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1、圆锥曲线方程第1页，共17页，编辑于2022年，星期五 圆锥曲线方程Point Conic Equation 圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，她兼具曲线美和对称美，被人们称之为世间最美的线条。宇宙中也存在着圆锥曲线，太阳系中九大行星及其卫星都是椭圆，而彗星运动轨道分椭圆，双曲线形，和抛物线形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔76年我们就可以观测一次第2页，共17页，编辑于2022年，星期五双曲线的第一定义双曲线的标准方程双曲线的第二定义 椭圆的第一定义 椭圆的标准方程 椭圆的第二定义简史曲线推广知识第3页，共17页，编辑于2022年，星期五 圆锥曲线的雏形圆锥曲线的雏形 远在古希腊，就有很多人热衷
2、于研究几何三大作图问题，竟相寻求这些问题的解答，而在求解过程中，就要用到圆锥曲线，如希腊学者蒙爱启玛斯在研究“二倍立方问题”时，就涉及圆锥曲线。他取三个顶点分别为直角锐角和钝角的正圆锥，然后各作一个平面分别垂直于三个圆锥的一条母线，并与圆锥相截：他把所得三条截线分别称为“直角圆锥截线”，“锐角圆锥截线”和“钝角圆锥截线”，实际上就是今天我们所说的抛物线，椭圆，一支等轴双曲线：这是圆锥曲线最早的名称。第4页，共17页，编辑于2022年，星期五 圆锥曲线在世界的研究圆锥曲线在世界的研究 公元十七世纪初期，由于生产的需求，促使了天文学、力学和光学的发展，由于生产的需要，促使了天文学，力学和光学的发展
3、，从而向数学提出了许多迫切需要解决的课题，有关圆锥曲线的计算就是其中之一。例如公元1609年，德国天文学家开普勒发现天体运动的轨迹是椭圆，意大利物理学家 伽利略由抛掷石子推出弹道是抛物线。法国学者迈多尔日发展了圆锥曲线的性质，并在光学中加以运用。天体运动，弹道轨迹，光学应用等实际需要，促使人们加快地研究和建立有关圆锥曲线的理论，并用于实际。我国对圆锥曲线的研究也有相当的历史，很多史书均有这方面的记载。恒星历指一书中既有椭圆的名称，交食历指一书则记为长圆，测量全义中即记载了椭圆产生于圆柱，也记载圆锥曲线源自圆锥。返回返回第5页，共17页，编辑于2022年，星期五椭椭 圆圆 ellipseelli
4、pse椭圆第一定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离的 和等于常数（大于/F1F2/）的点的轨 叫做椭圆oF1F2A1A2B1B2Mxy椭圆就是集合:P=M|MF1|+|MF2|=2a 椭圆的焦距：|F1F2|=2c椭圆的长轴:|A1A2|=2a椭圆的短轴：|B1B2|=2b演演 示示 返回返回第6页，共17页，编辑于2022年，星期五椭圆的标准方程 x2 a2+y2 b2=1(ab0)c2=a2-b2F1F2cbaxyo1.范围离心率e=ca(0e1)椭圆的简单几何性质：2.对称3.顶点4.离心率建立直角坐标系，用代数方法研究椭圆.（将几何图形代数化）在坐标系中计算得，椭圆的标准方程：返回
5、返回A1A2B1B2第7页，共17页，编辑于2022年，星期五椭圆的第二定义yMxF2F1dx=a2cx=a2-co焦点，时，这个动点的轨迹是的距离定直线e=ca定点平面内动点M到一个和它到一条的距离比是常数(0e 0,b 0)yxoc2=a2+b2离心率e=ca(e 1)双曲线的几何性质：1.范围2.对称性3.顶点4.离心率5.渐进线y=baxy=baxA1A2B1B2建立直角坐标系，同样用代数方法研究双曲线（将何图形代数化）第10页，共17页，编辑于2022年，星期五双曲线的第二定义双曲线的第二定义ca平面内动点到一个 M的距离与它到一条 的定点定直线 距离的比是常数e=(e 1)时，这个
6、动点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线.F2MF1x=a2cx=a2-c双曲线就是集合：|MF2|d=ca=e（常数）=|MF|dP=M|ca 返回返回第11页，共17页，编辑于2022年，星期五抛物线定义抛物线定义 parabolaparabola把平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点.直线叫 做抛物线的焦点.直线L 叫做抛物线的准线.FMLoKxy抛物线的标准方程：y2=2px抛物线的准线方程：x=_p2演演 示 返回返回第12页，共17页，编辑于2022年，星期五圆锥曲线综合比较圆锥曲线综合比较 椭 圆 双曲线 抛
7、物线 圆几何条件|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=+2a|MF|=dmL|MO|=r标准方程(a b 0)(a b 0)y2=2px(p 0)顶点坐标(0,0)无对称轴X轴，y轴X轴，y轴X轴直径焦点坐标（+c,0)c2=a2+b2（+c,0)(0,0)离心率0 e 1e=1e=0准线方程无渐近线 x2a2_y2b2=1+y2 b2=1x2a2x2+y2=r2(+a,0)(+a,0)(0,+b)x=a2cx=a2-cx=a2-cx=a2cx=_p2y=+bax（+c,0)c2=a2-b2演 示示 返回返回第13页，共17页，编辑于2022年，星期五相关习相关习题题轨迹问题轨迹
8、问题就是满足某种条件的点的集合，也可以看作是动点按某种规律运动所形成的曲线.就是求轨迹上动点P(x,y)P(x,y)的坐标x和y所满足的等式f(x,y)f(x,y)=0.求轨迹方程常用方法：求轨迹方程常用方法：直接法：将动点运动的规律直接转化为代数语言，求出动点坐标满足的等量关系.参数法：在等量关系不易找到时，可以增设一些参变量过渡，间接得动点坐标的等量关系.交轨法：当动点的制约条件不止一个时，用交轨法.注意轨迹的完备性和纯粹性，即“除伪补缺”轨迹：轨迹：轨迹方程：轨迹方程：检验轨迹：检验轨迹：第14页，共17页，编辑于2022年，星期五练习：在一条固定直线上标有三个点，其中两个点沿一个直角的
9、两条边滑动，问第三个点的轨迹是什么？oCABabxy利用解析几何，设xoy是直角，建立直角坐标系，设A，B两点分别在Oy，Ox上滑动，第三个点为 C，并设CA=a，CB=b，AB=c，显然，当点C在AB间时，C=a+b;当点C在AB外时，c=|ab|.再设C点坐标为（x,y），AB与xO所成的角为，则x=acos，y=bsin，+y2 b2=1x2a2点C的轨迹为以直角边为对称轴，以为a,b半轴的椭圆.再推广再推广解：如图第15页，共17页，编辑于2022年，星期五圆锥曲线与直线的关系圆锥曲线与直线的关系利用判定圆锥曲线与直线的位置关系：椭圆：=0是直线与椭圆只有一个交点的充要条件.双曲线：=
10、0或直线平行于渐近线时仅有一个交点.抛物线：=0或直线与对称轴平行时仅有一个交点.当0时，直线与圆锥曲线有两个交点.圆锥曲线弦的中点是圆锥曲线常见题型：常常用到违达定理，一般地，如果K为弦AB的斜率,点p（x0,y0)为弦AB的中点，则：椭圆+y2 b2=1x2a2有：k=b2x0a2y0双曲线x2a2_y2b2=1有：k=b2x0a2y0抛物线y2=2px有：k=pyo相相关关习习题题第16页，共17页，编辑于2022年，星期五经典习题经典习题1.过（0，2）的直线与抛物线仅有一个交点，则满足条件的直线L共有 条.设直线L为y=kx+2,联立方程得：k2x2+4(k-1)x+4=0,k=0时有一公共点k0时，由=0得一解；当L垂直x轴时，适合题意，共三解2.直线y=2x+m与椭圆x29+y24=1有两个交点，则实数m的取值范围 .联立方程组得40 x2+36mx+9m2-36=0.由0,得-210 m 2103.不论k为何实数，直线y=ax+b与椭圆 总有x29+y24=1公共点，则实数b的取值范围是 .xyoby=ax+b运用数形结合思想，由题意，点（o,b)在椭圆 上或内部.x29+y24=1 下课下课三三（答案答案）（答案答案）（答案答案）-2,2 提示：提示：提示：第17页，共17页，编辑于2022年，星期五