复变函数积分讲稿.ppt

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1、复变函数积分第一页，讲稿共二十九页哦 Department of Mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质第二页，讲稿共二十九页哦一、复变函数积分的定义1.有向曲线有向曲线:设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲线线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向或正向),),那么我们就把那么我们就把C理解为带有方向的曲线理解为带有方向的曲线,称为称为

2、有向曲线有向曲线.xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,.C记记为为第三页，讲稿共二十九页哦简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线简单闭曲线C(周线周线)的正向是的正向是指当曲线上的点指当曲线上的点P顺此方向前顺此方向前进时进时,邻近邻近P点的曲线的内部点的曲线的内部始终位于始终位于P点的左方点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明:在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起常把两个端点中的一个作为起点点,另一个作为终

3、点另一个作为终点,除特殊声明外除特殊声明外,正方向总是指正方向总是指从起点到终点的方向从起点到终点的方向.第四页，讲稿共二十九页哦2.定义定义3.1(),(),(),azbzf zCCab以为起点为终点沿 有定义 顺着从 到 的方向取设分点oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1(1,2,),kkkzzkn在每个弧段上任意取一点设有向曲线C(),()zz tt 011,kknazzzzzb把曲线C分成若干弧段,作和式1(),nnkkkSfz第五页，讲稿共二十九页哦1(),nnkkkSfzoxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1,()(),()(),():kkknCz

4、zzSJf zCabJf zCabf z dz其中当分点无限增多 而这些弧段长度的最大值趋于零时 如果和数 的极限存在且等于则称沿从 到可积 而称 为沿从 到的积分 并记号表示()d.CJf zz.C称为积分路径()d,Cf zzC表示沿 正方向积分()dCf zzC表示沿 负方向积分.第六页，讲稿共二十九页哦关于定义的说明关于定义的说明:(1),(),.baJJf z dzJa bC如果 存在 一般不能把 写成因为的值不仅和有关 而且和积分路径 有关(2)(),().f zCf zC沿 可积的必要条件是沿 有界1(3)()dlim().nkkCnkf zzfz第七页，讲稿共二十九页哦3.定理

5、定理3.1()(,)(,),(),f zu x yiv x yCf zC若函数沿曲线 连续则沿可积 且证明证明 ),()()(ttyitxtzzC由由参参数数方方程程给给出出设设光光滑滑曲曲线线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向,BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 ()dCCCf zzudxvdyivdxudy第八页，讲稿共二十九页哦,0)(ttz并并且且 ,),(),()(内内处处处处连连续续在在如如果果Dyxviyxuzf ,),(),(内内均均为为连连续续函函数数在在和和那那么么Dyxvyxu ,kkki 设设)(111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为)

6、()(11 kkkkyyixx,kkyix 第九页，讲稿共二十九页哦1()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),(1(,)(,)nkkkkkkkuxvy ,都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以1(,)(,)nkkkkkkkivxuy 第十页，讲稿共二十九页哦当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,),(,下下式式两两端端极极限限存存在在的的取取法法如如何何点点的的分分法法任任何何不不论论对对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),

7、()(Czzfd)(Cyvxudd Cyuxvdd i 第十一页，讲稿共二十九页哦 :ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)(Cyixivu)dd)(Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)(Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.第十二页，讲稿共二十九页哦二二.复变函数积分的计算问题复变函数积分的计算问题(),f zC沿 连续 则设有向曲线C()()(),()zz tx tiy tt()()()d(3.2)Cf z

8、dzf z t z tt()Re ()()dIm ()()d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt复积分的变量代换公式或第十三页，讲稿共二十九页哦证明证明()dCf zzddddCCu xv yiv xu y (),()()(),()()du x ty t x tv x ty t y tt (),()()(),()()div x ty t x tu x ty ty tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()(ttztzf注注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.第十四页，讲

9、稿共二十九页哦例例1 解解.,d)(1 010为为整整数数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri第十五页，讲稿共二十九页哦zxyor0z ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i ,0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin;0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 .0,0,0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关

10、：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,d20 inneri Cnzzzd)(110第十六页，讲稿共二十九页哦三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为为常常数数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3(CCCzzgzzfzzgzf12 (4),nCC CC如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线 则12()()d()d()d.nCCCCf z dzf zzf zzf zz第十七页，讲稿共二十九页哦,()(),()d()d.CCCLf zCf zMf zzf

11、 zsML设曲线 的长度为函数在上连续且满足那末估值不等式估值不等式22(5)()d()d()d,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧长微分(6)积分估值积分估值定理定理3.2第十八页，讲稿共二十九页哦证明证明 ,1两点之间的距离两点之间的距离与与是是因为因为 kkkzzz ,度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)(所所以以 nkkkzf1)(nkkksf1)(两端取极限得两端取极限得.d)(d)(CCszfzzf nkkksf1)(因为因为 nkksM1,ML.d)(d)(MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕第十九页，讲稿共二十九页哦证明证

12、明 2,(01)Cztit 的参数方程为而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例221 d2,2 CzzCii试证积分路径为连接 到点的直线段.21 ,Cz因为在上连续 且1212ti2141tdCs22xyo2i2i第二十页，讲稿共二十九页哦例例3,.izCe dzCzRRR试证积分路径为圆周的上半圆周从 到证明证明:Re ,(0)iC zizCe dzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(0)2由2202ReRd(1)ReizCe dz220|Re xy0R.R.第二十一页，讲稿共二十九页哦例例4 解解.1 1 (

13、3);1 (2);1 (1):,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Re tiztz 于于是是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x第二十二页，讲稿共二十九页哦(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于于是是 CzzdRe 10d

14、)21(titt1032322 tit;3221i 第二十三页，讲稿共二十九页哦xyoi 11iy=x2xy (3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd,1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.第二十四页，讲稿共二十九页哦例例5 解解,12zdzzz计算积分其中 为圆环及实轴积分路径的参数方程为积分路径的参

15、数方程为:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所围区域位于上半平面部分的边界第二十五页，讲稿共二十九页哦112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee30diie1302diie230diie20cos3id 0sin3id 2234.3第二十六页，讲稿共二十九页哦四、小结与思考 本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一本课中重点掌握复积分的一般方法般方法.第二十七页，讲稿共二十九页哦作业wP141 习题(一)wP142 1,2,3(1),第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看感谢大家观看9/6/2022第二十九页，讲稿共二十九页哦