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1、第六节流体流动的微分方程本讲稿第一页，共十六页 采用欧拉方法进行微分衡算时，选取的衡算范围(流体微元)即相当于前述的控制体。它的特点是体积、位置固定，输入和输出控制体的物理量随时间改变。采用拉格朗日方法进行微分衡算时，所选取的流 体质点的特点是其质量固定，位置和体积是随时间变 化的。与欧拉方法不同，拉格朗日方法的着眼点不是流体空间上的固定点，而是流体运动的质点或微团，研究每个流体质点自始至终的运动过程。2拉格朗日方法本讲稿第二页，共十六页二、物理量的时间导数 1偏导数2全导数 表示为：偏导数、全导数和随体导数物理量的时间导数有三种：本讲稿第三页，共十六页 3随体导数 表示为：三、连续性方程 1
2、方程的推导连续性方程的推导采用欧拉方法。如图所示本讲稿第四页，共十六页本讲稿第五页，共十六页 根据质量守恒原理，对所选的控制体进行质量衡算，得 在x方向，流体经控制体的左侧面流入控制体的质量通 量为 ，则质量流率为 ，而由控制体右侧平面流出的质量通量为 ，故由右侧平面流出的质量流率为 。(流出质量流率)(流入质量流率)+(累积质量速率)=0本讲稿第六页，共十六页于是，x方向流出与流入微元控制体的质量流率之差为 同理，可得y，z方向流出与流入微元控制体的质量 流率之差分别为：本讲稿第七页，共十六页 由此可得连续方程如下：控制体内任意时刻的流体质量为 ，因此累积速 率为：向量形式为：本讲稿第八页，
3、共十六页 某些情况下，连续性方程可以得到简化。例如稳态流动时，有：对于不可压缩流体，=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程均简化为 2柱坐标与球坐标下的连续性方程本讲稿第九页，共十六页本讲稿第十页，共十六页本讲稿第十一页，共十六页 运动方程称为微分动量衡算方程，可以通过对流体进行微分动量衡算得到。四、运动方程本讲稿第十二页，共十六页 推导运动方程采用拉格朗日方法，依据是动量守恒原理即牛顿第二运动定律 其意义为作用在任何物体上的合外力应等于此物体的动量变化率 本构方程给出应力与形变速率之间关系的表达式。1用应力表示的运动方程用应力表示的运动方程2牛顿型流体的本构方程本讲稿第十三页，
4、共十六页3运动方程运动方程 将以上三式写成向量形式，为：简化得运动方程的最终形式为：本讲稿第十四页，共十六页 运动方程亦称为奈维斯托克斯（NavierStokes）方程，方程中每一项都代表着作用在流体质点上的力。表示惯性力；右侧项中表示质量力；表示压力梯度；则表示粘性力。4以动压力表示的运动方程 略，自学5柱坐标与球坐标下的运动方程 略，自学本讲稿第十五页，共十六页【学习指导】【学习指导】2本知识点的重点本知识点的重点 1学习目的学习目的 通过本知识点的学习，应了解分析流体流动问题的两种方法，随体导数及体积形变速率的基本概念；掌握连续性方程推导的方法；了解运动方程推导过程中的一些基本思路和概念。随体导数的概念和连续性方程的推导。3本知识点的难点本知识点的难点 本知识点无难点。作业：P133 第20题本讲稿第十六页，共十六页