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1、第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析引言引言微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解起始点的跳变起始点的跳变-从从0到到0+状态的转换状态的转换零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.1 引言引言 时域分析方法时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本章中我们主要讨论本章中我们主要讨论输入、输出描述法。输入、输出描述法。系统数学模型的时域表示系统数学模型的时域表示系
2、统分析过程系统分析过程经经典典法法:前前面面电电路路分分析析课课里里已已经经讨讨论论过过，但但与与(t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷卷积积积积分分法法:任任意意激激励励下下的的零零状状态态响响应应可可通通过过冲激响应来求。冲激响应来求。(新方法新方法)本章主要内容本章主要内容线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解；卷积的图解说明；卷积的图解说明；卷积的性质；卷积的性质；零状态响应：零状态响应：。()()()thtfty*=zs2.2 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解物理系统的模型物理系统的模型
3、微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法一物理系统的模型一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。二微分方程的列写二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓
4、扑元件特性约束和网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。电感电感电阻电阻电容电容根据根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微
5、分方程。并联电路系统的二阶微分方程。例：求并联电路的端电压例：求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。RRiLLiCciab+-()tvis(t)()tv()tis()()tvRtiR1=()()t tt td1 -=tLvLti()()ttvCtiCdd=()()()()titititiCLRS=+()()()()ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22=+牵牵引引，弹弹簧簧的的另另一一端端固固定定在在壁壁上上。刚刚体体与与地地面面间间的的摩摩擦擦系系数数为为 ，外外加加牵牵引引力力为为 ，其其外外加加牵牵引引力力 与与刚体运动速度刚体运动速度 间的关系可以推导出为间
6、的关系可以推导出为这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。msF例：机械位移系统，质量为例：机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧kff()tFS()tFS()()()()ttFtkvttvfttvmddddddS22=+三三n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述 一一个个线线性性系系统统，其其激激励
7、励信信号号 与与响响应应信信号号 之之间间的的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为均为常数，此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。)(te)(tr四求解系统微分方程的经典法四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。分析系统的方法：列写方程，求解方程。求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：齐次解就是：齐次解+特解。特解。齐次解：由特征方程齐次解：由特征方程求出特
8、征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解解：根根据据微微分分方方程程右右端端函函数数式式形形式式，设设含含待待定定系系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。代入原方程，比较系数定出特解。经典法经典法全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由初始条件定出齐次解特解，由初始条件定出齐次解 。自由响应：自由响应：由系统自身特性决定的响应。由系统自身特性决定的响应。强迫响应：强迫响应：由激励信号决定的响应。由激励信号决定的响应。固有频率：特征方程的根固有频率：特征方程的根=nktkkA1ea a几种典型激励函数相应的特解几种典型激励
9、函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解1121+-+ppppBtBtBtBL()()()()tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppw ww wa aa asin ecose11211121+-+-+LL()()tBtBw ww wsincos21+tBa ae)(常数常数B)(常数常数Ept()tw wcosta ae()tw wsin()tttpw wa asine()tttpw wa acose系统的特征方程为系统的特征方程为 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为的齐次解。的齐次解。例：求微分方程例：求微分方程()()()()(
10、)tetrtrttrttrt=+12dd16dd7dd223301216723=+a aa aa a()()0322=+a aa a()3 ,221-=-=a aa a重根重根()()tthAAtAtr33221ee-+=如如果果已已知知：分分别别求求两两种种情情况况下下此此方程的特解。方程的特解。例：给定微分方程式例：给定微分方程式将此式代入方程得到将此式代入方程得到()()()()()tettetrttrttr+=+dd3dd2dd22()()()(),e 2 ;12ttette=为使等式两端为使等式两端平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 ()(),2,122tttte+=得到得到代
11、入方程右端代入方程右端将将()3221pBtBtBtr+=为待定系数。为待定系数。这里这里321,BBB()()ttBBBtBBtB2322 34323212121+=+等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有联解得到联解得到所以，特解为所以，特解为 =+=+=032223413321211BBBBBB2710 ,92 ,31321-=BBB()271092312p-+=tttr 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。代入方程后有：代入方程后有：(2)()()。可选可选很明显很明显时时当当ttBtrtee,e=tttttBBBeee3e2e+=+31=B。于
12、是，特解为于是，特解为te31 ()()相加即得方程的完全解相加即得方程的完全解和特解和特解上面求出的齐次解上面求出的齐次解trtrph()()trAtrnitip1ie+=a a)()(tVctVsRtVctVsti)()()(-=R)(tVs)(tVciCdttdVcCti)()(=)(1)(1)(tVsRCtVcRCdttdVc=+我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为，响应为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 初始条件的确定初始条件的确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。+0t2.3 起始点的跳变起始点的跳变-从从0到到
13、0+状状态的转换态的转换起始状态起始状态初始状态初始状态冲激函数匹配法确定初始条件冲激函数匹配法确定初始条件一起始点的跳变一起始点的跳变响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间响应区间：激励信号加入之后系统状态变化区间一般在一般在t=0时刻加入，响应区间为时刻加入，响应区间为 +t0O-0+0t()()()()()()=-1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrrL+0t()()()()()()=-+-+1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrrL对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能元件的储能情况
14、储能情况;当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有没有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各及其各阶导数项。阶导数项。说明说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则换路定则：但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫强迫作用于电感，作用于电感，到到 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。()()()().00 ,00+-+-=LL
15、CCiivv-0+0-0-0+0例：例：时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态达到稳态。当。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路，给定如图所示电路，0)()(21S01S0=ttititt21S()ti()V4=te()V2=teF1=CW W=11R()tiC()tiLH41=LW W=232R根据电路形式，列回路方程根据电路形式，列回路方程列结点电流方程列结点电流方程(1)（1 1）列写电路的微分方程）列写电路的微分方程21S()ti()V4=te()V2=teF1=CW W=11R()tiC()tiL
16、H41=LW W=232R()()()tetvtiRC=+1()()()2ddRtititLtvLLC+=()()()titvtCtiLC+=dd(),tvC先消去变量先消去变量(),把电路参数代入整理得把电路参数代入整理得再消去变量再消去变量tiL()()()()()()tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222+=+(2)(2)求系统的完全响应求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程特征根特征根齐次解齐次解代入代入式式(1)方程右端自由项为方程右端自由项为要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为特解特解01072=+a aa a()()052 =+a aa a即
17、即5 ,221-=-=a aa a()()+-+=0 ee5221tAAtitth()V4 0=+tet时时由于由于(),44pBti=因此令特解因此令特解4410=B581016=B()()+-+=0 58ee5221tAAtitt(3)换路前换路前()()+0dd0iti和和确定换路后的确定换路后的21S()ti()V4=te()V2=teF1=CW W=11R()tiC()tiLH41=LW W=232R()()A5420021=+=-RRiiL()00dd=-it因而因而有有由于电容两端电压由于电容两端电压和电感中的电流不和电感中的电流不会发生突变会发生突变,()():0dd0 +it
18、i和和换路后的换路后的21S()ti()V4=te()V2=teF1=CW W=11R()tiC()tiLH41=LW W=232R()()()A514A5641100101=-=-=+CveRi()()()()()()sA25451411011 0010dd1 0dd0dd10dd11/iiCetRvtetRitLC-=-=-=-=+(4)求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为()时的完全响应时的完全响应在在求求+0tti()()-=-=+=+2520dd5145802121AAitAAi()的表示式的表示式由由 ti -=1523421AA()()+-+-=0 581523452tAee
19、titt()()+-+=0 58ee5221tAAtitt配平的原理配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶及各阶导数应该平衡导数应该平衡(其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，其他项也应该平衡，我们讨论初始条件，可以不管其他项）可以不管其他项）例例：二二.冲激函数匹配法确定初始条件冲激函数匹配法确定初始条件在在 中中 时刻有时刻有 中的中的()()()ttrtrt =+33dd()()+-0,0rr求求已知已知()t 3方程右端含方程右端含()()tttr 3dd中必含中必含()()ttr 3中包含中包含()t 方程右端不含方程右端不含()()()()ttr
20、tttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含-()trtdd()t 9-()tr0=t()tuD D-9表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以，()()900-=-+rr()()900 -=-+rr即即数学描述数学描述设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得即即即即()()()可知可知由方程由方程ttrtrt =+33dd()项项，方程右端含方程右端含t ()trtdd它一定属于它一定属于()()()()tuctbtatrtD D+=dd()()()tubtatrD D+=()()()()()()ttubtatuctbta =D D+D D+333 =+=+=030
21、33bcaba =-=2793cba()()900-=-+brr()()900-=-+rr例例（1）将）将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t=0得得()()()()()()()()()()。和和用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求和和如图，已知如图，已知输入输入描述描述+-=+=+0dd0,00dd540 )(4dd6dd10dd7dd LTI2222rtrrtrtetetettettrtrttrt()()()()。的微分方程为的微分方程为+-=0dd0,00dd540 )(rtrrtrte()()()()()+=+4dd6dd10dd7 2222tetettettrtrttr()te24
22、Ot()()()trtrttrt10dd7dd22+()()()tuttD D+=8122 (2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有，因而有 代入微分方程代入微分方程()()()trtrttrt10dd7dd22+()()()tuttD D+=8122 ()t ()()()()()()()()()D D=D D+=D D+=tuatrtubtatrttuctbtatrt dddd22()()()()()()tuatubtatuctbtaD D+D D+D D+107 ()()()tuttD D+=8122 )00(+-0时系时系统响应统响应vc(t)e(t)
23、vc(0-)-R+-+-vc(t)微分方程为微分方程为+()()()tetvtvdtdRCcc=+()()()teRCtvRCtvdtdcc11=+()()()teRCtvRCtvdtdcc11=+RCte将上列方程两端乘以将上列方程两端乘以()()()teeRCtveRCtvdtdeRCtRCtRCtcc11=+()()teeRCtvedtdRCtRCtc1=或写作或写作()()tttttttdeeRCdveddtctRCRC-=001两边求积分：两边求积分：()()()ttdteeRCvtvetccRCRCt-=-010()()()()t tt tt tdeeRCvetvtcctRCRCt
24、-+=0110系统的完全响应可以看作由系统的完全响应可以看作由外加激励源外加激励源和和起始状态起始状态共同作用的结果。共同作用的结果。系统的完全响应系统的完全响应 =零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应 线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 没有外加激励信号的作用，只由起始没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。一般情况，设系统是线性时不变的一般情况，设系统是线性时不变的He(t)x(0-)r(t)=He(t)+Hx(0-)零输入响应零输入响应rzi(t)：零状态响应零状态响应rzs(t)：不考虑起始时刻系统储能的作用
25、（起不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。把把t0电路看电路看作起始状态，作起始状态，分别求分别求t 0时时的零输入响应的零输入响应和零状态响应。和零状态响应。1 1、零输入响应、零输入响应t 0电路：电路：+-e(t)R1CL+-vc(0-)iL(0-)R2i(t)()()Avc540i ,v560L=-起始储能：起始储能：R1=1C=1FL=1/4H+-vc(0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2 i(t)满足微分方程：满足微分方程：t 0零输入等效电路：零输入等效电路：R1=1+-vc(
26、0-)=6/5ViL(0-)=4/5AR2=3/2 izi(0+)iL(0+)作出作出t=0+时刻的等效电路时刻的等效电路求得：求得：零输入响应的形式：零输入响应的形式：将将代入求出常数代入求出常数要求的零输入响应：要求的零输入响应：2.零状态响应零状态响应+-e(t)=4u(t)C=1FL=1/4HR2=3/2izs(t)R1=1等效电路：等效电路：微分方程：微分方程：由前面例子求得由前面例子求得把把e(t)=4 u(t)代入方程右端得自由项代入方程右端得自由项利用冲激函数匹配法：利用冲激函数匹配法：代入原方程：代入原方程：求得求得完全响应完全响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应零状态响应零
27、状态响应零输入响应零输入响应稳态响应稳态响应瞬态响瞬态响应应二系统响应划分二系统响应划分响应响应=暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)自由响应自由响应 强迫响应强迫响应(Natural +forced)()()tBeAtrnktkk+=1a零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应(Zero-input +Zero-state)()()tBeAeAtrnktzsknktzikkk+=11aa 也称固有响应，由系统本身特性决定，与也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。形式取决于外加激励。对
28、应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间中暂时出现的有关成分，随着时间t t 增加，它将消失。增加，它将消失。由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。响应分量。没有外加激励信号的作用，只由起始状态没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。（起始时刻系统储能）所产生的响应。不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应态等于零），由系统的外加激励信号产生的响
29、应。(1)自由响应：自由响应：(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：强迫响应：强迫响应：(3)零输入响应零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响应定义 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值非零的系统状态值 决定的初始值求出待定决定的初始值求出待定系数系数。系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值解，由状态值 为零决定的初始值求出待定为零决定的初始值求出待定系数系数。求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程
30、是比较烦琐的工作，所以引出卷积卷积积分法积分法。系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即()()-00LCiv和和()()-00LCiv和和()t 线性时不变系统线性时不变系统()th()te()th()tr零输入响应零输入响应()()()()()()()1100 011110-=+-n,krtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCkzinzinzinnzinnLL及起始状态及起始状态()=nktzikzikeAtr1 a a响应响应()()()()()()()-+-=00 0 kkkzikrrrA 因为因为确定确定可以由可以由其中：其中：微
31、分方程微分方程零状态响应零状态响应()()()()()()()()()()()1210 00 1111011110-=+=+-n,krteEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCkmmmmmmzsnzsnzsnnzsnnLLL及起始状态及起始状态()()tBeAtrnktzskzsk+=1 a a响应响应()()()确定确定由由是特解是特解其中：其中：+0 ,kzskrAtB三对系统的线性和时不变性的进一步认识三对系统的线性和时不变性的进一步认识Hr(t)=He(t)+Hx(0-)若若 xi(0-)=0 系统是线性和时不变的系统是线性和时不变的若若 xi
32、(0-)0 系统是非线性和时变的，且非因果系统是非线性和时变的，且非因果常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。e(t)x(0-)常系数线性微分方程描述的系统的线性加以扩展：常系数线性微分方程描述的系统的线性加以扩展：(1)(1)响应可分解性：响应可分解性：零输入响应零状态响应。零输入响应零状态响应。(2)(2)零零状状态态线线性性：当当起起始始状状态态为为零零时时，系系统统的的零零状状态态响响 应对于各激励信号呈线性。应对于各激励信号呈线性。(3)(3)零输
33、入线性：零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。于各起始状态呈线性。例：例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为)(te时，其全响应为时，其全响应为()()tuttrt 2sine2)(31+=-；当激励为；当激励为)(2te时，时，其全响应为其全响应为()(2sin2e)(32tuttrt+=-。求：。求：(1)(1)初始条件不变，当激励为初始条件不变，当激励为 )(0tte-时的全响应时的全响应)(3tr，0t 为为大于零的实常数。大于零的实常数。(2)(2)初始条件增大初始
34、条件增大1 1倍，当激励为倍，当激励为)(5.0te时的全响应时的全响应)(4tr。(1)(1)设零输入响应为设零输入响应为)(zitr，零状态响应为，零状态响应为)(zstr，则有，则有 )()2sin(e2)()()(3zszi1tuttrtrtrt+=+=-)()2sin(2e)(2)()(3zszi2tuttrtrtrt+=+=-解得解得)(e3)(3zitutrt-=)()2sin(e)(3zstuttrt+-=-)()()(0zszi3ttrtrtr-+=)()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt-+-+=-)(5.0)(2)(zszi4trtrtr+=()()()tuttutt2sine5.0e3233+-+=-()()tutt2sin5.0e5.53+=-