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1、5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1/11/11 在加工机件时在加工机件时在加工机件时在加工机件时,只能测得工件的直径只能测得工件的直径只能测得工件的直径只能测得工件的直径 然而我们然而我们然而我们然而我们关心的是工件的截面面积关心的是工件的截面面积关心的是工件的截面面积关心的是工件的截面面积 如果知道如果知道如果知道如果知道 的分布，问如的分布，问如的分布，问如的分布，问如何求何求何求何求 的分布的分布的分布的分布?在某电路中，电流在某电路中，电流在某电路中，电流在某电路中，电流 是一个是一个是一个是一个 当电流通过一个当电流通
2、过一个当电流通过一个当电流通过一个 的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少的电阻时，问在该电阻上消耗的功率是多少?一般地，若一般地，若一般地，若一般地，若 是是是是 是一个函数是一个函数是一个函数是一个函数,则则则则 也是也是也是也是 问怎样求问怎样求问怎样求问怎样求 的分布的分布的分布的分布5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2 2/11/11求求求求 的分布律的分布律的分布律的分布律,其中其中其中其中 的分布律的分布律的分布律的分布律为为为为且有且有且有且有
3、的所有可能的取值为的所有可能的取值为的所有可能的取值为的所有可能的取值为 即即即即 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布3 3/11/11设设设设定义定义定义定义求求求求 的分布律的分布律的分布律的分布律.的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为即即即即 的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为的密度为的密度为的密度为的密度为其它其它其它其它5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布4 4/11/11设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为
4、的密度函数为其它其它其它其它求求求求 的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数.的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为其它其它其它其它其它其它其它其它单调增加单调增加单调增加单调增加反函数反函数反函数反函数也单调增加，可导也单调增加，可导也单调增加，可导也单调增加，可导5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布5 5/11/11 设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为 又又又又 是严格是严格是严格是严格单调函数单调函数单调函数单调函数,其反函数其反函数其反函数其反函数 连续可导连续可导连续可导连续可导,则则则则的
5、密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为人物人物人物人物人物人物介绍介绍介绍介绍介绍介绍柯西柯西柯西柯西柯西柯西有意义有意义有意义有意义其它其它其它其它设设设设求求求求的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数.记记记记 则则则则 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为严格单调增严格单调增严格单调增严格单调增(或单调减或单调减或单调减或单调减)严格单调函数其反严格单调函数其反严格单调函数其反严格单调函数其反函数一定存在函数一定存在函数一定存在函数一定存在,且反且反且反且反函数也严格单调函数也严格单调函数也严格单调函数也严格单调CauchyCauchy分布分布分布分布其它其它其它其
6、它5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布6 6/11/11设设设设求求求求的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数,其中其中其中其中记记记记 则则则则 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为为常数为常数为常数为常数.5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布7 7/11/11求求求求设设设设的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度.记记记记 怎样确定其反函数怎样确定其反函数怎样确定其反函数怎样确定其反函数当当当当 时时时时 的反函数为的反函数为的反函数为的反函数为 表明表明表明
7、表明 几乎只在几乎只在几乎只在几乎只在 上取值上取值上取值上取值故故故故 的反函数存在的区域是的反函数存在的区域是的反函数存在的区域是的反函数存在的区域是其反函数为其反函数为其反函数为其反函数为记记记记 则当则当则当则当 时时时时,反函数是反函数是反函数是反函数是的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为其它其它其它其它其它其它其它其它其它其它其它其它5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布8 8/11/11求求求求设设设设的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度.的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为其它其它其它其它其它其
8、它其它其它若若若若 没有单调性没有单调性没有单调性没有单调性,有什么结论有什么结论有什么结论有什么结论5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布9 9/11/11有意义有意义有意义有意义其它其它其它其它 设设设设 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为 又函数又函数又函数又函数 在在在在互不互不互不互不相交的区间相交的区间相交的区间相交的区间 上逐段严格单调上逐段严格单调上逐段严格单调上逐段严格单调,且其反函数且其反函数且其反函数且其反函数 均连续可导均连续可导均连续可导均连续可导,则则则则 的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密
9、度函数为使得反函数有意使得反函数有意使得反函数有意使得反函数有意义的义的义的义的 有两部分有两部分有两部分有两部分5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1010/11/11设设设设求求求求的密度函数的密度函数的密度函数的密度函数.记记记记,其反函数分别为其反函数分别为其反函数分别为其反函数分别为,则则则则 在在在在 上严格单调减少，上严格单调减少，上严格单调减少，上严格单调减少，而在而在而在而在 上严格单调增加上严格单调增加上严格单调增加上严格单调增加 且且且且的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为5 5 随机变量的函数的分布随
10、机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1111/11/11小结：小结：六个常用分布：六个常用分布：(0-1)分布，二项分布分布，二项分布b(n,p)，Poisson分布分布P()均匀分布均匀分布U(a,b)，指数分布，指数分布E()，正态分布，正态分布N(,2)一个方法：一个方法：求随机变量函数的分布求随机变量函数的分布随机变量随机变量 ，分布律分布律，分布函数分布函数，密度函数密度函数；离散型离散型连续型连续型六个概念：六个概念：5 5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1212/11/11习题习题习题习题习题习题：272727、282828、292929、313131