条件齐次化,设设 采用分离变量法求解，设 代入以上微分方程得到：只讨论小阻尼情形，即