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1、复变函数的积分1第1页，共87页，编辑于2022年，星期六一、积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲线线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方的两个可能方向中的一个作为正方向向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向的曲理解为带有方向的曲线线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,2第2页，共87页，编辑于2022年，星期六简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C的正向是指的正向是指
2、当曲线上的点当曲线上的点P顺此方向前进顺此方向前进时时,邻近邻近P点的曲线的内部始点的曲线的内部始终位于终位于P点的左方点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起常把两个端点中的一个作为起点点,另一个作为终点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向总是正方向总是指从起点到终点的方向指从起点到终点的方向.3第3页，共87页，编辑于2022年，星期六2.积分的定义积分的定义:4第4页，共87页，编辑于2022年，星期六(5第5页，共87页，编辑于2022年，星期六关于
3、定义的说明关于定义的说明:6第6页，共87页，编辑于2022年，星期六二、积分存在的条件证证正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,7第7页，共87页，编辑于2022年，星期六8第8页，共87页，编辑于2022年，星期六根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,9第9页，共87页，编辑于2022年，星期六当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,10第10页，共87页，编辑于2022年，星期六在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式11第11页，共87页，编辑于2022年，星期六三、复积分的基本性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变
4、函数的定积分有类似的性质.估估值值不不等等式式12第12页，共87页，编辑于2022年，星期六性质性质(4)的证明的证明两端取极限得两端取极限得证毕证毕13第13页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解根据估值不等式知根据估值不等式知14第14页，共87页，编辑于2022年，星期六15第15页，共87页，编辑于2022年，星期六四、复积分的计算方法16第16页，共87页，编辑于2022年，星期六在今后讨论的积分中在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的总假定被积函数是连续的,曲线曲线 C 是按段光滑的是按段光滑的.17第17页，共87页，编辑于2022年，星期六例例3-1 解解直线方程
5、为直线方程为18第18页，共87页，编辑于2022年，星期六这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关19第19页，共87页，编辑于2022年，星期六例例3-2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x20第20页，共87页，编辑于2022年，星期六(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x21第21页，共87页，编辑于2022年，星期六y=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为22第22页，共87页，编辑于2022年，星期六例例3-3 解解积分路径的
6、参数方程为积分路径的参数方程为23第23页，共87页，编辑于2022年，星期六重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.24第24页，共87页，编辑于2022年，星期六例例 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为25第25页，共87页，编辑于2022年，星期六五、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积本课中重点掌握复积分的一般方法分的一般方法.
7、26第26页，共87页，编辑于2022年，星期六第二节 柯西定理与柯西公式一、柯西定理二、牛顿-莱布尼兹公式三、复合闭路定理四、柯西积分公式五、高阶导数公式27第27页，共87页，编辑于2022年，星期六一、柯西定理观察上节例观察上节例1,此时积分与路线无关此时积分与路线无关.观察上节例观察上节例4,28第28页，共87页，编辑于2022年，星期六观察上节例观察上节例5,由于不满足柯西黎曼方程由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不故而在复平面内处处不解析解析.由以上讨论可知由以上讨论可知,积分是否与路线有关积分是否与路线有关,可能可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性决定于被积函数的解
8、析性及区域的连通性.29第29页，共87页，编辑于2022年，星期六定理定理3-2 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理定理中的定理中的 C 可以不是简单可以不是简单曲线曲线.此定理也称为此定理也称为柯西积分定理柯西积分定理.30第30页，共87页，编辑于2022年，星期六关于定理的说明关于定理的说明:(1)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,(2)如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界,定理仍成立定理仍成立.31第31页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有32第32页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解根据柯西
9、古萨定理得根据柯西古萨定理得33第33页，共87页，编辑于2022年，星期六34第34页，共87页，编辑于2022年，星期六定理定理3-3由定理由定理3-2可知可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)二、复积分的牛顿莱布尼兹公式35第35页，共87页，编辑于2022年，星期六36第36页，共87页，编辑于2022年，星期六定理定理3-4证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.37第37页，共87页，编辑于2022年，星期六由于积分与路线无关由于积分与路线无关,38第38页，共87页，编辑于2022年，星期六39第39
10、页，共87页，编辑于2022年，星期六由积分的估值性质由积分的估值性质,40第40页，共87页，编辑于2022年，星期六 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似完全类似.证毕证毕41第41页，共87页，编辑于2022年，星期六原函数的概念定义原函数的概念定义3-1:原函数之间的关系原函数之间的关系:证证42第42页，共87页，编辑于2022年，星期六那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕43第43页，共87页，编辑于2022年，星期六不定积分的定义不定积分的定义:定理定理3-5(复积分牛
11、顿复积分牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)44第44页，共87页，编辑于2022年，星期六证证根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理,证毕证毕说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分学中类似的方法去计算.45第45页，共87页，编辑于2022年，星期六典型例题例例解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,46第46页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)47第47页，共87页，编辑于2022年，星期六三、复合闭路定理1.闭路变形原理闭路变形原理4
12、8第48页，共87页，编辑于2022年，星期六49第49页，共87页，编辑于2022年，星期六得得50第50页，共87页，编辑于2022年，星期六 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经过在变形过程中曲线不经过函数函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.51第51页，共87页，编辑于2022年，星期六2.复合闭路定理复合闭路定理3-6那末那末52第52页，共87页，编辑于2022年，星期六53第53页，共87页，编辑于2022年，星期六典型例题例例解解
13、依题意知依题意知,54第54页，共87页，编辑于2022年，星期六根据复合闭路定理根据复合闭路定理,55第55页，共87页，编辑于2022年，星期六例例 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,56第56页，共87页，编辑于2022年，星期六四、柯西积分公式根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变,求这个值求这个值.57第57页，共87页，编辑于2022年，星期六58第58页，共87页，编辑于2022年，星期六定理定理3-8证证59第59页，共87页，编辑于2022年，星期六
14、60第60页，共87页，编辑于2022年，星期六上不等式表明上不等式表明,只要只要 R 足够小足够小,左端积分的模就可以左端积分的模就可以任意小任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕柯西积分公式柯西积分公式61第61页，共87页，编辑于2022年，星期六关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值内部任一点的值用它在边界上的值表示表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但
15、提供了计算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值值.62第62页，共87页，编辑于2022年，星期六三、典型例题例例解解63第63页，共87页，编辑于2022年，星期六由柯西积分公式由柯西积分公式64第64页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解由柯西积分公式由柯西积分公式65第65页，共87页，编辑于2022年，星期六例例
16、解解由柯西积分公式由柯西积分公式66第66页，共87页，编辑于2022年，星期六课堂练习课堂练习答案答案67第67页，共87页，编辑于2022年，星期六五、高阶导数公式问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数其定义和求法是否与实变函数相同相同?回答回答:(1)解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示来表示,这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?68第68页，
17、共87页，编辑于2022年，星期六定理定理3-9证证69第69页，共87页，编辑于2022年，星期六根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得70第70页，共87页，编辑于2022年，星期六71第71页，共87页，编辑于2022年，星期六72第72页，共87页，编辑于2022年，星期六再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限73第73页，共87页，编辑于2022年，星期六至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数析函数.依次类推依次类推,利用数学归纳法可证利用数学归纳法可证证毕证毕高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积
18、分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求而在于通过求导来求积分积分.74第74页，共87页，编辑于2022年，星期六典型例题例例解解75第75页，共87页，编辑于2022年，星期六76第76页，共87页，编辑于2022年，星期六根据复合闭路定理根据复合闭路定理77第77页，共87页，编辑于2022年，星期六78第78页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解79第79页，共87页，编辑于2022年，星期六80第80页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得81第81页，共87页，编辑于2022年，星期六82
19、第82页，共87页，编辑于2022年，星期六课堂练习课堂练习答案答案83第83页，共87页，编辑于2022年，星期六例例解解84第84页，共87页，编辑于2022年，星期六根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,85第85页，共87页，编辑于2022年，星期六86第86页，共87页，编辑于2022年，星期六有向曲线有向曲线复积分复积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理原函数原函数的定义的定义复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数公式高阶导数公式调和函数和调和函数和共轭调和函数共轭调和函数87第87页，共87页，编辑于2022年，星期六