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1、第2 章 连续信号与系统的时域分析 章节以及课时安排(共6学时)2.2卷积积分(2学时)2.3系统的微分算子方程2.4连续系统的零输入响应(2学时)2.5连续系统的零状态响应(2学时)2.6系统微分方程的经典解法第2 章 连续信号与系统的时域分析 教学要求熟练掌握卷积的定义、图解、性质熟练掌握算子法求解零状态响应和零输入响应了解微分方程的经典解法了解强迫响应和自由响应、稳态响应和暂态响应的概念第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.2卷积积分卷积积分 1 卷积的定义卷积的定义定义f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为 式中，为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的时间信号
2、。第2 章 连续信号与系统的时域分析 注意卷积的结果是关于时间 的函数，与积分变量 无关 和 是两个独立变化的变量第2 章 连续信号与系统的时域分析 举例例2.2-1给定信号求：解：讨论 在什么范围内变化时参与积分的函数乘积非零第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 2 2 卷积的图解机理卷积的图解机理P48 P48 信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。第三步，给定一个t
3、值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。第2 章 连续信号与系统的时域分析 第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。第2 章 连续信号与系统的时域分析 卷积的图示卷积的图示第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 0.5用用t标志标志边界边界2信号至于同一坐标轴，随信号至于同一坐标轴
4、，随着着t的变化观察其共同非零区的变化观察其共同非零区域，即积分限域，即积分限第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例 2.2-1给定信号 求y(t)=f1(t)*f2(t)。f1(t)和和f2(t)波形波形 第2 章 连续信号与系统的时域分析 卷积的图解表示 第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 3 3 卷积性质卷积性质 性质性质1 1 卷积代数 卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律 结合律 分配律 第2 章 连续信号与系统的时域分析 结合律的证明卷积定义卷积定义交换积分交换积分次序次序卷积定义卷积定义卷积定义卷积定义
5、交换律交换律第2 章 连续信号与系统的时域分析 性质性质2 2 性质性质3 卷积的微分和积分 性质性质4 卷积时移 第2 章 连续信号与系统的时域分析 冲击信号的搬移特性证明在发生在在发生在t0时刻时刻的冲击信号与任的冲击信号与任意信号的卷积，意信号的卷积，会导致该信号平会导致该信号平移移t0个单位，个单位，t0小于小于0时左移，时左移，t0大于零时右移大于零时右移第2 章 连续信号与系统的时域分析 应用T(t)产生周期信号 第2 章 连续信号与系统的时域分析 微积分性质证明因为 第2 章 连续信号与系统的时域分析 同理，可将f2(t)表示为 并进一步得到 当f1(t)和f2(t)满足 第2
6、章 连续信号与系统的时域分析 对另一个函数进行k次积分的情况，即 第2 章 连续信号与系统的时域分析 举例求以下信号的卷积积分求以下信号的卷积积分解法一解法一 图解法图解法第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 解法二解法二 微积分性质求解微积分性质求解第2 章 连续信号与系统的时域分析 与前面解法与前面解法结果明显不结果明显不同同不满足不满足 的条件，微的条件，微积分微积分性质不可以使用积分微积分性质不可以使用第2 章 连续信号与系统的时域分析 时移性质证明第2 章 连续信号与系统的时域分析 课堂作业运用冲击信号的搬移性质证
7、明卷积的时移性质第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例例例 2.2 32.2 3 计算下列卷积积分：计算下列卷积积分：第2 章 连续信号与系统的时域分析 图 2.2 6 例2.2-4方法二图 第2 章 连续信号与系统的时域分析 常用信号的卷积公式 P56第2 章 连续信号与系统的时域分析 举例：运用图解法求解以下信号的卷积第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 举例：运用性质求解以下信号的卷积第2 章 连续信号与系统的时域分析 斜率斜率1下降下降斜率斜率2上升上升第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.3.1 微分算子和积分
8、算子微分算子和积分算子 式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如：2.3 系统的微分算子方程系统的微分算子方程第2 章 连续信号与系统的时域分析 第2 章 连续信号与系统的时域分析 性性质质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例如：性质性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则 第2 章 连续信号与系统的时域分析 性性质质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程 也不能由方程 通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)
9、与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是 第2 章 连续信号与系统的时域分析 思考什么情况下微分算子方程两边的公因式可以消除系统初始状态为零时，可消除第2 章 连续信号与系统的时域分析 性质4 第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.3.2 LTI系统的微分算子方程系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为 第2 章 连续信号与系统的时域分析 它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响响应应y(t)对对激激励励f(t)的的传传输输算算子子或系系统统的的传输算子
10、传输算子。第2 章 连续信号与系统的时域分析 图 2.1 1 用H(p)表示的系统输入输出模型 第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 2 设某连续系统的传输算子为 图 2.3 2 例2.3-2图 P59第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.3.3 电路系统算子方程的建立电路系统算子方程的建立 表 2.2 电路元件的算子模型 P60第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 3 电路如图2.3-3(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。图 2.1 3 例2.1-3图 第2 章 连续信号与系统的时域分析 解解 画出算子模型电路如图2.3-3(b)所示。由节点电压法列出
11、u1(t)的方程为 所以u1(t)对f(t)的传输算子为 它代表的实际含义是 第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 4 如图2.3-4(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。图 2.1 4 例2.1-4图 第2 章 连续信号与系统的时域分析 解解 画出算子模型电路如图2.3-4(b)所示。列出网孔电流方程如下：第2 章 连续信号与系统的时域分析 该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得 第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.4 连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 2.4.1 系统初始条件系统初始条件 根据线
12、性系统的分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即 分别令t=0-和t=0+，可得 第2 章 连续信号与系统的时域分析 因果系统，时不变系统 同理，可推得y(t)的各阶导数满足 第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.4.2 零输入响应算子方程零输入响应算子方程 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且 y(t)和f(t)满足的算子方程为 yx(t)满足的算子方程为 第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.4.3 简单系统的零输入响应简单系统的零输入响应 简单系统简单系统1 若A(p)=p-，则yx(t)=c0et。此时系统特征方
13、程A(p)=0仅有一个特征根p=。将A(p)=p-代入式(2.4-10)可得 第2 章 连续信号与系统的时域分析 式中，c0=yx(0-)，其值由初始条件yx(0-)确定。因此，可得结论为 含义是：A(p)=p-对应的零输入响应yx(t)为c0et。第2 章 连续信号与系统的时域分析 简单系统简单系统2 若A(p)=(p-)2，则yx(t)=(c0+c1t)et。零输入响应的微分算子方程为零输入响应的微分算子方程为记：记：则有：则有：No1式式1第2 章 连续信号与系统的时域分析 No2由简单系统由简单系统1的结论的结论由式由式1方程方程2边同乘边同乘方程方程2边同做积分边同做积分第2 章 连
14、续信号与系统的时域分析 推广至推广至r重根的情况重根的情况第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.4.4 一般系统的零输入响应一般系统的零输入响应 对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根i(i=1,2,l)，且i是ri阶重根，那么，A(p)可以因式分解为 式中，r1+r2+rl=n第2 章 连续信号与系统的时域分析 根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,.,l,将相应方程求和，便得所以方程A(p)yx(t)=0的解为第一步，将A（p）进行因式分解，即综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是：第2 章 连续信号与系统的时域分析 第二
15、步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t)第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，即 第四步，根据给定的零输入响应初始条 或者0-系统的初始条件，确定常数第2 章 连续信号与系统的时域分析 某例 2.4-1 某系统输入输出微分算子方程为 已知系统的初始条件y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解解 由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以第2 章 连续信号与系统的时域分析 其一阶和二阶导函数为 第2 章 连续信号与系统的时域分析 代入初始条件值并整理得联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值
16、代入式(2.4-16)，最后求得系统的零输入响应为 第2 章 连续信号与系统的时域分析 例例 2.4-2 电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1，R2=5，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t0时的零输入响应iLx(t)。第2 章 连续信号与系统的时域分析 解：解：No1画出电路的算子模型如图画出电路的算子模型如图2.4-1b)No2根据电路根据电路3大定律列方程大定律列方程节点节点a的的kcl:回路回路l2的的kvl:整理得系统输入输出算子方程整理得系统输入输出算子方程:第2 章 连续
17、信号与系统的时域分析 No3根据算子方程得零输入响应算子方程根据算子方程得零输入响应算子方程:根据简单系统根据简单系统1得得:No4 确定初始条件确定初始条件:第2 章 连续信号与系统的时域分析 如图如图2.4-1c):第2 章 连续信号与系统的时域分析 No5初始条件代入方程初始条件代入方程:第2 章 连续信号与系统的时域分析 第二次课后作业-1P43 1.26P82 2.3 3)2.7 1)2.17 1)第2 章 连续信号与系统的时域分析 2.5 连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 2.5.1 连续信号的连续信号的(t)分解分解 任一连续信号f(t)与单位冲激信号(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即