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1、北师大版九年级下册第三章圆3.3垂径定理学习目标：1 .利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理，并运用垂径定理及其逆定理解 决问题.2 .经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何 图形的各种方法.学习重点： 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.学习难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.学习过程：一.知识回顾1 .圆心角、弧、弦之间的关系.2 .圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.二.猜想探索垂足为M.垂足为M.（一）垂径定理的探索验证1 .探索发现如图，A3是。的一条弦，作直径CD 使COL48,垂足为M.（1）这个图形是轴对称
2、图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2 .验证猜想（1）已知：如图，A8是。0的一条弦，作直径CQ,使COJ_A8,求证：AM=BM,h=BC，AD =BD - 证明：连接04,08,则0A=0B.在 RtAOAM 和 RtAOBM 中， 04=03, OM=OM, AM二BM, Z AOC= ZBOC_ zAC -BCVZAOD=180-ZAOC,ZBOD=180-ZBOC A。-BD（2）想一想：如果弦AB经过圆心，即它是直径时，结论还成立吗？结论：如果弦AB是直径时，它和CD恰好把圆4等分，所以结论还是成立的。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分
3、这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 强调：使用定理中的两个条件： 垂直于弦.直径（半径）. 几何语言：c CD 是直径,CD_LAB,.am=bm,公二诧，二肪4.辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件。（提示答案是：是，是，不是，不是）注意：定理中的两个条件缺一不可一一直径（半径），垂直于弦.（二）垂径定理的逆定理的探索验证1 .探索发现：如图，AB是。O的弦（不是直径），作一条平分的直径C。，交A3于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？c（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2 .验证猜想（10 ）（1）已知：如图，AB是。的一条弦（不是直径）,CO溟。UL/ ABD与
4、CD相交于点M,并且AM二BM.求证：CDLAB,公二泥 AD =BD -（教师点拨：类比垂径定理的证明过程进行证明） 证明：连接OA,OB,则OA=OB.在OAM和08M中，：0A=0B, 0M=0M, AM=BM.：.AM=BM. Z AOC= ZBOCAC BCVZAOD=18（）-ZAOC,ZBOD= 180-ZBOCAD BD（2）想一想：如果弦AB经过圆心，即它是直径时，结论还成立吗？结论：不成立，当这样过圆心画弦AB时，虽然AM=BM,但是这个图形显 然就不是以直径CD为对称轴的轴对称图形了，所以结论不成立的。3.垂径定理的逆定理:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
5、的两条 弧.儿何语言：,: CD 是直径，AM=BMA CD AB, 公=BC AD =BD （三）垂径定理的实质涉及到五个关系：。是直径；CD1AB；公=麴；6=BD从中任选二个作为条件，都可以推出另外三个。三、知识应用1 .例1.如图，在。中，弦的长为8cm,圆心。到AB的距离为3cm,求。的半径.在0 K , OE-LAB AE = -AB = x8 = 4 22在R七 AOE中AOZ = OJS2 + AETAO =/32+42 =5cm答* G刖芈径为5cm.点拨：在涉及弦的计算问题中，通常的做法：过圆心、作垂直、连半径、用勾股；半径、弦心距、弦的一半所构 成的直角三角形是常用的基本
6、图形，这三个量知二可推一.2.自学课本P75例题例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中无， 点0是& 所在圆的圆心)，其中C3=600m, E为& 上 的一点，且OEJ_CO,垂足为F, 7三90m.求这段弯路的 半径.解：连接OC,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. OEA. CD :.CF =-CD = -x 600 = 300 22根据勾股定理，得 0C2=C尸+0产 即 R2 =30()2+(90)2.解这个方程，得R=545.答：这段弯路的半径为545m.四、课堂小结1 .利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2 .解决有关弦的问题，常用的方法是：过圆心作垂线，连
7、半径，构造直角三角 形，为应用垂径定理创造条件.五、课后作业1 .复习本节课所学的知识2 .巩固性作业：课本P76P77新课堂P86P883 .预习性作业：预习课本P78P81圆周角和圆心角的关系（第一课时）附：课 本P76P77习题解答随堂练习L 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥 拱所在圆的半径.（结果精确到0.1米）.解：如图过圆心O作ODJ. AB, D为垂足，与AB相交于点C 由垂径定理，D是AB的中点，C是篇 的中点，CD就是拱高.设。O的半径是R,由题意得AH = 37.4 CD
8、 = 7.2 yUD = *x374 = 18.7,OD = OC LC = R 7.2.在RtZkQAD中，由勾股定理，得OAa =+OD,ADR” =+解得 R27. 9 Cm)答： 赵州石拱桥的桥拱半径约为279m提示:跨度（弧所对的弦长）为AB=37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为CD=7.2 米。随堂练习2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？么？B AD提示：（分类讨论）有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内选择第一种情况进行解释说明：若。0 中，弦 ABCD。（ | 、那么AC=BD吗？为什么？J解：AC=B
9、D,理由是：卜3作直径MNJ_AB。 VAB/7CD, AMNCDo则AM=BM, CM = DM （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）.典一然=BM -DM AAC = BD教师：其它的两种情况，大家类比第一种证法，相信你一定可以证明的！知识技能2.如图,已知。0的半径为30nmi，弦AB=361nm.则点0到AB的距离及ZOAB 的余弦值过点0津OCAB交AB于C（x,AC = AB = yx36 = 18mmkJ在Rt&AC中，由勾股定理 OC2=OA2-AC2=302-182=242:.OC=24即点。到AB的盟日%mqi.COSNOABf/ =而=彳解：AC=BDI I 理由：过。作OEJ_AB于E,JJ:.AE=BE, CE=DE :.AECE=BE-DE、j/即AC=BD温馨提示：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作 为辅助线，实际上，往往只需过圆心作弦的垂线。习题总结小结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.