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1、复变函数的积分课件一、积分的定义一、积分的定义2 21.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲线线,若选定若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向或正向),),则称则称C为为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点当曲线上的点P顺此方向前进时顺此方向前进时,邻近邻近P点的曲线的内部始终位于点的曲线的内部始终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方
2、向就是曲线的负方向.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念3 32.积分的定义积分的定义:(D4 4关于定义的说明关于定义的说明:二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法5 51.存在条件：存在条件：若若f(z)为连续函数且为连续函数且C是光滑曲线，是光滑曲线，则则积分积分 一定存在。（证明略）一定存在。（证明略）2.积分计算：积分计算：6 6计算方法计算方法1的推导：的推导：计算方法计算方法2的推导：的推导：7 7连续连续曲曲线线 两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲曲线线的数学表达的数学表达 过定点，倾斜角为 的直线参数方程为：8
3、 8其参数方程为复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：以(a,b)为圆心，半径为r的圆：9 9例例1 直线段C3:的方程为解：解：计算 其中积分路径C分别为如下两种：直线段 ，和折线段写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：1010例例1 续续 直线段直线段 方程为方程为这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关（格林定理格林定理）1111y=x例例2 1212例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为1313例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为1414重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.1515例例5
4、 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为1616y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为三、积分的性质三、积分的性质1717复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式1818性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕1919例例6解解根据估值不等式知根据估值不等式知2 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理2020f(z)不不满足满足C-RC-R方程方程,在
5、复平面内处处在复平面内处处不解析不解析.此时积分与路线有关此时积分与路线有关.由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线无关积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值或沿闭曲线的积分值为为0的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：上一小节几个例子：例例1 1 此时积分与路线无关此时积分与路线无关.例例2 2 例例4 4 f(z)在以在以z0为中心的圆周内不是处处为中心的圆周内不是处处解析的，此时解析的，此时 虽然在除虽然在除z0外的圆内处处解外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域析，但此区域已不是单连通域2121积分积
6、分 定积分定积分 二重积分三重积分二重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分积分域积分域 区间区间 平面区域平面区域 空间区域空间区域 曲线曲线 曲面曲面曲线积分曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：在高等数学中我们学习了下列积分：二重积分二重积分二重积分二重积分2222第一型曲线积分第一型曲线积分第一型曲线积分第一型曲线积分2323如果如果 L 是闭曲线是闭曲线,则记为则记为设设 L 是空间可求长曲线段是空
7、间可求长曲线段,f(x,y)为定义在为定义在 L上的函数，则可定义上的函数，则可定义 f(x,y)在空间曲线在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并记作上的第一型曲线积分，并记作2424第二型曲线积分第二型曲线积分 变力沿曲线作功变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用沿曲线沿曲线 L 从点从点 A 移动到点移动到点 B，则力，则力 F(x,y)所作的所作的功由如下曲线积分给出：功由如下曲线积分给出：或或也记为也记为或或简记为简记为P、Q是连续函数格林格林格林格林 (Green)(Green)(Green)(Green)公式公式公式公式2525定理定理(格林公式格林公式)若函数
8、若函数在闭区域在闭区域 D 上具有连续一阶偏导上具有连续一阶偏导数，则有：数，则有：其中其中 L 为区域为区域 D 的边界曲线，并取正方向的边界曲线，并取正方向.2626曲线积分与路线的无关性定理曲线积分与路线的无关性定理在在D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,(iii)沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线 L,有有(ii)对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(i)在在 D 内内 处处成立处处成立与路径无关与路径无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关.设设D 是单连通域，函数是单连通域，函数则以下三个条件等价则以下三个条件等价:
9、2727根据格林公式：根据格林公式：柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理（柯西积分定理）（柯西积分定理）2828定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.2929关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.例例根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有30303 复合闭路定理复合闭路定理3131设函数设函数f(z)在多连通域在多连通域D内解析内解析32323333得得解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连不因闭曲线在区域内作连续变形
10、而改变它的值续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z)的不解析的点的不解析的点.3434例例1 1闭路变形原理：闭路变形原理：35353636复合闭路定理复合闭路定理3737例例2 2解解依题意知依题意知,3838根据复合闭路定理根据复合闭路定理,3939例例3 3解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,4040例例4 4解解由复合闭路定理有由复合闭路定理有 此结论非常重要此结论非常重要,用起来很用起来很方便方便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不也不必是圆的圆心必
11、是圆的圆心,只要只要a在简单在简单闭曲线闭曲线 内即可内即可.4141例例5 5解解由上例可知由上例可知4242定理一定理一由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)4 原函数与不定积分原函数与不定积分43434444定理二定理二 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.其证明也完全类似。其证明也完全类似。4545原函数原函数:原函数之间的关系原函数之间的关系:证证 证毕证毕 推论：推论：4646不定积分的定义不定积分的定义:定理三定理三(
12、类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.4747例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,4848例例2 2解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)4949例例3 3解解此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”5050例例4 4解解一、问题的提出一、问题的提出5151根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,5 柯西积分公式柯西积分公式 二、柯西积分公式二、柯西积分公式5
13、252定理定理-柯西积分公式柯西积分公式或者：或者：5353证明：（不作要求，仅供参考）证明：（不作要求，仅供参考）5454上不等式表明上不等式表明,只要只要 足够小足够小,左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕5555关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示.(2)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函
14、数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值.5656例例1 1解解由柯西积分公式可得由柯西积分公式可得5757例例2 2解解5858例例3 3解解由柯西积分公式由柯西积分公式6 高阶导数高阶导数5959定理定理高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分.6060例例1 1解解6161例例2 2解解6262根据复合闭路定理根据复合闭路定理6363例例3 3解解6464例例4 4解解一、调和函数的定义一、调和函数的定义65657 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 二、解析函数与调和函数的关系二、解析
15、函数与调和函数的关系66661.两者的关系两者的关系定理：任何在区域定理：任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和它的实部和虚部都是虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证：证：根据高阶导数定理根据高阶导数定理,证毕证毕67672.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数.68683.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种
16、方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 故u(x,y)为调和函数。6969得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为练习：练习：答案答案7070例例2 解解7171所求解析函数为所求解析函数为72724.不定积分法不定积分法不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:上两式积分得：上两式积分得：7373用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 例例3 3解解7474例例4 解解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 7575第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分767677777878当f(z)=1时，由上两式容易得到：C为包含z0点的闭合曲线7979