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1、第1节矩阵的初等变换本讲稿第一页，共四十二页 本章先讨论矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换本章先讨论矩阵的初等变换,给出求逆矩阵的初等给出求逆矩阵的初等给出求逆矩阵的初等给出求逆矩阵的初等变换法；建立矩阵的秩的概念变换法；建立矩阵的秩的概念变换法；建立矩阵的秩的概念变换法；建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法并提出求秩的有效方法内容难度较大内容难度较大内容难度较大内容难度较大.引例引例引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程
2、分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程本讲稿第二页，共四十二页解解解解本讲稿第三页，共四十二页用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：本讲稿第四页，共四十二页于是解得于是解得 (2)本讲稿第五页，共四十二页小结：小结：小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2 2始终把方程组看作一个整体进行变形，用到如下始终把方程组看作一个整体进行变形，用到如下始终把方程组看作一个整体进行变形，用到如下始终把方程组看作一个整体进行变形，用到如下三种变换：三种变换
3、：三种变换：三种变换：(1)交换方程次序交换方程次序交换方程次序交换方程次序；(2)(2)以不等于以不等于以不等于以不等于0 0的数乘某个方程；的数乘某个方程；的数乘某个方程；的数乘某个方程；(3)一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k k倍倍倍倍3 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的本讲稿第六页，共四十二页由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换
4、后的方程组是同解的故这三种变换是同解变与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换换换换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算进行运算，未知量并未参与运算进行运算，未知量并未参与运算进行运算，未知量并未参与运算若记若记若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为
5、对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B B(方程组方程组方程组方程组(1)(1)的的的的增广矩阵增广矩阵增广矩阵增广矩阵)的变换的变换的变换的变换本讲稿第七页，共四十二页定义定义定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把所用记号是把所用记号是把所用记号是把“r r”换成换成换成换成“c c”)”)本讲稿第八页，共四十二页 矩阵的矩阵的矩阵
6、的矩阵的初等列变换初等列变换初等列变换初等列变换与与与与初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换统称为统称为统称为统称为初等变换初等变换初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：等价关系的性质：等价关系的性质：本讲稿第九页，共四十二页具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为
7、等价例如例如例如例如,两个线性方程组同解，两个线性方程组同解，两个线性方程组同解，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组解方程组解方程组解方程组(1)：本讲稿第十页，共四十二页本讲稿第十一页，共四十二页本讲稿第十二页，共四十二页特点：特点：特点：特点：(1)(1)可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线可划出一条阶梯线,线的下方全为零；线的下方全为零；线的下方全为零；线的下方全为零；(2)(2)每个台阶只有一行，每个台阶只有一行，每个台阶只有一行，每个台阶只有一行，台阶数即是
8、非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元元素为非零元，即非零行的第一个非零元元素为非零元，即非零行的第一个非零元元素为非零元，即非零行的第一个非零元本讲稿第十三页，共四十二页 例如例如例如例如行阶梯形矩阵的特点行阶梯形矩阵的特点:阶梯线下方的元素全阶梯线下方的元素全为零为零;每个台阶只有一每个台阶只有一行行,台阶数即是非零行台阶数即是非零行的行数的行数,阶梯线的竖线阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一每段竖线的长度为一行行
9、)后面的第一个元素后面的第一个元素为非零元为非零元,也就是非零也就是非零行的第一个非零元行的第一个非零元.都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵.本讲稿第十四页，共四十二页 注意注意注意注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的行最简形矩阵是由方程组唯一确定的行最简形矩阵是由方程组唯一确定的行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行阶梯行阶梯行阶梯行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵再经过初等列变换行最简形矩阵再经过初等列变换行最简形矩阵再经过初等列变换行最简
10、形矩阵再经过初等列变换,可化成标准形可化成标准形可化成标准形可化成标准形本讲稿第十五页，共四十二页例如例如例如例如，本讲稿第十六页，共四十二页 所有与矩阵所有与矩阵所有与矩阵所有与矩阵A A等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合等价的矩阵组成的一个集合,称为一个称为一个称为一个称为一个等价等价等价等价类类类类，标准形，标准形，标准形，标准形F F是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵.矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形的比较：矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形的比较：矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形
11、的比较：矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形的比较：以引例中的矩阵以引例中的矩阵以引例中的矩阵以引例中的矩阵 B 为例为例为例为例,矩阵矩阵矩阵矩阵 B B 的行阶梯形的行阶梯形的行阶梯形的行阶梯形、行行最简形和标准形分别如下最简形和标准形分别如下最简形和标准形分别如下最简形和标准形分别如下：本讲稿第十七页，共四十二页 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 特点：阶梯线以下的元素全是0，台阶数即为非零行数,竖线后面的第一个元素为非零元.行最简形矩阵行最简形矩阵 特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.标准形矩阵标准形矩阵 特点：左上角为一个单位矩阵,其他位置上的元素全都为 0.本
12、讲稿第十八页，共四十二页 从上面的例子可见从上面的例子可见从上面的例子可见从上面的例子可见,任何矩阵经单纯的初等行任何矩阵经单纯的初等行任何矩阵经单纯的初等行任何矩阵经单纯的初等行变变变变换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但不一定能但不一定能但不一定能但不一定能化成标准形矩阵化成标准形矩阵化成标准形矩阵化成标准形矩阵,如果再使用初等列变换如果再使用初等列变换如果再使用初等列变换如果再使用初等列变换,则一定能化则一定能化则一定能化则一定能化成标准形矩阵成标准形矩阵成标准形矩阵成标准形矩
13、阵.将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的,所得所得所得所得结果也不唯一结果也不唯一结果也不唯一结果也不唯一.但一个矩阵的标准形是唯一的但一个矩阵的标准形是唯一的但一个矩阵的标准形是唯一的但一个矩阵的标准形是唯一的,这反映这反映这反映这反映了矩阵的另一个属性了矩阵的另一个属性了矩阵的另一个属性了矩阵的另一个属性,即矩阵的秩的概念即矩阵的秩的概念即矩阵的秩的概念即矩阵的秩的概念.利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵利用初等变换把一个矩阵化为行阶
14、梯形矩阵利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简和行最简和行最简和行最简形矩阵形矩阵形矩阵形矩阵,是一种很重要的运算是一种很重要的运算是一种很重要的运算是一种很重要的运算.由例可知由例可知由例可知由例可知,要解线性方要解线性方要解线性方要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.本讲稿第十九页，共四十二页 定义定义定义定义2 2 由单位矩阵由单位矩阵由单位矩阵由单位矩阵E E 经过一次初等变换得到的方阵称经过一次初等变换得到的方阵称经过一次初等变换得到的方阵称经过一次初等变换得到的方阵
15、称为初等矩阵为初等矩阵为初等矩阵为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念本讲稿第二十页，共四十二页1.对调两行对调两行对调两行对调两行(或两列或两列或两列或两列)本讲稿第二十一页，共四十二页本讲稿第二十二页，共四十二页本讲稿第二十三页，共四十二页本讲稿第二十四页，共四十二页本讲稿第二十五页，
16、共四十二页本讲稿第二十六页，共四十二页本讲稿第二十七页，共四十二页本讲稿第二十八页，共四十二页 性质性质1 设设A是一个是一个 矩阵，对矩阵，对A施行一次施行一次初等行变换，相当于在初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的的左边乘以相应的m阶阶初等矩阵；对初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的的右边乘以相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵.四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵本讲稿第二十九页，共四十二页 性质性质2 设设A为可逆方阵为可逆方阵,则存在有限个初等方阵则存在有限个初等方
17、阵本讲稿第三十页，共四十二页定理定理1表明表明,如果如果 A B，r即即A经一系列经一系列初等行变换初等行变换变为变为B,则有可逆矩阵则有可逆矩阵P,使使PA=B.那么那么那么那么,如何去求出这个可逆矩阵如何去求出这个可逆矩阵如何去求出这个可逆矩阵如何去求出这个可逆矩阵P P呢呢呢呢?由于由于由于由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)(B,P)，r因此因此,如果对矩阵如果对矩阵(A,E)作初等行变换作初等行变换,那么那么,当当把把A变变为为B时时,E就变为就变为P.本讲稿第三十一页，共四十二页特别地特别地特别地特别地,如果如果如果如果B=E,则则则则P=A-1，即即即即
18、(A,E)(E,A-1)r一起一起一起一起,组成一个组成一个组成一个组成一个n n 2 2n n 矩阵矩阵矩阵矩阵(A A,E E).).对矩对矩对矩对矩阵阵阵阵(A A,E E)作一作一作一作一系列的初等行变换系列的初等行变换系列的初等行变换系列的初等行变换,将其左半将其左半将其左半将其左半部分化部分化部分化部分化为单位矩阵为单位矩阵为单位矩阵为单位矩阵E E,这这这这时其右半部分就是时其右半部分就是时其右半部分就是时其右半部分就是A A-1 1.即即即即(A A,E E)初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换(E E,A A-1 1).).将将将将A A与与与与E E并排放在并排放在并排
19、放在并排放在利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：本讲稿第三十二页，共四十二页例例1 1 设设设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为F F,求求求求F,并求一个可逆矩阵并求一个可逆矩阵并求一个可逆矩阵并求一个可逆矩阵P,使使使使PA=F.解解解解把把把把A用初等行变换化成最简形用初等行变换化成最简形用初等行变换化成最简形用初等行变换化成最简形,即为即为即为即为F,但但但但需求出需求出需求出需求出P,故按前面所述故按前面所述故按前面所述故按前面所述P(A,E)=(F,P).运算如下运算如下运算如下运
20、算如下本讲稿第三十三页，共四十二页故故故故为为为为A的行最简形的行最简形的行最简形的行最简形，为所求的可逆矩阵为所求的可逆矩阵为所求的可逆矩阵为所求的可逆矩阵.P不是唯一的不是唯一的不是唯一的不是唯一的.本讲稿第三十四页，共四十二页 解解解解例例例例2 2本讲稿第三十五页，共四十二页本讲稿第三十六页，共四十二页即即初等行变换初等行变换初等行变换初等行变换本讲稿第三十七页，共四十二页例例例例3 3解解解解本讲稿第三十八页，共四十二页本讲稿第三十九页，共四十二页列变换列变换列变换列变换本讲稿第四十页，共四十二页1.初等行初等行初等行初等行(列列列列)变换变换变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同且变换类型相同3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.初等变换初等变换初等变换初等变换五、小结五、小结本讲稿第四十一页，共四十二页4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换一次初等变换一次初等变换5 5.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:本讲稿第四十二页，共四十二页