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1、第七章正则方程第1页，本讲稿共19页9.1 9.1 正则方程正则方程本章在本章在相空间相空间中研究力学系统的运动中研究力学系统的运动,导出另一种形导出另一种形式的动力学方程式的动力学方程,即正则方程。即正则方程。-这种方法称这种方法称为哈密顿方法（或称哈密顿表述）为哈密顿方法（或称哈密顿表述）.-这是个二阶微分方程组这是个二阶微分方程组,现想将其变换成一阶现想将其变换成一阶 微分方程组微分方程组,以得到一种新的形式对称的运动方程组以得到一种新的形式对称的运动方程组.第六章是在位形空间中第六章是在位形空间中,通过完整有势系的拉格朗日通过完整有势系的拉格朗日方程来研究力学系统的运动方程来研究力学系
2、统的运动.第2页，本讲稿共19页一一.勒让德变换勒让德变换 在方程中在方程中,把一组独立自变量变为另一组独立自变把一组独立自变量变为另一组独立自变量的变换量的变换,叫勒襄特变换叫勒襄特变换.设函数设函数 ,令令:第3页，本讲稿共19页-这是新变量与新函数应满足的方程。这是新变量与新函数应满足的方程。以上所述把以上所述把 称为勒让德变换称为勒让德变换,这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，这种变换不仅应用在力学中，还用在热力学系统中，从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。从一个特征函数变换得到热力学系统的其他特征函数。二二.正则方程正则方程第4页，本讲稿共19页第5页，本讲稿共
3、19页对于哈密顿量：对于哈密顿量：-哈哈密密顿顿正正则则方方程程,它它是是一一阶阶微微分分方方程程,且且形形式式对称对称.由于由于 相互独立的相互独立的,所以所以第6页，本讲稿共19页说明如果说明如果L不显含时间不显含时间,H也不显含时间也不显含时间.思考思考:正则方程是否适用任何系统正则方程是否适用任何系统?正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系正则方程适用于主动力均为有势力的理想完整系.结合初始条件结合初始条件,得到描述力学得到描述力学系统运动状态的运动方程系统运动状态的运动方程:第7页，本讲稿共19页例例 一质量为一质量为m的的自由质点自由质点,受力受力 为位矢为位矢,k为大于零的常
4、数为大于零的常数.运用正则方程运用正则方程,写出在直角坐标系中写出在直角坐标系中质点的运动微分方程质点的运动微分方程。解解:取取x，y，z为广义坐标。动能为广义坐标。动能为为第8页，本讲稿共19页代入哈密顿函数的定义式中代入哈密顿函数的定义式中,得得第9页，本讲稿共19页将将H代入正则方程中代入正则方程中,得到质点的动力学方程得到质点的动力学方程:得到质点的运动微分方程得到质点的运动微分方程第10页，本讲稿共19页应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结应用正则方程建立系统运动方程的步骤小结:1)1)检验系统是否是完整的有势系检验系统是否是完整的有势系,然后确定自由度然后确定自由度,选择选择适当
5、的广义坐标适当的广义坐标.2)2)写出系统相对惯性系的动能和势能写出系统相对惯性系的动能和势能,得到得到 并求出广义动量并求出广义动量 ,由此反解出由此反解出 3)3)通过通过 ,并利用并利用 得到得到4)4)将将H H 代入正则方程中代入正则方程中,得出系统的运动方程得出系统的运动方程.第11页，本讲稿共19页 哈哈密密顿顿动动力力学学与与拉拉格格朗朗日日动动力力学学比比较较：在在拉拉格格朗朗日日动动力力学学中中,从从拉拉格格朗朗日日函函数数可可以以直直接接写写出出动动力力学学方方程程即即拉拉格格朗朗日日方方程程.而而在在哈哈密密顿顿动动力力学学中中,必必须须从从拉拉格格朗朗日日函函数数转转
6、到到哈哈密密顿顿函函数数,才才可可写写出出动动力力学学方方程程即即哈哈密密顿顿正正则方程则方程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便。哈哈密密顿顿动动力力学学的的优优点点：1 1）是是便便于于量量子子化化.如如在在量量子子力力学学中中，哈哈密密顿顿函函数数作作为为算算符符可可确确定定微微观观粒粒子子的的运运动动规规律律；2 2）在在变变量量的的变变换换中中比比较较自自由由：拉拉格格朗朗日日动动力力学学采采用用的的变变量量广广义义坐坐标标和和广广义义速速度度并并不不对对等等,只只能能对对广广义义坐坐标标进进行行变变换换,而而广广义义速速度度也也随随之之而
7、而变变.哈哈密密顿顿动动力力学学采采用用的的变变量量坐坐标标和和动动量量是是完完全全对对等等的的,不不仅仅可可以以对对广广义义坐坐标标进进行行变变换换,而而且且可可以以坐坐标标和和动动量量一一起起变变换换,这这个个在在正正则则变换时可知其优点变换时可知其优点.第12页，本讲稿共19页三三.哈密顿函数的意义哈密顿函数的意义哈密顿函数是系统的特征函数哈密顿函数是系统的特征函数,因它隐含着系统的约束因它隐含着系统的约束关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。关系、系统的受力情况以及系统的结构情况等信息。哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它哈密顿函数不仅应用于经典力学范畴，还应用于其它
8、物理学领域，如量子力学中，热力学等。物理学领域，如量子力学中，热力学等。四四.正则变量、相空间、正则方程的意义正则变量、相空间、正则方程的意义2s个广义坐标个广义坐标 和广义动量和广义动量 ，统称为统称为正则变量正则变量。第13页，本讲稿共19页由由2s个个 组成的组成的2s维空间称为维空间称为相空间相空间。相空间中。相空间中的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态的一个点（相点）代表系统在某时刻的运动状态.在在相空间中相空间中,利用正则方程可对力学系统进行定性的几利用正则方程可对力学系统进行定性的几何研究何研究,尤其是对非线性系统在解析求解困难时尤其是对非线性系统在解析求解困难时.正则方程
9、的意义正则方程的意义:它结构简单对称它结构简单对称,为后续的力学发展为后续的力学发展(如泊松括号、正则变换、哈密顿如泊松括号、正则变换、哈密顿-雅可比方程等理论雅可比方程等理论)奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有奠定基础；在数学上，正则方程是一阶微分方程，有利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。利用计算机数学软件对非线性系统的运动作数值计算。第14页，本讲稿共19页五五.广义能量积分和广义动量积分广义能量积分和广义动量积分1.广义能量积分广义能量积分将正则方程将正则方程代入上式得代入上式得:第15页，本讲稿共19页2.广义动量积分广义动量积分第16页，本讲稿共19页例例:试由哈密顿原理导出正则方程试由哈密顿原理导出正则方程.解解:由哈密顿原理由哈密顿原理,得得因为因为H是是p,q,t的函数的函数,并且并且 t=0,所以所以又又第17页，本讲稿共19页因端点是固定的因端点是固定的,则则:因因 p,q 在在积积分分范范围围内内是是任任意意的的,而而且且相相互独立互独立,故得故得:第18页，本讲稿共19页第19页，本讲稿共19页