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1、第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 2.1 LTILTI连续系统的响应连续系统的响应 2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、一、微分方程的经典微分方程的经典解解 一、一、信号时域分解与卷积信号时域分解与卷积 二、二、关于关于0-0-和和0 0初始初始值值 二、二、卷积的图解卷积的图解三、三、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.4 2.4 系统的性质系统的性质一、一、冲激响应冲激响应 一、一、卷积代数卷积代数二、二、阶跃响应阶跃响应 二、二、奇异函数的卷积特性奇异函数的卷积特性 三、三、卷积的微积分性质卷积的
2、微积分性质 四、四、卷积的时移特性卷积的时移特性第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 LTI LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立建立并求解线性微分方程并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间间t t，故称为故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。法的基础。第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的
3、经典解微分方程的经典解：微分方程的经典解：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程的解。的解。y yh h(t)(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特特征根征根确定。确定。特解特解的函数形式与激励函数的形式的函数形式与激励函数的形式有关。有关。P41P41表表2-12-1、2-22-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励而与激励f(t)f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统
4、的固固有响应有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确的函数形式由激励确定，称为定，称为强迫响应强迫响应。第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解解解：齐次解齐次解为：为：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解将其代入微分方程得：将其代入微分方程得：全解为：全解为：其中待定常数其中待定常数c c1 1、c c2 2由初始条件决定由初始条件决定第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI
5、连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解（2 2）齐次解同上。当激励）齐次解同上。当激励f(t)=ef(t)=e-2t-2t时，其指数时，其指数 与特征根之一相重。由表知：其特解为与特征根之一相重。由表知：其特解为代入微分方程得：代入微分方程得：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 上式第一项的系数上式第一项的系数C C1 1+P0=2,+P0=2,不能区分不能区分C C1 1和和P P0 0求出。因而也不能区分自由响应和强迫响应。求出。因而也不能区分自由响应和强迫响应。第
6、二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)f(t)是在是在t=0t=0时接入系统，则确定待时接入系统，则确定待定系数定系数C Ci i时用时用t=0t=0时刻的时刻的初始值初始值，即，即y y(j)(j)(0(0+)(j=0,1,2,)(j=0,1,2,n-1),n-1)而而y y(j)(j)(0(0+)包含了输入信号的作用，不便于描包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。述系统的历史信息。在在t=0t=0_ _时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y y(j)
7、(j)(0(0_ _)反应了反应了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。而与激励无关。称这些值为称这些值为初始值初始值或或起始值起始值。通常对于具体的系统，初始状态一般容易求通常对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态始状态y y(j)(j)(0(0_ _)设法求得设法求得y y(j)(j)(0(0+)第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 但但y y(t)(t)不含冲击函数，否则不含冲击函数，否则y y(t)(t)将含
8、将含有有 项。由于项。由于y y(t)(t)不含不含 ，故，故y(t)y(t)在在t=0t=0处是连续的。处是连续的。对式对式(1)(1)两端积分有两端积分有第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 由上可见，由上可见，当微分方程等号右端含有冲击当微分方程等号右端含有冲击函数（及其各阶导数）时，响应函数（及其各阶导数）时，响应y(t)y(t)及其各阶及其各阶导数中，有些在导数中，有些在t=0t=0处将发生跃变，但如果右处将发生跃变，但如果右端不含时，则不会跃变。端不含时，则不会跃变。第二章第二章 连续系统
9、的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入和零状态响应三、零输入和零状态响应也可以分别用经典法求解。也可以分别用经典法求解。注意注意：对：对t=0t=0时接入激励时接入激励f(t)f(t)的系统，初始值的系统，初始值的计算。的计算。第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入和零状态响应三、零输入和零状态响应例：描述某系统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为已知已知 。求该系统的零。求该系统的零输入响应和零状态响应。输入响应和零状态响应。解解（1 1）零输入响应零输入响应y yx x(t)(t)激励为
10、激励为0 0，故，故y yx x(t)(t)满足满足第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入和零状态响应三、零输入和零状态响应该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为-1，-2，故，故代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为c cx1x1=4=4，c cx2x2=-2=-2，代代入得入得第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入和零状态响应三、零输入和零状态响应（2 2）零状态响应零状态响应y yf f(t)(t)满足满足并有并有 由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有
11、，故，故y yf f(t)(t)含含有有 ，从而，从而y yf f(t)(t)跃变跃变,即即 而而y yf f(t)(t)在在t=0t=0连续，即连续，即y yf f(0+)=y(0+)=yf f(0-)=0(0-)=0，积积分得分得第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析LTILTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入和零状态响应三、零输入和零状态响应因此：因此：对对t0有：有：求得其齐次解为求得其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t，其特解为常数其特解为常数3，于是有，于是有代入初始值得：代入初始值得：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.3 冲激响应和阶跃响应
12、冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数 所引起的所引起的零状态响应零状态响应称称为为单位冲激响应单位冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)解：根据解：根据h(t)的定义有的定义有第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应对对t0时，有时，有h(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为
13、微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲。故系统的冲激响应为激响应为代入初始条件得：代入初始条件得：c1=1，c2=-1，所以所以第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t).解：根据解：根据h(t)的定义有的定义有（1）先求先求h(0+)和和h(0+)由方程可知，由方程可知，h(t)中含中含 ，故令，故令第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析冲激响应和阶跃响应冲激响
14、应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应代入式（代入式（1），有），有第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应对式（对式（3）从）从0-到到0+积分得积分得h(0+)-h(0-)=-3对式（对式（4）从）从0-到到0+积分得积分得h(0+)-h(0-)=12故故h(0+)=-3，h(0+)=12对对t0时，有时，有h(t)+6h(t)+5h(t)=0微分方程特征根为微分方程特征根为-2,-3。故系统冲激响应为。故系统冲激响应为代入初始条件代入初始条件h(0+)=-3，h(0+)=12求得求得c1=3，c2=-6，所以所以第二章第
15、二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应结合式（结合式（2），得），得二、阶跃响应二、阶跃响应由于由于 与与 为为微积分关系微积分关系，故，故方法二：教材方法二：教材P54第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分（2）任意信号分解）任意信号分解“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0)，宽度为宽度为 ，用，用p(t)表示为表示为第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分（2）任意信号分解）任意信号分解“1”号脉冲高度号脉冲高度 ，宽度为宽度为 ，用，用 表表示为：示为：“-1”号脉冲高度号脉
16、冲高度 ，宽度为宽度为 ，用，用 表示为：表示为：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应根据根据h(t)的定义：的定义：由时不变性：由时不变性：由齐次性：由齐次性：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应任意信号作用下的零状态响应由叠加性：由叠加性：卷积积分卷积积分第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分2.卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间已知定义在区间 上的两个函数上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义
17、积分为为f1(t)和和f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积，记为，记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意：注意：积分是在虚设的变量积分是在虚设的变量 下进行的，下进行的，为积为积分变量，分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t的函数。的函数。第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分例：例：求求yf(t)解：解：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为四步：卷积过程可分解为四步：（1）换元：）换元：（2）反转平移：）反转平移：（3）乘积：）乘积：（4）积分：）积分：注意：
18、注意：t为参变量为参变量第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分解：采用图解形式解：采用图解形式例：例：f(t)，h(t)如图所示，求如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)tt-1第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分t：移动的距离移动的距离t=0时时 未移动未移动t0时时 右移右移t0时时 左移左移t从从 到到 对应对应 从左向右移动从左向右移动浮动坐标：浮动坐标：上限上限 下限下限t-1t20第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分t0第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分0=t
19、=1第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分1=t=2第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分2=t=3第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分卷积结果卷积结果再来一遍再来一遍第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分卷积积分 图解法图解法一般比较繁琐，但若只求某一时一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的确定积分的上下限是关键。上下限是关键。积分的上下限积分的上下限上限取小，下限取大上限取小，下限取大第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析
20、2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数（教材一、卷积代数（教材P67-69）1.交换律：交换律：2.分配律：分配律：3.结合律：结合律：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微分性质三、卷积的微分性质第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的
21、时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微分性质三、卷积的微分性质第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质例例1解：通常将复杂函数放前面，代入定义式得：解：通常将复杂函数放前面，代入定义式得：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质例例2第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质四、卷积的时移性质四、卷积的时移性质第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质四、卷积的时移性质四、卷积的时移性质前例：前例：解：解：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质四、卷积的时移性质四、卷积的时移性质例：例：解：解：第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析卷积积分的性质卷积积分的性质小结小结求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。方法可归纳为：方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。）利用定义式，直接进行积分。对于容易对于容易 求积分的函数比较有效。求积分的函数比较有效。（2）图解法。）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷特别适用于求某时刻点上的卷 积值。积值。（3）利用性质。）利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。