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1、流体的稳定流动 伯努利方程本讲稿第一页，共十六页1 理想流体理想流体 实际流体流动中，流体各层有相对滑动时，相邻两层之间存实际流体流动中，流体各层有相对滑动时，相邻两层之间存在摩擦力，这种力阻碍流体各部分间的相对滑动，流体的这种性质，在摩擦力，这种力阻碍流体各部分间的相对滑动，流体的这种性质，称为粘滞性，在很多情况下，粘滞性可以忽略不计。称为粘滞性，在很多情况下，粘滞性可以忽略不计。完全完全不可压缩不可压缩又又无粘性无粘性的流体叫做理想流体的流体叫做理想流体。本章基本上只讨论理想流体，将其看成流体微团的连续分布。本章基本上只讨论理想流体，将其看成流体微团的连续分布。实际流体都是可压缩的。就液体
2、来说，压缩一般都很小，气体的实际流体都是可压缩的。就液体来说，压缩一般都很小，气体的压缩性比较大，但它的流动性也很大，压缩性比较大，但它的流动性也很大，只要有很小的压强差就足以只要有很小的压强差就足以使气体迅速流动起来，各处密度差异并不大。因此在研究气体流动的使气体迅速流动起来，各处密度差异并不大。因此在研究气体流动的许多问题中，压缩性是可以忽略的。即许多问题中，压缩性是可以忽略的。即 一般在我们研究的问题中，压缩性和粘滞性是影响流体运动的次一般在我们研究的问题中，压缩性和粘滞性是影响流体运动的次要因素，只有流动性才是决定运动的主要因素。为了突出流体的这一要因素，只有流动性才是决定运动的主要因
3、素。为了突出流体的这一主要特征，我们引入理想流体这一模型：主要特征，我们引入理想流体这一模型：又称又称“干水干水”本讲稿第二页，共十六页根据平衡条件有：根据平衡条件有：因为在推证中，因为在推证中，q q 角可取任意值，对棱柱的方位又未加角可取任意值，对棱柱的方位又未加任何限制，故说明在静止液体内任一点任何限制，故说明在静止液体内任一点“向各个方向的压向各个方向的压强都相等强都相等”。水平方向：水平方向：竖直方向：竖直方向：为三阶无穷小量，可略去不计为三阶无穷小量，可略去不计本讲稿第三页，共十六页3 流体运动学的基本概念流体运动学的基本概念一、流迹一、流迹 流线和流管流线和流管研究流体运动的方法
4、有两种：研究流体运动的方法有两种：1、拉格朗日法拉格朗日法：将流体分成许多无穷小的微元，求出它：将流体分成许多无穷小的微元，求出它们各自的运动轨迹（称做迹线，们各自的运动轨迹（称做迹线，path line）。这实际上）。这实际上是沿用质点组动力学的方法来讨论流体的运动。是沿用质点组动力学的方法来讨论流体的运动。2、欧勒法欧勒法：把注意力集中到各空间点，观察流体微元：把注意力集中到各空间点，观察流体微元经过每个空间点的流速经过每个空间点的流速 v，寻求它的空间分布和随时，寻求它的空间分布和随时间的演化规律。间的演化规律。本讲稿第四页，共十六页着重介绍欧勒法着重介绍欧勒法任任t时刻流速场时刻流速场
5、任任t时刻流线：时刻流线：在流速场中画出许多曲线，其上每一点的在流速场中画出许多曲线，其上每一点的切线方向和流速场在该点的速度方向一致。切线方向和流速场在该点的速度方向一致。如图如图(a)流线不会相交。流线不会相交。任任t时刻流管：时刻流管：在流体内做一微小的闭合曲线，通过其上各在流体内做一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所围成的细管。点的流线所围成的细管。流管内、外的流体都不会穿越管壁。流管内、外的流体都不会穿越管壁。本讲稿第五页，共十六页二、定常流动二、定常流动 一般说来，流速场的空间分布是随时间而变化的，即一般说来，流速场的空间分布是随时间而变化的，即 定常流动时，流体是在固定的流管中
6、运动，而流管无限变定常流动时，流体是在固定的流管中运动，而流管无限变细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的。细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的。在特殊情况下流速场的空间分布不随时间改变，即在特殊情况下流速场的空间分布不随时间改变，即流体的定常流动（流体的定常流动（steady flow）流体的不定常流动如图流体的不定常流动如图(c)换句话说，换句话说，定常流动时的流线与流迹相重合定常流动时的流线与流迹相重合。本讲稿第六页，共十六页三、不可压缩流体的连续性方程三、不可压缩流体的连续性方程1、流量流量 在流速场中取任一流管的横截面元在流速场中取任一流管的横截面元 dS，则则dt
7、时间内通过时间内通过面元面元 dS 的流体体积和质量的流体体积和质量分别为分别为dSvdtv体积流量体积流量质量流量质量流量 单位时间内通过面元单位时间内通过面元dS 的流体体的流体体积（或质量）称为体积（或质量）流量，积（或质量）称为体积（或质量）流量，记作记作 dQv（dQm）。按此定义，则有）。按此定义，则有本讲稿第七页，共十六页 为了把流量的表达式写得更简洁，我为了把流量的表达式写得更简洁，我们引进面元矢量的概念：们引进面元矢量的概念：的大小等于的大小等于dS，方向沿法向，方向沿法向 vdtdSv流量可以写为流量可以写为通过有限曲面通过有限曲面 S 的流量为：的流量为：2 2、不可压缩
8、流体的连续性原理、不可压缩流体的连续性原理 沿任意流管有沿任意流管有 vds=常量，在物理实质上体现了流体在流动常量，在物理实质上体现了流体在流动中质量守恒。中质量守恒。本讲稿第八页，共十六页4 伯努利方程伯努利方程 研究流体力学问题，必须注意流体处于静止还是在流动。流体在流研究流体力学问题，必须注意流体处于静止还是在流动。流体在流动中的压强分布与静液迥然不同。这里研究在惯性系中观察动中的压强分布与静液迥然不同。这里研究在惯性系中观察理想流体理想流体在在重力场中作重力场中作定常流动定常流动时一流线上的压强、流速和高度的关系，即伯努利方时一流线上的压强、流速和高度的关系，即伯努利方程。伯努利方程
9、是程。伯努利方程是 1738 年首先由丹尼耳年首先由丹尼耳 伯努利（伯努利（Daniel Bernoulli 1700-82）提出的，这不是一个新的基本原理，而是质点系动能定理在流体）提出的，这不是一个新的基本原理，而是质点系动能定理在流体中的应用。中的应用。12本讲稿第九页，共十六页伯努利方程的推导伯努利方程的推导如图所示，在作定常流动的理想流如图所示，在作定常流动的理想流体中任取一根流管，用截面隔出一体中任取一根流管，用截面隔出一段流体。在时间间隔段流体。在时间间隔t内，左端的内，左端的S1从位置从位置a1移到移到b1，右端的，右端的S2从位置从位置a2移到移到b2。因没有粘滞，即没有耗散
10、，我们可以运用机因没有粘滞，即没有耗散，我们可以运用机械能守恒定律于这段流管内的流体。械能守恒定律于这段流管内的流体。令令分别是在同一时间间隔内流分别是在同一时间间隔内流入和流出的流体体积入和流出的流体体积对于不可压缩流体的对于不可压缩流体的定常流动定常流动本讲稿第十页，共十六页 在在b1到到a2一段里虽然没有流体更换了，但由于流一段里虽然没有流体更换了，但由于流动是定常的，其运动状态未变，从而动能和势能动是定常的，其运动状态未变，从而动能和势能都没有改变。故考查能量的变化时只需计算两端都没有改变。故考查能量的变化时只需计算两端体元体元V1与与V2之间的能量差。之间的能量差。首先看动能的变化首
11、先看动能的变化再看重力势能的改变再看重力势能的改变外力对这段流管内流体所做的功外力对这段流管内流体所做的功.设左端的压强为设左端的压强为p1,作用在作用在S1上的上的力力F1=p1S1,外力作功为外力作功为右端的压强为右端的压强为p2,作用在作用在S2上的力上的力F2=p2S2,外力作功为外力作功为故故 A外外=A1+A2=(p1-p2)V本讲稿第十一页，共十六页由功能原理由功能原理因因1、2是同一流管内的任意两点，所以上式也可表达为沿同一流线是同一流管内的任意两点，所以上式也可表达为沿同一流线对于伯努利方程，应注意以下几点：对于伯努利方程，应注意以下几点：1、方程在惯性系中成立方程在惯性系中
12、成立；2、只有对同一条细流管（或同一条流线）只有对同一条细流管（或同一条流线）上的各点才有方程所表明的关系上的各点才有方程所表明的关系；3、对于不同的细流管或流线，方程的常量具有不同的值对于不同的细流管或流线，方程的常量具有不同的值。4.4.把伯努利方程运用于水平流管，或在气体中高度差效应把伯努利方程运用于水平流管，或在气体中高度差效应不显著的情况，则有不显著的情况，则有即即高速则低压高速则低压。(p1 p2)V本讲稿第十二页，共十六页伯努利方程的应用伯努利方程的应用1空吸作用：空吸作用：2小孔流速：小孔流速：3文特利流速计文特利流速计:小孔的射流速度和自由落体的速度相等小孔的射流速度和自由落
13、体的速度相等喷雾器、水流抽气机、内燃机中的汽化器等喷雾器、水流抽气机、内燃机中的汽化器等测量管道中流速和流量的测量管道中流速和流量的装置（装置（P356例题例题1）本讲稿第十三页，共十六页4流动流体的上举力流动流体的上举力在静止流体中的物体，受有一上举力，为在静止流体中的物体，受有一上举力，为流体的浮力，遵守阿基米德原理流体的浮力，遵守阿基米德原理 在流动的流体中，由于物体本身的旋转或是由于物在流动的流体中，由于物体本身的旋转或是由于物体的形状，使物体的上下流体流速不同，从而压力不同，体的形状，使物体的上下流体流速不同，从而压力不同，如果物体上边的流体的压强小于物体下边的压强时，便如果物体上边
14、的流体的压强小于物体下边的压强时，便产生了上举力。产生了上举力。本讲稿第十四页，共十六页分析几个实际现象：分析几个实际现象：两张纸平行放置，用口向它们中间吹气。两张纸平行放置，用口向它们中间吹气。两张纸将会贴在一起两张纸将会贴在一起气流通过狭窄通道气流通过狭窄通道时速度加快、压强时速度加快、压强减少的结果减少的结果 将一个乒乓球放在倒置的漏斗中间，用口向漏斗嘴里吹气将一个乒乓球放在倒置的漏斗中间，用口向漏斗嘴里吹气乒乓球可以贴乒乓球可以贴在漏斗上不坠在漏斗上不坠落落本讲稿第十五页，共十六页 在船长的航海指南里，应当对两条同向并行船只的速度和容许在船长的航海指南里，应当对两条同向并行船只的速度和
15、容许靠近的距离，加以明确的规定。靠近的距离，加以明确的规定。足球中的香蕉球。足球中的香蕉球。二十世纪初一支法国舰队在地中海演习，勃林奴斯号装甲旗舰召来二十世纪初一支法国舰队在地中海演习，勃林奴斯号装甲旗舰召来一艘驱逐舰接受命令。驱逐舰高速开来，到了旗舰附近突然向它的船头一艘驱逐舰接受命令。驱逐舰高速开来，到了旗舰附近突然向它的船头方向急转弯，结果撞在旗舰的船头上，被劈成两半。方向急转弯，结果撞在旗舰的船头上，被劈成两半。1942年玛丽皇后号运兵船从美国开往英国，与之并行的一艘护航巡洋年玛丽皇后号运兵船从美国开往英国，与之并行的一艘护航巡洋舰突然向左急转弯，撞在运兵船的船头上，被劈成两半。舰突然向左急转弯，撞在运兵船的船头上，被劈成两半。本讲稿第十六页，共十六页