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1、 3.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的）的联合分布为联合分布为F（x,y）,z=g(x,y)为为二维连续函数，求一维随机变量二维连续函数，求一维随机变量Z=g(X,Y)的分布的分布 3.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 设设(X,Y)为二维离散型随机变量，为二维离散型随机变量，则函数则函数 是一维离散型随机变量是一维离散型随机变量若已知若已知(X,Y)的分布律，的分布律，如何得到如何得到 的分布律的分布律?3.3 二维随机变量函数的分布
2、二维随机变量函数的分布 设（设（X X，Y Y）为二维离散型随机变量，其联合分布律为）为二维离散型随机变量，其联合分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,Z=g(X,Y)为为一一维维离离散散型型随随机机变变量量，若若对对于于不不同同(xi,yj)，函函数数值值g(xi,yj)互互不不相相同同，则则Z=g(X,Y)的的分分布律为布律为 P(Z=g(xi,yj)=pij,i,j=1,2,若若对对于于不不同同的的(xi,yj)，函函数数g(xi,yj)有有相相同同的的值值，则取相同则取相同g(xi,yj)值对应的概率要合并相加。值对应的概率要合并相加。3.3.1 二维离散型随机变
3、量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布3.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布【例】【例】设设(X，Y)的分布律为的分布律为 试求：试求：Z1=X，Z2=Y/X，Z3=minX，Y的分布律的分布律 解：解：将将(X，Y)及各个函数的取值对应列于同一表中及各个函数的取值对应列于同一表中 Y X-10110.20.10.120.100.1300.30.110-110-11Z3=minX，Y1/30-1/31/20-1/210-1Z2=Y/X333222111Z1=X(3,1)(3,0)(3,-1)(2,1)(2,0)(2,-1)(1,1)(1,0)(1,-
4、1)(X，Y)0.10.3 00.100.10.10.10.2P-103.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 P0.20.10.10.100.1 00.30.1(X，Y)(1,-1)(1,0)(1,1)(2,-1)(2,0)(2,1)(3,-1)(3,0)(3,1)Z1=X111222333Z2=Y/X-101-1/201/2-1/301/3Z3=minX，Y-101-101-101易得到下列随机变量的分布律易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并取相同值的概率给以合并)：Z1123pi0.40.20.4Z2-1-1/2-1/301/31/2
5、1pj0.20.100.40.10.10.1Z3-101pk0.30.40.33.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布,【例例】设设 ,且且 X与与Y独独立立，证证明明 证：证：取值为取值为0，1，2，Z=k是互不相容事件是互不相容事件 的和的和,考虑到独立性，对任意非负整数考虑到独立性，对任意非负整数k，有，有3.3.1 3.3.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布,即证明了即证明了 本例的结论说明，泊松分布具有可加性本例的结论说明，泊松分布具有可加性.设设(X，Y)为为二二维维连连续续型型随随机机变变量量，其其概概率率密密度度
6、为为f(x，y)，为为X，Y的的函函数数，它它也也是是连连续续型型随随机机变变量量求求Z的概率密度的一般按下面两步进行的概率密度的一般按下面两步进行:(1)求求Z的分布函数的分布函数 其中其中 (2)FZ(z)对对z求导数，得求导数，得Z的概率密度为的概率密度为3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例】【例】（和的分布）设（和的分布）设(X，Y)的概率密度为的概率密度为f(x，y)，求，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 解：解：事件事件X+Y Z所占有的区域如图，所占有的
7、区域如图，对积分对积分 作变量变换作变量变换x=u y得：得：于是于是3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 对对z求导数得求导数得由由X，Y的对称性，又有的对称性，又有:3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布设设(X，Y)的概率密度为的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度的概率密度 特别地，当特别地，当X和和Y独立时独立时,X，Y的概率密度分别为的概率密度分别为 和和 ，则上述两式可分别写成，则上述两式可分别写成 和和这两个公式称为卷积公式，记为这两个公式称为卷积公式，记为:3.3.2 3.3.2 二
8、维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例例】（正正态态分分布布的的可可加加性性）设设X和和Y都都服服从从N(0,1)且且相互独立，求相互独立，求Z=X+Y的概率密度的概率密度 解：解：由卷积公式由卷积公式令令 ，得，得 即即ZN(0，2)3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 一般地，设一般地，设X，Y相互独立，且相互独立，且 ，则，则 更更一一般般地地，可可以以证证明明，有有限限个个相相互互独独立立的的正正态态随随机变量的线性组合仍服从正态分布即机变量的线性组合仍服从正态分布即定定理理3.1（正正态态分分布布的的重重要要性性质质）若
9、若X1，X2，Xn为相互独立的随机变量，且为相互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为为n个任意常数，则个任意常数，则3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例例】设设X和和Y是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机变变量量，其其概概率率密度分别为密度分别为 求：随机变量求：随机变量Z=X+Y的概率密度的概率密度解解：因因 ,欲欲使使 ，即使即使 ，x与与z必须满足必须满足 即即 将将上上述述x与与z的的关关系系描描绘绘在在xOz平平面面上上便便是是图图中中的的阴阴影部分影部分3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的
10、分布 (1)时，由于时，由于 ，故，故(2)时，时，(3)时，时，综上所述，得到：综上所述，得到：3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例例】（最最大大值值与与最最小小值值分分布布）设设X1，X2，Xn是是相互独立的相互独立的n个随机变量个随机变量 ,若若 ，试试在在以以下下情情况况下下求求Y和和Z的的分分布布 (1)XiFi(x)，i=1，2，n (2)Xi同分布，即同分布，即XiF(x)，i=1，2，n (3)Xi为为连连续续随随机机变变量量，且且Xi同同分分布布，即即Xi的的概概率率密密度为度为f(x)，i=1，2，n3.3.2 3.3.2 二
11、维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 解：解：(1)的分布函数为的分布函数为 的分布函数为的分布函数为 3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布 (2)将将Xi共共同同的的分分布布函函数数F(x)代代入入(1)的的结结果果中中，得得 (3)Y和和Z的的分分布布函函数数仍仍为为上上述述两两式式，概概率率密密度度可可由上述两式分别对由上述两式分别对y和和z求导得到求导得到 3.3.2 3.3.2 二维连续型随机变量函数的分布二维连续型随机变量函数的分布【例】【例】设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且同服从相互独立，且同服从(0，1)上上的的均均匀匀分分布布，试试求求Z=|X Y|的的概概率率密密度度解：解：因为因为所以所以Z的概率密度为的概率密度为作业：P81 习题3.3 3、4