复变函数的积分讲稿.ppt

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1、复变函数的积分第一页，讲稿共八十页哦一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,若若选定选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向或正向),),则称则称C为为有向曲有向曲线线.xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就就是曲线是曲线C的负向的负向,.C记记为为简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点当曲线上的点P顺此方向前进时顺此方向前进时,邻近邻近P点点的曲线的内部始终位于的曲线的内部始终位于P点的左方点的左方.xyoP

2、PPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念2第二页，讲稿共八十页哦2.积分的定义积分的定义:011(),kknwf zDCDABCnAzzzzzB设定义在区域内为内由到 的一条光滑有向曲线 把曲线任意分成 个弧段 分点为在每个弧段oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1,(1,2,),kkkzzkn上任意取一点作和式1111 ()()(),nnnkkkkkkkkkkSfzzfzzzz其中.1max.kk ns 1,kkkszz 记的长度(0 n当无限增加且时:,(),knCSf zC如果不论对的分法及的取法如何有唯

3、一极限 那么称这极限值为函数沿曲线的积分 记为1()lim()nkkCnkf z dzfzD3第三页，讲稿共八十页哦关于定义的说明关于定义的说明:.d)(,)1(CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 .),()(,)2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 4第四页，讲稿共八十页哦二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法(1)()CCCf z dzudxvdyivdxudy通过两个二元线积分求：(2)(),()()()CCzz ttf

4、z dzf z tz t dt 若曲线 可表示为参数方程：1.存在条件：存在条件：()dCf zz若若f(z)为连续函数且为连续函数且C是光滑曲线，是光滑曲线，则则积分积分 一定存在。（证明略一定存在。（证明略）2.积分计算：积分计算：1212(3)()()()()nnCCCCCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz为分段光滑曲线：5第五页，讲稿共八十页哦()ddd f zuivzxi y，代入分式，可得()Cf z dz.CCudxvdyivdxudyCudxivdxiudyvdy()()Cuiv dxidy计算方法计算方法1的推导：的推导：()d()()Cf zzf z

5、t d z t()().f z t z t dt计算方法计算方法2的推导：的推导：()()(),zz tx ti y t6第六页，讲稿共八十页哦()()x t y t 如果和是()()()xx t atb yy t()()().()zz tx tiy tatb 连续曲线连续曲线 两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达曲线的数学表达 34 i复平面上从原点到点的直线段:()3,01,()4,x ttty tt ()()()(34)z tx tiy ti t00()cos,()sin.x txty tyt过定点00(,)M xy，倾斜角为 的直线

6、参数方程为：7第七页，讲稿共八十页哦222()()xaybr其参数方程为cos02sinxarttybrt 复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：00()cos2()sinxxryyr 00()()()+izxiyzre以(a,b)为圆心，半径为r的圆：8第八页，讲稿共八十页哦例例1 3,01ztt 3dzdt13099.2Czdztdt 2:(0,0)(3,0)(3,4)C直线段C3:的方程为3,01,0,xtty(0,0)(3,0)34,01 zitt 4dzidt1114000(34)41216128 Czdzitidtidttdti3,01,4,xtyt(3,0)(3,4)2349-72

7、4:12822CCCizdzzdzzdzi故解：解：1:(0,0)(3,4)C计算 其中积分路径C分别为如下两种：直线段 ，和折线段d,Cz z写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：9第九页，讲稿共八十页哦例例1 续续 直线段直线段 方程为方程为3,01,4,xttyt 1,(34),Czi t在在上上d(34)d,zit120(34)Czdzi tdt120(34)itdt2(34)72422ii 1:(0,0)(3,4)C这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关（格林定理格林定理）34 ,:Ci所以不论是怎样从原点连接到点的曲线都有2(34)d2Ciz zdddd C

8、Cx xy yiy xx y()()CCzdzxiy dxidy因为10第十页，讲稿共八十页哦1(1)0 011(2)0 01011CzdzCiCC计算：从原点到点（）：（，）（，）直线段；：（，）（，）（，）xyoi 11iy=x例例2 11第十一页，讲稿共八十页哦例例3 解解 .2 :,d zCzzC圆周圆周为为其中其中计算计算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie 20d)sin(cos4 ii.0 12第十二页，讲稿共八十页哦例例4 解解.,d)(1 010为为整整数数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以

9、以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri13第十三页，讲稿共八十页哦zxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.Cnzzzd)(110,d20 inneri14第十四页，讲稿共八十页

10、哦例例5 解解2 Re()d,:(1)1;(2)1;(3)1 1.CzzCiyxixi 计算其中为从原点到点的直线段抛物线上从原点到点的弧段从原点沿轴到点再到的折线(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为()(01),z ttitt Re(),d(1)d,ztzit于是101Re()d(1)d(1);2Czztitixyoi 11iy=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为2()(01),z ttitt Re(),d(12)d,ztztit于是10Re()d(1 2)dCzztitt1230212;2323titi2xy 15第十五页，讲稿共八十页哦xyoi 11iy=x2xy

11、 (3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为()(01),z ttt 1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为()1(01),z titt Re(),ztdzdt于是 Re()1,zdzidt于是1100Re()dd1 dCzzt ti t1.2i16第十六页，讲稿共八十页哦三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()();CCf z dzf z dz(2)()();()CCkf z dzkf z dzk为常数(3)()()()();CCCf zg z dzf

12、z dzg z dz(4),()(),()d()d.CCCLf zCf zMf zzf zsML设曲线的长度为函数在上满足那么估值不等式估值不等式17第十七页，讲稿共八十页哦性质性质(4)的证明的证明 ,1两点之间的距离两点之间的距离与与是是因为因为 kkkzzz ,度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)(所所以以 nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得两端取极限得.d)(d)(CCszfzzf nkkksf1)(因为因为 nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕18第十八页，讲稿共八十页哦例例6解解.d1 ,43 绝绝对对

13、值值的的一一个个上上界界试试求求积积分分的的直直线线段段为为从从原原点点到到点点设设 CziziC 1)(0 ,)43(ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC)14(311,上上因因为为在在22)14()3(1 tt21=25 t-4 25+9 255,3 Czizd1 从而从而 Csd35325 5 19第十九页，讲稿共八十页哦2 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理f(z)不满足不满足C-RC-R方程方程,在复平面内处处不解在复平面内处处不解析析.此时积分与路线有关此时积分与路线有关.2(34)()2Cizdzf zz处处解析

14、1211CCCzdzzdzzdzi 01d20.czizz 002z zrdzizz 由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线无关积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为或沿闭曲线的积分值为0的条的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：上一小节几个例子：例例1 1 此时积分与路线无关此时积分与路线无关.例例2 2 例例4 4 f(z)在以在以z0为中心的圆周内不是处处为中心的圆周内不是处处解析的，此时解析的，此时 虽然在除虽然在除z0外的圆内处处解外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域析，但此区域已不是单连通域20第

15、二十页，讲稿共八十页哦积分积分 定积分定积分 二重积分三重积分二重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分积分域积分域 区间区间 平面区域平面区域 空间区域空间区域 曲线曲线 曲面曲面曲线积分曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：在高等数学中我们学习了下列积分：21第二十一页，讲稿共八十页哦二重积分二重积分yxzO),(yxfz ),(ii ),(iif i niiiiniifVV11),(DyxfV d),(

16、Dyxyxfdd),(22第二十二页，讲稿共八十页哦第一型曲线积分第一型曲线积分iPi 如果如果 L 是闭曲线是闭曲线,则记为则记为(,)dLf x ys 设设 L 是空间可求长曲线段是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在为定义在 L上的函数，则可定义上的函数，则可定义 f(x,y)在空间曲线在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并记作上的第一型曲线积分，并记作(,)dLf x ys23第二十三页，讲稿共八十页哦第二型曲线积分第二型曲线积分 变力沿曲线作功变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用),(,),(),(yxQyxPyxF 沿曲线沿曲线 L 从点从点 A 移动到点移

17、动到点 B，则力，则力 F(x,y)所作的所作的功由如下曲线积分给出：功由如下曲线积分给出：dy),(d),(yxQxyxPL 或或dy),(d),(yxQxyxPAB 也记为也记为 LLyyxQxyxPd),(d),(或或 ABAByyxQxyxPd),(d),(简记为简记为dydQxPL P、Q是连续函数24第二十四页，讲稿共八十页哦格林格林 (Green)(Green)公式公式定理定理,),(yxP),(yxQddd dDLQPP xQ yx yxy(格林公式格林公式)若函数若函数在闭区域在闭区域 D 上具有连续一阶偏导数，上具有连续一阶偏导数，则有：则有：其中其中 L 为区域为区域 D

18、 的边界曲线，并取正方向的边界曲线，并取正方向.CE)(1y)(2y AB)(1x)(2x ab25第二十五页，讲稿共八十页哦曲线积分与路线的无关性定理曲线积分与路线的无关性定理),(),(yxQyxP在在D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,(iii)沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线 L,有有0.LPdxQd y(ii)对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(i)在在 D 内内 处处成立处处成立PQyxLPdxQdy与路径无关与路径无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关.设设D 是单连通域，函数是单连通域，函数则以下三个条件等

19、价则以下三个条件等价:26第二十六页，讲稿共八十页哦()B()Bf zuivfz设在单连通域 内处处解析且在 内连续()=,Bxxyyxyxyfzuivviuu v uuvv由于所以在内连续C-R =-xyxyuvvu并且满足方程()dcccf zzudxvdyivdxudy()()0 xyxyDDvudiuv d根据格林公式：根据格林公式：27第二十七页，讲稿共八十页哦B柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理（柯西积分定理）（柯西积分定理）(),():()d0.cf zBf zBCf zz 如果函数在内处处解析那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零单连通域C定理中的定理中的 C 可以不是简单可以

20、不是简单曲线曲线.28第二十八页，讲稿共八十页哦关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,)(在在函函数数zf ,上解析上解析即在闭区域即在闭区域CBB ,上上解解析析内内与与CB ()d0.cf zz 那么(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,)(在在函函数数zf那那末末上上连连续续在在闭闭区区域域 ,CBB ,内解析内解析B定理仍成立定理仍成立.例例 ,1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有 1.0d321zzz29第二十九页，讲稿共八十页哦()f z多连通区域问题：在解析时如何

21、？内内一一条条简简单单闭闭曲曲线线。是是DC(1),()0CCDCf z dz 内部全属于相当于 内部为单连通域；111;()0CCCCCCDf z dz 在 内部做使以为边界的区域全属于3 复合闭路定理复合闭路定理(2),()0CCDCf z dz 内部不全属于相当于 内部为多连通域；一般30第三十页，讲稿共八十页哦 ),(1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC.11DDCC全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及DC1C1DAA BB ,BBAA 和和作作两两段段不不相相交交的的弧弧段段设函数设函数f(z)在多连通域在多连通域D内解析内

22、解析31第三十一页，讲稿共八十页哦DC1C1DAA BB EE FF ,AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA ,FFEE 添添加加字字符符为为了了讨讨论论方方便便 .均为封闭曲线均为封闭曲线 ,D因因为为它它们们的的内内部部全全含含于于,0d)(AAEBAEBzzf故故.0d)(BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA 32第三十二页，讲稿共八十页哦 AAEBAEBzzfd)(由由,0d)(BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)(1d)(Czzf,0d)(d)(1 CCzzfzzf即即1()d(

23、).d CCf zzf zz或解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经过函数在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.()dAAf z z()dAAf z z()dB Bf z z()dBBf z z33第三十三页，讲稿共八十页哦例例1 121 d.23zzz 计算积分221.51 2311 21.511,0.521.5zzzrdzzdzzdzrzizxyo|z|20z r闭路变形原理：闭路变形原理：34第三十四页，讲稿共八十页哦DC

24、1C1DAA BB EE FF 1 ,:CC如果我们把这两条简单闭曲线及看成一条的正方向为复合闭路 ,按按逆逆时时针针进进行行外外面面的的闭闭曲曲线线C ,1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线C ,:即沿的正向进行时的内部总在的左手边 那么()0.f z dz 35第三十五页，讲稿共八十页哦复合闭路定理复合闭路定理1212 ,.(),:nnCDCCCCC CCCDf zD设为 多连通域内的一条简单闭曲线是在内部的简单闭曲线 它们互不包含也互不相交 并且以为边界的区域全含于如果在内解析那么DC1C2C3C(2)()0.f z dz 1212 ,(:,).nnC CCCCCCC这里为

25、由组成的复合闭路其方向是按逆时针进行按顺时针进行1(1)()d()d,;knCkCkf zzf zzCC其中及均取正方向36第三十六页，讲稿共八十页哦例例2 2解解.1 ,d12 2曲曲线线在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭为为包包含含圆圆周周计计算算积积分分 zzzzz,1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知,xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点，37第三十七页，讲稿共八十页哦,21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 ,0 1 zC 只只包包含含奇

26、奇点点 ,1 2 zC 只只包包含含奇奇点点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 38第三十八页，讲稿共八十页哦例例3 3.1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 ,21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC,上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,.0d z

27、zez39第三十九页，讲稿共八十页哦例例4 411 d,.()nzanza 求为含的任一简单闭路为整数解解1 ,:,aza因为在曲线内部 故可取很小的正数使含在内部 a 1 111 ,()nza在以为边界的复连通域内处处解析由复合闭路定理有由复合闭路定理有11111()()nndzdzzaza 02,izae令可得12211001ddd()()iinninnieiezzae12,01 0,0.()nindznza 故 此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.40第四

28、十页，讲稿共八十页哦例例5 5.,d)(121 00为为自自然然数数闭闭曲曲线线的的任任意意正正向向为为含含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 ,0,00,2d)(1 1nnizazn ,0za 此此处处不不妨妨设设 .1,01,1d)(121 0nnzzzin则有则有41第四十一页，讲稿共八十页哦定理一定理一 (),()d .Cf zBf zzC如果函数在单连通域内处处解析那么积分与连结起点及终点的路线无关由定理一可知由定理一可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)4 原函数与不定积分原函数与不定积分42第

29、四十二页，讲稿共八十页哦BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C ,10zz 终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf ,110zzBzz 并并令令内内变变动动在在让让如如果果固固定定 .d)()(0 zzfzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定43第四十三页，讲稿共八十页哦0 (),()(),()().zzf zBF zfdBF zf z如果函数在单连通域内处处解析那么函数必为内的一个解析函数 并且定理二定理二 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似类似.其证明也完全

30、类似。其证明也完全类似。44第四十四页，讲稿共八十页哦原函数原函数:()(),()(),()().zBf zzf zzf zB如果函数在区域内的导数为即那么称为在区域内的原函数0()()d ().zzF zff z显然是的一个原函数原函数之间的关系原函数之间的关系:.)(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf证证()()(),G zH zf z设和是的任何两个原函数()()()()G zH zG zH z那么 ()()0f zf z ()().G zH zc于是()c为任意常数 证毕证毕 ()(),B()().f zBF zF zc c如果在区域内有一个原函数那么它在 内

31、就有无穷多个原函数：为任意常数推论：推论：45第四十五页，讲稿共八十页哦不定积分的定义不定积分的定义:()(),()(),f zF zc cf z称的原函数的一般表达式为任意常数 为的不定积分 记作定理三定理三(),()(),f zBG zf z如果函数在单连通域内处处解析为的一个原函数 那么(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)101001()d()(),.zzf zzG zG zzzB为内的两点()d().f zzF zc说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分学中类似的方法去计算.46第四十六页，讲稿

32、共八十页哦例例1 1解解 .d 10的的值值求求 zzzz ,是解析函数是解析函数因为因为z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 47第四十七页，讲稿共八十页哦例例2 2.dcos 02的的值值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)48第四十八页，讲稿共八十页哦例例3 3.dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind i

33、izzzz00dsinsin解解izzz0cossin .11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”49第四十九页，讲稿共八十页哦例例4 4.d1)1ln(,1 0)Re(,0)Im(1的值的值求求内的圆弧内的圆弧试沿区域试沿区域 izzzzzz解解 ,1)1ln(在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(ln 2 z它它的的一一个个原原函函数数为为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 50第五十页，讲稿共八十页哦一、问题的提出一、问题的提出0000

34、0(),.(),().Cf zBzBf zBzzzf zdzCBzzz 设 为一单连通域为 中一点 若在 内解析 则在不解析 所以一般不为零(为 内围绕 的闭曲线)根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,5 柯西积分公式柯西积分公式 000,(),(),Czzzf zCf zz积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 的正向圆周由于连续 在 上的值随 的缩小逐渐接近于它在 处的值000()()d d.CCf zf zzzzzzz00000()1:d()d2().CCf zzf zzif zzzzz而51第五十一页，讲稿共八十页哦二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 Czzz

35、zfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC-柯西积分公式柯西积分公式00()2()Cf zdzif zzz 或者：或者：52第五十二页，讲稿共八十页哦D 0zCK ,0时时当当 zz0()().f zf z,:)(,00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以CRzzKRRz R Czzzzfd)(0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000

36、 Kzzzzfzfzifd)()()(2000证明：（不作要求，仅供参考）证明：（不作要求，仅供参考）,)(0连续连续在在因为因为zzf,0 则则,0)(53第五十三页，讲稿共八十页哦00()()dKf zf zszz d2.KsR 上不等式表明上不等式表明,只要只要 足够小足够小,左端积分的模就可以左端积分的模就可以任意小任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕00()()dKf zf zzzz 0()dCf zzzz 所以:0000()()2()d2

37、()Kf zf zif zzzzif z 54第五十四页，讲稿共八十页哦关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表内部任一点的值用它在边界上的值表示示.(2)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值值.0 ,iCzzR e如果是圆周则20001()()d2if zf zR e55第五十五页，讲稿共八十页哦例例1 1解解41sin d2zzziz 求积分 ,sin)(在在复复平平面面内内解解析析因因为为zzf ,4 0内内位位于于 zz00041sindsin02zzzzziz 由柯西积

38、分公式可得由柯西积分公式可得56第五十六页，讲稿共八十页哦412d.13zzzz 441213zzdzdzzz2122ii 6 i例例2 2412 d.13zzzz 求积分解解2)(1)(zfzf57第五十七页，讲稿共八十页哦例例3 3 2.d1 zzzze计计算算积积分分解解 ,)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf ,2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 58第五十八页，讲稿共八十页哦定理定理.,)(),2,1(d)()(2!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于

39、于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 6 高阶导数高阶导数高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分.59第五十九页，讲稿共八十页哦例例1 1解解5cos,d,:1.(1)CzzCzz 计算积分其中为正向圆周 ,1 )1(cos)1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz ,cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100

40、)(根据公式根据公式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 60第六十页，讲稿共八十页哦22 ,(1)zeCziz 函数在内的处不解析1C2Cxyo iCi ,1CiC为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 ,2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 ,)1(2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 22d,:1.(1)zCezCzrz 计算积分 其中为正向圆周例例2 2解解61第六十一页，讲稿共八十页哦1C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1

41、(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze122()d ()zCezizzi izzizei 2)()!12(2,2)1(iei222 d(1)zCezz ,2)1(iei Czzzed)1(22于于是是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i62第六十二页，讲稿共八十页哦例例3 33421 d.(1)zzzz 求积分解解3 z+1,函数在复平面内解析 ,2 10内内在在 zz,3 n 243d)1(1zzzz13 1!32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式63

42、第六十三页，讲稿共八十页哦 ,cos 在在复复平平面面内内解解析析函函数数zez ,1 00内内在在 zz,1 n 12dcoszzzzze0)cos(!12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例4 421cos d.zzezzz 求积分解解64第六十四页，讲稿共八十页哦一、调和函数的定义一、调和函数的定义.),(0,),(2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系

43、65第六十五页，讲稿共八十页哦二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系两者的关系定理：任何在区域定理：任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚它的实部和虚部都是部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证：证：,)(内的一个解析函数内的一个解析函数为为设设Divuzfw ,.uvuvxyyx 222222,.uvuvxy xyx y 根据高阶导数定理根据高阶导数定理,数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu22:,vvy xx y 即即有有2222 0,uuxy所所以以,0 2222 yvxv同理同理 .都都是是调调和和函函数数与与因因此此v

44、u证毕证毕66第六十六页，讲稿共八十页哦.,的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为两两个个调调和和函函数数中中的的内内满满足足方方程程在在换换句句话话说说uvxvyuyvxuD 2.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义.),(),(,),(的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在们们把把使使我我内内给给定定的的调调和和函函数数为为区区域域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.67第六十七页，讲稿共八十页哦3.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数

45、 u,那末就可以利用柯西那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而构成一个解从而构成一个解析函数析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 .),(,3),(23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu 6,uxyx 22 6,uyx 2233,uyxy226,uyy2222 0,uuxy于于是是故u(x,y)为调和函数。68第六十八页，讲稿共八十页哦,6 xyxuyv 因因为为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv

46、 又又因因为为,3322xy 2223()33,yg xyx 由由上上二二式式可可得得:xxxgd3)(2故故,3cx ,3),(23cxyxyxv )(为任意常数为任意常数c得一个解析函数得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3czizfw 练习：练习：.,236),(3223并并求求其其共共轭轭调调和和函函数数调调和和函函数数为为证证明明yxyyxxyxu 答案答案.263),(3322cxyxyyxyxv 69第六十九页，讲稿共八十页哦例例2 .0)0(,)(,)sincos(),(fivuzfyxyxyyeyxvx使使求求一一解解

47、析析函函数数和和函函数数为为调调已已知知解解,1)sinsincos(yyxyyexvx,1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由,1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd 1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxeux 70第七十页，讲稿共八十页哦 ,得得由由yuxv 1)sinsincos(yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)(cyyg 故故,)sincos(cyxyyyxeux 于于是是,)1(czizez ,0)0(f由由,0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz i

48、vuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(71第七十一页，讲稿共八十页哦4.不定积分法不定积分法.,),(),(不不定定积积分分法法求求解解析析函函数数的的方方法法称称为为用用不不定定积积分分或或已已知知调调和和函函数数yxvyxu不定积分法的实施过程不定积分法的实施过程:,)()(仍仍为为解解析析函函数数的的导导数数解解析析函函数数zfivuzf xxivuzf )(且且yxiuu xyivv ,来来表表示示用用与与把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 上两式积分得：上两式积分得：,d)()(czzUzf ,d)()(

49、czzVzf ,)(zfu求求适用于已知实部适用于已知实部 ,)(zfv 求求适适用用于于已已知知虚虚部部72第七十二页，讲稿共八十页哦用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ),)(1为为任任意意纯纯虚虚数数所所以以常常数数实实的的任任意意常常数数不不可可能能包包含含的的实实部部为为已已知知函函数数因因为为czf例例3 3 .3),(23yxyyxu 实实部部解解 )(为任意实常数为任意实常数c).()(3czizf 故故)(zf73第七十三页，讲稿共八十页哦例例4 解

50、解用不定积分法求解例用不定积分法求解例2中的解析函数中的解析函数 )(zf.)sincos(),(yxyxyyeyxvx 虚虚部部()()yxfzV zviv(cossincos)1(cossinsin)1xxeyyy xyi e yy xyy(cossin)()sin()cos1xxxeyiyi xiy eyxiy eyi(cossin)()cossin 1xxeyiyxiy eyiyi()1x iyx iyexiy ei 1zzezei()()d(1)dzzf zV zzezeiz(1)zzei zc )(为任意实常数为任意实常数c74第七十四页，讲稿共八十页哦一、积分存在的条件：一定存在