矩阵的初等变换精选文档.ppt

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1、矩阵的初等变换本讲稿第一页，共一百零五页1 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、初等变换的概念一、初等变换的概念二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系三、初等变换与初等矩阵三、初等变换与初等矩阵四、初等变换的应用四、初等变换的应用本讲稿第二页，共一百零五页引例：引例：求解线性方程组求解线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换消元法消元法本讲稿第三页，共一百零五页2本讲稿第四页，共一百零五页23 本讲稿第五页，共一百零五页 253本讲稿第六页，共一百零五页2 本讲稿第七页，共一百零五页取取 x3 为自由未知数，则为自由未知数，则 令令 x3 =c，则，则 恒等式恒等式无意义无意义可去

2、掉可去掉本讲稿第八页，共一百零五页上述消元过程中共使用了三种变换：上述消元过程中共使用了三种变换：交换方程的次序，记作交换方程的次序，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某个方程，记作乘某个方程，记作 ；一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作倍，记作 .上面三种变换都可逆，其逆变换是：上面三种变换都可逆，其逆变换是：iji k i k j本讲稿第九页，共一百零五页结论：结论：1.由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解前后的方程组同解.2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行在上述变换

3、过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算运算，未知数并未参与运算3.对方程组的变换，可以转换为对矩阵的变换。对方程组的变换，可以转换为对矩阵的变换。本讲稿第十页，共一百零五页定义定义1：下列三种变换称为矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换：对换两行，记作对换两行，记作 ；以非零常数以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作乘某一行的所有元素，记作 ；某一行加上另一行的某一行加上另一行的 k 倍，记作倍，记作 .其逆变换是：其逆变换是：把把“行行”换成换成“列列”，就得到矩阵的，就得到矩阵的初等列变换初等列变换的定义的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵

4、的矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换初等变换 初等变换初等变换初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换本讲稿第十一页，共一百零五页增广矩阵增广矩阵结论：结论：对原线性方程组施行的变换可以转对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换化为对增广矩阵的变换系数矩阵加上常系数矩阵加上常数项后称为数项后称为增增广矩阵广矩阵本讲稿第十二页，共一百零五页 2本讲稿第十三页，共一百零五页2 3本讲稿第十四页，共一百零五页 25 3 本讲稿第十五页，共一百零五页2本讲稿第十六页，共一百零五页本讲稿第十七页，共一百零五页B5 对应方程组为对应方程组为 令令 x3 =c，则，则 本讲稿第十八页

5、，共一百零五页备注备注带有运算符的矩阵运算，用带有运算符的矩阵运算，用“=”例如：例如：矩阵加法矩阵加法数乘矩阵、矩阵乘法数乘矩阵、矩阵乘法矩阵的转置矩阵的转置 T（上标）（上标）方阵的行列式方阵的行列式|不带运算符的矩阵运算，用不带运算符的矩阵运算，用“”例如：例如：初等行变换初等行变换初等列变换初等列变换本讲稿第十九页，共一百零五页有限次初等行变换有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等列变换行等价行等价，记作，记作 列等价列等价，记作，记作 二、矩阵之间的等价关系二、矩阵之间的等价关系本讲稿第二十页，共一百零五页有限次初等变换有限次初等变换矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 等价等价，记作

6、，记作本讲稿第二十一页，共一百零五页定义定义2 若非零矩阵满足若非零矩阵满足可画出一条阶梯线，线的下方全可画出一条阶梯线，线的下方全为零；为零；每个台阶只有一行；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素一个非零元素.则称此矩阵为则称此矩阵为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵进一步，若还满足进一步，若还满足非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为 1;这些非零元所在的列的其它元素这些非零元所在的列的其它元素都为零都为零.则称为则称为行最简形矩阵行最简形矩阵本讲稿第二十二页，共一百零五页B5行最简形矩阵行最简形矩阵 特征：特征：F左上角是一个单位左上角是一个

7、单位矩阵，其它元素全为零矩阵，其它元素全为零.标准形矩阵标准形矩阵本讲稿第二十三页，共一百零五页行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵由标准形矩阵由m、n、r三个参三个参数完全确定，其中数完全确定，其中 r 就是行阶就是行阶梯形矩阵中非零行的行数梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系三者之间的包含关系 本讲稿第二十四页，共一百零五页任何矩阵任何矩阵行最简形矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等行变换 有限次初等列变换有限次初等列变换 有限次初等变换有限次初等变换 结论结论有限次初等行变换有限次初等行变换

8、 本讲稿第二十五页，共一百零五页定义定义3：由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵.(1)(1)对调单位阵的两行（列）；对调单位阵的两行（列）；(2)(2)以常数以常数 k0 乘单位阵的某一乘单位阵的某一 行（列）；行（列）；(3)(3)以以 k 乘单位阵单位阵的某一乘单位阵单位阵的某一 行（列）加到另一行（列）加到另一 行（列）行（列）三、初等变换与初等矩阵三、初等变换与初等矩阵本讲稿第二十六页，共一百零五页(1)对调单位阵的第对调单位阵的第 i,j 行（列），记作行

9、（列），记作 Em(i,j)记作记作 E5(3,5)本讲稿第二十七页，共一百零五页(2)以常数以常数 k0 乘单位阵第乘单位阵第 i 行（列），行（列），记作记作 E5(3(k)记作记作 Em(i(k)本讲稿第二十八页，共一百零五页(3)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 j 行行加到加到第第 i 行行,记作记作 Em(ij(k)记作记作 E5(35(k)以以 k 乘单位阵乘单位阵第第 i 列列加到加到第第 j 列列 分行、列分行、列 两种理解！两种理解！本讲稿第二十九页，共一百零五页性质性质1 设设A是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，对对 A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于

10、在 A 的左边的左边乘以相应的乘以相应的 m 阶初等矩阶初等矩阵；阵；对对 A 施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在 A 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 n 阶初阶初等矩阵等矩阵.口诀：左行右列口诀：左行右列.本讲稿第三十页，共一百零五页验证验证本讲稿第三十一页，共一百零五页本讲稿第三十二页，共一百零五页结结 论论把矩阵把矩阵A的第的第 i 行与第行与第 j 行对调，即行对调，即 .把矩阵把矩阵A的第的第 i 列与第列与第 j 列对调，即列对调，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i 行，即行，即 .以非零常数以非零常数 k 乘矩阵乘矩阵A的第的第 i

11、 列，即列，即 .把矩阵把矩阵A第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行，即行，即 .把矩阵把矩阵A第第 i 列的列的 k 倍加到第倍加到第 j 列，即列，即 .本讲稿第三十三页，共一百零五页本讲稿第三十四页，共一百零五页因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB=E，那么，那么A、B都是可逆都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般地，本讲稿第三十五页，共一百零五页因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB=E，那么，那么A、B都是可逆都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般

12、地，本讲稿第三十六页，共一百零五页因为因为“对于对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果AB=E，那么，那么A、B都是可都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以所以 一般地，一般地，本讲稿第三十七页，共一百零五页结论结论 初等矩阵的逆矩阵：初等矩阵的逆矩阵：本讲稿第三十八页，共一百零五页性质性质2 方阵方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,Pl，使，使 A=P1 P2,Pl 证证 充分性充分性A=P1 P2,Pl 因初等矩因初等矩阵阵可逆，有限个初等矩可逆，有限个初等矩阵阵的乘的乘积积仍可逆，故仍可逆，故A可逆可逆必要性必

13、要性A可逆可逆A经过经过有限次初等行有限次初等行变换变换成成为为行最行最简简形矩形矩阵阵B根据性根据性质质1，存在初等矩，存在初等矩阵阵Q1,Q2,Ql,使得使得B 可逆可逆B 为单位矩阵为单位矩阵其中其中注意注意 此此时时，B 为为行最行最简简形矩形矩阵阵，具有，具有n 个个非零行非零行本讲稿第三十九页，共一百零五页例如例如本讲稿第四十页，共一百零五页推论推论 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 .定理定理1 设有矩阵设有矩阵Amn 与与 Bmn，那么，那么（1）的充要条件是存在的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，使使 PA=B；（2）的充要条件是存在的充要条件是存在

14、 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使，使AQ=B；（3）的充要条件是存在的充要条件是存在m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，使得使得PAQ=B.初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换 证证 (1)本讲稿第四十一页，共一百零五页四、初等变换的应用四、初等变换的应用本讲稿第四十二页，共一百零五页 解解例例 1本讲稿第四十三页，共一百零五页本讲稿第四十四页，共一百零五页初等行变换初等行变换所以所以本讲稿第四十五页，共一百零五页例例 2解解本讲稿第四十六页，共一百零五页本讲稿第四十七页，共一百零五页本讲稿第四十八页，共一百零五页行变换行变换列变换列变换本

15、讲稿第四十九页，共一百零五页例例 4 求解求解线线性方程性方程组组解解 将方程组写成矩阵形式将方程组写成矩阵形式 A x=b，则增广矩阵为，则增广矩阵为本讲稿第五十页，共一百零五页因因为为A E，故，故A 可逆，于是可逆，于是线线性方程性方程组组有解，且解有解，且解为为r注意：本注意：本题题在第二章例在第二章例16（P.45）用克拉默）用克拉默法法则则与逆矩与逆矩阵阵求解求解过过。比。比较较而言，此种方法而言，此种方法较较为简为简便快捷，尤其便快捷，尤其针对变针对变量多、方程多量多、方程多时时，更，更具具优优越性。越性。或者，利用或者，利用“初等行初等行变换变换不改不改变变方程方程组组的解的解

16、”原理，得原理，得本讲稿第五十一页，共一百零五页2 矩阵的秩矩阵的秩本讲稿第五十二页，共一百零五页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念定义定义4：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的 k 阶子式阶子式显然，显然，mn 矩阵矩阵 A 的不同的不同 k 阶子式共有阶子式共有 个个概念辨析：概念辨析：k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余

17、子式3 阶阶子式子式本讲稿第五十三页，共一百零五页与元素与元素a12相对应的相对应的余子式余子式相应的相应的代数余子式代数余子式矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子块阶子块矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式本讲稿第五十四页，共一百零五页三阶子式三阶子式（行列式）（行列式）子块子块/分块矩阵分块矩阵a22=5 的余子式的余子式a22=5 的代数余子式的代数余子式本讲稿第五十五页，共一百零五页矩阵矩阵 A 的一个的一个 3 阶子式阶子式矩阵矩阵 A 的的 2 阶子式阶子式 如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 2 阶子式都等于零，那么这个阶子式都等于零，那么这个 3 阶子式也等于零阶子式也

18、等于零 那么，如果有一个那么，如果有一个 2 阶子式不等于零呢？阶子式不等于零呢？本讲稿第五十六页，共一百零五页定义定义5：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零但是，但是，A 的的4个个3阶阶子式全部等于零！子式全部等于零！所以，所以，R(A)=2本讲稿第五十七页，共一百零五页l根据行列式按行（

19、列）展开法则可知，矩阵根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵 A 中任何一个中任何一个 r+2 阶阶子式（如果存在的话）都可以用子式（如果存在的话）都可以用 r+1 阶子式来表示阶子式来表示l如果矩阵如果矩阵 A 中所有中所有 r+1 阶子式都等于零，那么所有阶子式都等于零，那么所有 r+2阶子式阶子式也都等于零也都等于零 l事实上，所有高于事实上，所有高于 r+1 阶的子式（如果存在的话）也都等于阶的子式（如果存在的话）也都等于零零 因此矩阵因此矩阵 A 的秩的秩r 就是就是 A 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数本讲稿第五十八页，共一百零五页矩阵矩阵 A 的秩就是的秩就是 A 中非零

20、子式的最高阶数中非零子式的最高阶数 显然，显然，n若矩阵若矩阵 A 中有某个中有某个 s 阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则 R(A)s；若矩阵若矩阵 A 中所有中所有 t 阶子式等于零，则阶子式等于零，则 R(A)t n若若 A 为为 n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A 的的 n 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|当当|A|0 时，时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵满秩矩阵当当|A|=0 时，时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵降秩矩阵n若若 A 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 0 R(A)min(

21、m,n)nR(AT)=R(A)本讲稿第五十九页，共一百零五页矩阵矩阵 A 的一个的一个 2 阶子式阶子式矩阵矩阵 AT 的一个的一个 2 阶子式阶子式所以，所以，AT 的子式与的子式与 A 的子式对应相等，从而的子式对应相等，从而 R(AT)=R(A)证明证明 R(AT)=R(A)本讲稿第六十页，共一百零五页例例5：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解：解：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式只有一个，即阶子式只有一个，即|A|，而且，而且|A|=0，因此，因此 R(A)=2 二、矩阵秩的计算二、矩阵秩的计算本讲稿第六十一页，共一百零五页例例5（续）：（续）：

22、求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，因此其行，因此其 4 阶阶子式全为零子式全为零以非零行的第一个非零元为对角元的以非零行的第一个非零元为对角元的 3 阶子式阶子式，因此，因此 R(B)=3 还存在其它还存在其它3 阶非零子式阶非零子式吗？吗？本讲稿第六十二页，共一百零五页例例5（续）：（续）：求矩阵求矩阵 A 和和 B 的秩，其中的秩，其中解（续）：解（续）：B 还有其它还有其它 3 阶非零子式，例如阶非零子式，例如结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零

23、行的行数本讲稿第六十三页，共一百零五页例例6：求矩阵求矩阵 A 的秩，其中的秩，其中 分析：分析：在在 A 中，中，2 阶子式阶子式 A 的的 3 阶子式共有阶子式共有 (个个)，要从要从40个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的个子式中找出一个非零子式是比较麻烦的后面解决后面解决本讲稿第六十四页，共一百零五页一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵形矩阵.两个

24、等价的矩阵的秩是否相等？两个等价的矩阵的秩是否相等？本讲稿第六十五页，共一百零五页定理定理2：若若 A B，则，则 R(A)=R(B)证明思路：证明思路：1.证明证明 A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则 R(A)R(B)2.B 也可经由一次初等行变换变为也可经由一次初等行变换变为 A，则，则 R(B)R(A)，于是，于是 R(A)=R(B)3.经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩经过一次初等行变换的矩阵的秩不变，经过有限次初等行变换的矩阵的秩仍然不变阵的秩仍然不变4.设设 A 经过经过初等列变换初等列变换变为变为 B，则则 AT 经过经过初等行变

25、换初等行变换变为变为 BT，从而，从而 R(AT)=R(BT)又又 R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此，因此 R(A)=R(B)本讲稿第六十六页，共一百零五页第第 1 步：步：A 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 B，则，则R(A)R(B)证明：证明：设设 R(A)=r，且，且 A 的某个的某个 r 阶子式阶子式 D 0 n当当 或或 时，时，在在 B 中总能找到与中总能找到与 D 相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 由于由于D1=D 或或 D1=D 或或 D1=kD，因此，因此 D1 0，从而，从而 R(B)r n当当 时，只需考虑时，只需考虑 这一特殊情形这

26、一特殊情形本讲稿第六十七页，共一百零五页证明（续）：证明（续）：分两种情形讨论：分两种情形讨论：(1)D 中不包含中不包含 A的第一行的第一行 这时这时 D 也是也是 B 的的 r 阶非零子式，故阶非零子式，故 R(B)r(2)D 中包含中包含 A的第一行的第一行 这时这时 B 中与中与 D 相对应的相对应的 r 阶子式阶子式 D1 为为本讲稿第六十八页，共一百零五页若若p=2，则，则 D2=0，D=D1 0，从而，从而 R(B)r ；若若p 2，则，则 D1kD2=D 0，因为这个等式对任意非零常数因为这个等式对任意非零常数 k 都成立，都成立，所以所以 D1、D2 不同时等于零，不同时等于

27、零，于是于是 B 中存在中存在 r 阶非零子式阶非零子式 D1 或或 D2，从而从而 R(B)r，即即R(A)R(B)第第 2 步：步：根据第根据第1步的证明，反过来步的证明，反过来 B 经过一次初等行变换变为经过一次初等行变换变为 A，则，则R(B)R(A)本讲稿第六十九页，共一百零五页应用：应用：根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把根据这一定理，为求矩阵的秩，只要用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。该矩阵的秩。例例6（续）：（续）：求矩阵求矩阵A 的秩，并求的秩，并求 A 的一个最高阶非

28、零子式。的一个最高阶非零子式。于是，于是，经过经过一次初等一次初等变换变换，R(A)=R(B).故故经过经过有限次初等有限次初等变换变换，也有，也有R(A)=R(B)成立成立.本讲稿第七十页，共一百零五页解：解：第一步第一步，先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵。，先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵有行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故个非零行，故R(A)=3 第二步第二步，求，求 A 的最高阶非零子式。选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个的最高阶非零子式。选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、二、四列的第

29、一、二、四列本讲稿第七十一页，共一百零五页R(A0)=3，计算，计算 A0的前的前 3 行构成的子式行构成的子式因此这就是因此这就是 A 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式本讲稿第七十二页，共一百零五页分析：分析：对对 B 作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设作初等行变换变为行阶梯形矩阵，设 B 的行阶梯的行阶梯形矩阵为形矩阵为 ，则，则 就是就是 A 的行阶梯形矩阵，因此可从的行阶梯形矩阵，因此可从中同时看出中同时看出R(A)及及 R(B)例例7：设设 ，求矩阵，求矩阵 A 及矩阵及矩阵B=(A,b)的秩的秩解：解：R(A)=2R(B)=3本讲稿第七十三页，共一百零五页若若 A 为为 mn

30、 矩阵，则矩阵，则 0 R(A)min(m,n)R(AT)=R(A)若若 A B，则，则 R(A)=R(B)若若 P、Q 可逆，则可逆，则 R(PAQ)=R(A)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)特别地，当特别地，当 B=b 为非零列向量时，有为非零列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B)R(AB)minR(A),R(B)若若 Amn Bnl=O，则，则 R(A)R(B)n 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质本讲稿第七十四页，共一百零五页证明证明 maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)特别地，当特别地，当 B=b 为非零列向量时，有为非零

31、列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1 证证 因因为为A的最高的最高阶阶非零子式一定是非零子式一定是(A,B)的非零子式，所以的非零子式，所以R(A)R(A,B)，同理，同理 R(B)R(A,B).两者两者结结合起来，有合起来，有 MaxR(A),R(B)=R(A,B)设设R(A)=r，R(B)=t.把把AT和和BT分分别别作初等行作初等行变换变换化成行化成行阶阶梯型矩梯型矩阵阵 和和 .因因为为矩矩阵阵和它的和它的转转置矩置矩阵阵的秩相等，故的秩相等，故 和和 分分别别含含 r 个和个和 t 个非零行，从而个非零行，从而 中的非零行不大于中的非零行不大于 r+t.又因又因为为本讲稿第七十

32、五页，共一百零五页本讲稿第七十六页，共一百零五页证明证明 R(AB)R(A)R(B)即得即得 设设A和和B是是m n 矩矩阵阵，对对矩矩阵阵 作初等行作初等行变换变换证证于是于是本讲稿第七十七页，共一百零五页例例8：设设 A 为为 n 阶矩阵，阶矩阵，证明证明 R(AE)R(AE)n 证明：证明：因为因为(AE)(EA)=2E，由性质由性质“R(AB)R(A)R(B)”有有R(AE)R(EA)R(2E)=n 又因为又因为R(EA)=R(AE)，所以，所以R(AE)R(AE)n(E-A)(A-E)本讲稿第七十八页，共一百零五页例例9：若若 Amn Bnl=C，且，且 R(A)=n，则，则R(B)

33、=R(C)因为因为 R(C)=R(PC)，而，而 ，所以，所以解：解：因为因为 R(A)=n，所以所以 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为设设 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P，满足，满足于是于是故故R(B)=R(C)本讲稿第七十九页，共一百零五页附注：附注：n当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为当一个矩阵的秩等于它的列数时，这样的矩阵称为列满秩矩阵列满秩矩阵n特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，特别地，当一个矩阵为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵，也就是可逆矩阵也就是可逆矩阵因此，本例的结论当因此，本例的结论当 A 为方阵时，就是性质为方阵时，就是性质 n本题中，当本

34、题中，当 C=O，这时结论为：，这时结论为：设设 AB=O，若，若 A 为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B =O 反证法反证法本讲稿第八十页，共一百零五页3 线线性方程性方程组组的解的解本讲稿第八十一页，共一百零五页1.一般形式一般形式3.矩矩阵阵方程的形式方程的形式方程方程组组可可简简化化为为 AX=b 2.增广矩增广矩阵阵的形式的形式4.向量向量组线组线性性组组合的形式合的形式本讲稿第八十二页，共一百零五页线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定设设有有 n 个未知数个未知数 m 个方程的个方程的线线性方程性方程组组 线性方程组如果有解，就称它是线性方程组如果有解，就称它是相容的相容的；

35、如果无解，；如果无解，就称它是就称它是不相容的不相容的问题问题1：方程组是否有解？方程组是否有解？问题问题2：若方程组有解，则解是否唯一？若方程组有解，则解是否唯一？问题问题3：若方程组有解且不唯一，则如何确定所有的解？若方程组有解且不唯一，则如何确定所有的解？m、n 不一不一定相等！定相等！本讲稿第八十三页，共一百零五页定理定理3：n 元线性方程组元线性方程组 Ax=b无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n 分析

36、：分析：只需证明条件的充分性，即只需证明条件的充分性，即R(A)R(A,b)无解；无解；R(A)=R(A,b)=n 唯一解；唯一解；R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解那么那么无解无解 R(A)R(A,b)；唯一解唯一解 R(A)=R(A,b)=n；无穷多解无穷多解 R(A)=R(A,b)n 由矩阵由矩阵的的秩秩判判断方程断方程组的解组的解本讲稿第八十四页，共一百零五页第一，第一，往证往证 R(A)R(A,b)无解无解若若 R(A)R(A,b)，则，则 dr+1=1 于是于是 第第 r+1 行对应矛盾方程行对应矛盾方程 0=1，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解证明：证明：设设 R(

37、A)=r，为叙述方便，不妨设，为叙述方便，不妨设 B=(A,b)的的行最行最简形矩阵简形矩阵为为本讲稿第八十五页，共一百零五页第二，第二，往证往证 R(A)=R(A,b)=n 唯一解唯一解若若 R(A)=R(A,b)=n，则，则 dr+1=0 且且 r=n，从而从而 bij 都不出都不出现。故原线性方程组有唯一解现。故原线性方程组有唯一解对应的线性方程组为对应的线性方程组为n00本讲稿第八十六页，共一百零五页第三，第三，往证往证 R(A)=R(A,b)n 无穷多解无穷多解若若 R(A)=R(A,b)n，即，即 r n，则则 dr+1=0.对应的线性方程组为对应的线性方程组为本讲稿第八十七页，共

38、一百零五页令令 xr+1,xn 作自由变量，则作自由变量，则 再令再令xr+1=c1,xr+2=c2,xn=cn-r，则，则 线性方程组的线性方程组的通解通解本讲稿第八十八页，共一百零五页例例10：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：R(A)=R(A,b)=3 4，故原线性方程组有无穷多解，故原线性方程组有无穷多解本讲稿第八十九页，共一百零五页即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组令令 x3 做自由变量，则做自由变量，则令令 x3=c,原方程组的通解可表示为原方程组的通解可表示为 本讲稿第九十页，共一百零五页例例11：求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解：解：因

39、为因为 R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解，故原线性方程组无解本讲稿第九十一页，共一百零五页例例12：求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组提问：提问：为什么只对系数矩阵为什么只对系数矩阵 A 进行初等行变换变为行最简形进行初等行变换变为行最简形矩阵？矩阵？答：答：因为齐次线性方程组因为齐次线性方程组 AX=0 的常数项都等于零，于是的常数项都等于零，于是必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组判断齐次线性方程组的解的情况的解的情况本讲稿第九十二页，共一百零五页本讲稿第九十三页，共一百零五页令令 x3=c1,x4=c2通解通解本讲稿第九十四

40、页，共一百零五页例例13：设有线性方程组设有线性方程组问问 l l 取何值时，此方程组有取何值时，此方程组有(1)唯一解；唯一解；(2)无解；无解；(3)有无有无限多个解？并在有无限多解时求其通解限多个解？并在有无限多解时求其通解本讲稿第九十五页，共一百零五页解法解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵本讲稿第九十六页，共一百零五页附注：附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l l+1，l l+3 等因式可能等等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对如果作

41、了这样的变换，则需对 l l+1=0（或（或 l l+3=0）的情况另作）的情况另作讨论讨论 本讲稿第九十七页，共一百零五页分析：分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l l 取何值时，取何值时，r2、r3 是是非零行非零行在在 r2、r3 中，有中，有 5 处地方出现了处地方出现了l l，要使这，要使这 5 个元素等于零，个元素等于零，l l=0，3，3，1 实际上没有必要对这实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手程组有唯一解入手本讲稿第九十八页，共一百零五页于是于是当当 l l 0 且且 l

42、 l 3 时，时，R(A)=R(B)=3，有唯一解，有唯一解当当 l l=0 时，时，R(A)=1，R(B)=2，无解，无解当当 l l=3 时，时，R(A)=R(B)=2，有无限多解，有无限多解本讲稿第九十九页，共一百零五页解法解法2：因为系数矩阵因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是分必要条件是|A|0 于是当于是当 l l 0 且且 l l 3 时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解本讲稿第一百页，共一百零五页R(A)=1，R(B)=2，方程组无解，方程组无解R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为，方程组有无限多个解，其通解

43、为当当 l l=0 时，时，当当 l l=3 时，时，本讲稿第一百零一页，共一百零五页分析：分析：因为对于因为对于 AX=0 必有必有 R(A,0)=R(A)，所以可从，所以可从 R(A)判断齐次线性方程组的解的情况判断齐次线性方程组的解的情况定理定理4：n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 R(A)n 定理定理5：线性方程组线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)本讲稿第一百零二页，共一百零五页定理定理6：矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是 R(A)=R

44、(A,B)证明：证明：设设 A 是是 mn 矩阵，矩阵，B 是是 ml 矩阵，矩阵，X 是是 nl 矩阵矩阵.把把 X 和和 B 按列分块，记作按列分块，记作X=(x1,x2,xl)，B=(b1,b2,bl)则则即矩阵方程即矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A)=R(A,bi)本讲稿第一百零三页，共一百零五页设设 R(A)=r，A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为 ，则，则 有有 r 个非零行，个非零行，且且 的后的后 mr 行全是零行全是零再设再设从而从而 矩阵方程矩阵方程 AX=B 有解有解 线性方程组线性方程组 Axi=bi 有解有解 R(A

45、)=R(A,bi)的后的后 mr 个元素全是零个元素全是零 的后的后 mr 行全是零行全是零 R(A)=R(A,B)本讲稿第一百零四页，共一百零五页定理定理7：设设 AB=C，则，则 R(C)minR(A),R(B)证明：证明：因为因为 AB=C，所以矩阵方程，所以矩阵方程 AX=C 有解，即有解，即 X=B，于是于是 R(A)=R(A,C)R(C)R(A,C)，故，故 R(C)R(A)又又(AB)T=CT，即，即 BTAT=CT，所以矩阵方程，所以矩阵方程 BTX=CT 有解有解 X=AT，所以，所以，R(C)R(B)综上所述，可知综上所述，可知 R(C)minR(A),R(B)本讲稿第一百零五页，共一百零五页