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1、第一节矩阵的初等变换本讲稿第一页，共二十三页 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念秩的概念,并提出求秩的有效方法再利用矩阵并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大容丰富，难度较大.本讲稿第二页，共二十三页引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下
2、列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程本讲稿第三页，共二十三页解解本讲稿第四页，共二十三页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：本讲稿第五页，共二十三页于是解得于是解得（2）本讲稿第六页，共二十三页小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换三种变换（1）交换方程次序；）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）
3、本讲稿第七页，共二十三页3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换解变换本讲稿第八页，共二十三页因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换本讲稿第九页，共二十三页定义定义1下面
4、三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换本讲稿第十页，共二十三页定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等初等变换变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换本讲稿第十一页，共二十三页等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称
5、这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价本讲稿第十二页，共二十三页用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：本讲稿第十三页，共二十三页本讲稿第十四页，共二十三页本讲稿第十五页，共二十三页本讲稿第十六页，共二十三页特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的下条阶梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元个元素为非零元，即非零行的第一个非零元本讲稿第十七页，共二十三页注意：注意：行最简形矩
6、阵是由方程组唯一确定的，行阶行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形本讲稿第十八页，共二十三页例如，例如，本讲稿第十九页，共二十三页特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.本讲稿第二十页，共二十三页三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换本讲稿第二十一页，共二十三页思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为本讲稿第二十二页，共二十三页思考题解答解解结束结束本讲稿第二十三页，共二十三页