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1、3.2.23.2.2函数模型的应用实例函数模型的应用实例创建函数模型创建函数模型2015年全国中学数学说课大赛1.教程分析教程分析 2.学学情情分析分析 3.目标目标分析分析 4.教法学法教法学法分析分析5.教学用具教学用具 6.过程设计过程设计7.教学过程教学过程 8.板书设计板书设计9.教学反思教学反思 课题课题:创建函数模型创建函数模型一、教材分析一、教材分析 教学内容教学内容函数模型的应用实例函数模型的应用实例创建函数模型创建函数模型是人教版是人教版必修一第三章第二节必修一第三章第二节“函数模型及其应用函数模型及其应用”的第三的第三课时，主要内容是如何收集数据、根据数据建立函课时，主要
2、内容是如何收集数据、根据数据建立函数模型，解决实际问题。数模型，解决实际问题。地位与作用地位与作用 本节对函数应用的研究，是在学生学习了基本初本节对函数应用的研究，是在学生学习了基本初等函数、函数与方程的基础上进一步研究函数，其等函数、函数与方程的基础上进一步研究函数，其学习平台是学生已掌握几种函数模型、掌握不同函学习平台是学生已掌握几种函数模型、掌握不同函数图像特征等相关知识。对本节的研究，是函数学数图像特征等相关知识。对本节的研究，是函数学习的一个小结。也为以后学习三角函数的应用、高习的一个小结。也为以后学习三角函数的应用、高二学习统计知识，尤其是线性相关、回归直线的内二学习统计知识，尤其
3、是线性相关、回归直线的内容做好铺垫，具有承上启下的重要作用。容做好铺垫，具有承上启下的重要作用。二、学情分析 知识基础：高一年级学生已掌握了函数，知识基础：高一年级学生已掌握了函数，函数图像、函数增长率等有关基础知识，并函数图像、函数增长率等有关基础知识，并且在初中已接触过函数的应用。且在初中已接触过函数的应用。认知水平与能力：高一学生已初步具有抽认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。解决问题。任教班级学生特点：我班学生基础知识较任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够很好的掌握教材上扎实、思
4、维较活跃，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地应用计算机、应用数学的内容，能较好地应用计算机、应用数学GeoGebraGeoGebra软件解决问题，但实验能力、分析软件解决问题，但实验能力、分析问题、总结问题能力还有待进一步提高。问题、总结问题能力还有待进一步提高。三、目标分析三、目标分析1 1、教学目标、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：合以上学情分析，我制定了如下教学目标：知识技能知识技能 (1)(1)掌握建立函数模型的程序，能合理选择函数模掌握建立函数模型的程序，能合理选择函数模型；型；(
5、2)(2)能根据已知数据建立函数模型，解决实际问题；能根据已知数据建立函数模型，解决实际问题；(3)(3)掌握如何收集数据，利用信息技术处理复杂数掌握如何收集数据，利用信息技术处理复杂数据，建立函数模型解决实际问题。据，建立函数模型解决实际问题。数学思考数学思考(1)(1)通过对实际问题的解决过程通过对实际问题的解决过程,渗透利用渗透利用函数解决实际问题的数学方法；函数解决实际问题的数学方法；(2)(2)通过收集数据、建立函数模型、修正通过收集数据、建立函数模型、修正函数模型、应用函数模型的过程体会数函数模型、应用函数模型的过程体会数学建模的思想；学建模的思想；(3)(3)通过数学实验的过程，
6、提高学生实验通过数学实验的过程，提高学生实验能力、动手能力、合作探究的能力。能力、动手能力、合作探究的能力。解决问题解决问题 1 1、通过微课引入、小组展示解决检验已知函数模型、通过微课引入、小组展示解决检验已知函数模型和应用函数模型的问题；和应用函数模型的问题；2 2通过例通过例一一,探索已知数据，利用散点图建立函数模型探索已知数据，利用散点图建立函数模型的问题；的问题；3 3、最后通过冷却问题，使学生学习、最后通过冷却问题，使学生学习在在没有给数据、没有给数据、没有给函数模型没有给函数模型的情况下的情况下，怎样从无到有，自己收集，怎样从无到有，自己收集数据、选择、验证、应用函数模型的问题。
7、使学生体数据、选择、验证、应用函数模型的问题。使学生体会从易到难，层层递进，从特殊到一般的数学研究方会从易到难，层层递进，从特殊到一般的数学研究方法。法。情感态度情感态度结合具体模型结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来将教材知识和实际生活联系起来,使学生使学生感受数学的实用性感受数学的实用性,有效激发学习兴趣有效激发学习兴趣,并通过对牛顿冷并通过对牛顿冷却模型历史的了解却模型历史的了解,渗透数学史和数学文化。渗透数学史和数学文化。深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。广泛应用及其重要价值。通过小组展示、小组合作、
8、数学实验培养学生学习主通过小组展示、小组合作、数学实验培养学生学习主动性、语言展示、分工合作的能力。学生在不断实验、动性、语言展示、分工合作的能力。学生在不断实验、不断修正函数模型的过程中，进一步提高问题解决的不断修正函数模型的过程中，进一步提高问题解决的能力，体会百折不挠的科学精神。能力，体会百折不挠的科学精神。2、教学重点、难点 重点函数模型的拟合和应用。难点 数据收集、实验程序的建立、函数模型的检验。重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了翻转课堂的思路，通过微课，让学生在课前已经思考并部分解决了选择、验证、应用函数模型等问题！在难度的突破上采用采用著名教育家杜威先生的“以学生为中心，在
9、活动中学习”的教育思想，突出学生主体，突出学生活动，由学生展示成果，老师总结提高，再从简单到复杂、从具体到抽象，层层深入的教学策略，通过学生自主探究，分析、整理出建立函数模型的思路流程，同时，借助多媒体的直观演示，小组合作亲自动手的数学实验，帮助学生理解重点、动手训练，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。四、教学模式与教法、学法四、教学模式与教法、学法 本课采用本课采用“探究探究发现发现交流交流总结总结”教学模式。教学模式。教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导和总结。和总结。学生的学法为小组合作学习，突出探究、发现学
10、生的学法为小组合作学习，突出探究、发现与交流。与交流。五、教学用具五、教学用具 教学用具：电子白板、实物投影仪、预教学用具：电子白板、实物投影仪、预装了数学装了数学GeoGebraGeoGebra软件的笔记本电脑软件的笔记本电脑4 4人人1 1台、温度测量仪一台、铁架台、铁杯、开台、温度测量仪一台、铁架台、铁杯、开水、秒表。水、秒表。人教版高中数学必修人教版高中数学必修1 13.2.23.2.2函数模型的函数模型的应用实例应用实例(第三课时）第三课时）成都市新都香城中学成都市新都香城中学授课人：授课人：魏波魏波七、教学程序七、教学程序创设情境：创设情境：活动活动1:1:让学生了解让学生了解“姆
11、潘巴效应姆潘巴效应”活动活动2 2：一杯开水的温度降到：一杯开水的温度降到5050摄氏度时大约需要多少时间？摄氏度时大约需要多少时间？教师活动：教师活动：讲述故事、提出问题讲述故事、提出问题。学生活动学生活动：聆听故事，思考问题(一)导入新课设计目的：设计目的：（1）用实际生活引入新课,有利于提高学生学习本课的兴趣。（2）认知冲突时学习研究的起点！翻转课堂、翻转课堂、复复 习习 引引 入入 1、小组展示微课练习题结论。、小组展示微课练习题结论。2、总结讨论结果。、总结讨论结果。课前练习课前练习1：教材教材P.104练习练习第第1题题.已知已知1650年世界人口为年世界人口为5亿，当时人口的亿，
12、当时人口的年增长率为年增长率为0.3%；1970年世界人口为年世界人口为36亿，亿，当时人口的年增长率为当时人口的年增长率为2.1%。（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是界人口是1650年的两倍？什么时候世界人口是年的两倍？什么时候世界人口是1970年的年的2倍？倍？（2）实际上，）实际上，1850年以前世界人口就超过了年以前世界人口就超过了10亿；而亿；而2003年世界人口还没有达到年世界人口还没有达到72亿，你亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？对同样的模型得出的两个结果有何看法？小组展示课前成果？小组展示课前成果？课前练习课前练习2：
13、课本课本P106练习第二题练习第二题 某地区今年某地区今年1月，月，2月，月，3月患某种传染病月患某种传染病的人数分为为的人数分为为52,61,68.为了预测以后各月的患为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型病人数，甲选择了模型 ，乙选，乙选择了模型择了模型 ，其中，其中y为患病人数，为患病人数，x为月份数，为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数，结果都是常数，结果4月，月，5月，月，6月份的患病人数分别为月份的患病人数分别为74,78,83，你认为，你认为谁选择的模型较好？谁选择的模型较好？小组展示课前成果？小组展示课前成果？七、教学程序七、教学程序教师活动：微课作业第一题：1、课本P1
14、04练习第1题.微课作业第二题：2、课本P106练习第二题教师活动：活动1：首先展示提前一天要学生学习的微课预习视频，然后请学生展示完成的微课作业！活动2：在学生评价后教师总体评价学生课前作业.活动3：对如何选择好的数学模型进行小结。学生活动学生活动1：上台展示课前作业成果学生活动2：评价。学生活动3：总结如何选择恰当的数学模型。(二)翻转课堂、小组展示设计目的：设计目的：通过学生展示交流作业，达到巩固旧知，引出新知识的目的。作业第一题用来展示如何应用函数模型解决实际问题，并学习函数模型估计实际问题的误差性，作业第二题展示选择恰当模型的和重要性。培养学生自主能力、表达交流能力。新的新的 问题问
15、题 之前我们研究的是应用已知的函数之前我们研究的是应用已知的函数模型解决问题，那在没给函数模型时，模型解决问题，那在没给函数模型时，能否通过自己建立函数模型来解决问能否通过自己建立函数模型来解决问题？题？思思 考考：七、教学程序七、教学程序问题2：（二）尝试实践 探求新知 提出新的问题：请学生思考，之前我们研究的是应用已知的函数模型解决问题，那在没给函数模型时，能否通过自己建立函数模型来解决问题？教师活动：教师活动：提出新问题。提出新问题。学生活动学生活动：学生活动：思考、讨论新问题；设计目的：设计目的：升华问题、层层递进。(三)新的问题例例1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均某地区不同身
16、高的未成年男性的体重平均值如下表值如下表身高身高/cm60708090100110体重体重/kg6.137.909.9012.15 15.02 17.50身高身高/cm120130140150160170体重体重/kg20.9226.8631.1138.85 47.25 55.05怎样选择函数模型呢？怎样选择函数模型呢？利用散点图！利用散点图！例例2 某地区不同身高的未成年男性的体重某地区不同身高的未成年男性的体重平均平均值值如下表如下表身高身高/cm60708090100110体重体重/kg6.137.909.9012.15 15.02 17.50身高身高/cm120130140150160
17、170体重体重/kg20.9226.8631.1138.85 47.25 55.05y21.02x例例2 某地区不同身高的未成年男性的体重某地区不同身高的未成年男性的体重平均平均值值如下表如下表身高身高/cm60708090100110体重体重/kg6.137.909.9012.15 15.02 17.50身高身高/cm120130140150160170体重体重/kg20.9226.8631.1138.85 47.25 55.05七、教学程序七、教学程序教师活动1：根据学生情况选择提示以下问题：1）借助计算机数学GeoGebra软件，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你
18、认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？教师活动2：完整讲述本题思考过程和解题过程，并注意，本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型(此处不必十分严格）.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.此外，注意引导学生体会本例所用的数
19、学思想方法.教师活动3：小结本题。(四)探索新知、示范解决七、教学程序七、教学程序学生活动学生活动1：学生通过听老师的讲解，体会建立函数模型的步骤及注意事项。观察老师多媒体课件演示。学生活动2：评价。学生活动3：总结如何选择恰当的数学模型。设计目的：设计目的：散点图是重要的数学知识，利用散点图来建立函数模型是重要的数学方法，为以后高二学习统计知识做好铺垫。在函数模型的建立和修正过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题提出问题解决问题”的过程；通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活(四)探索新知、示范解决 通过建立函通过建立函数模型，解决实数模型，解决实际问题的基
20、本过际问题的基本过程：程：小小 结：结：收集数据收集数据画散点图画散点图选择函数模型选择函数模型求函数模型求函数模型检验检验符合实际符合实际不不符符合合实实际际用函数模型解释实际问题用函数模型解释实际问题七、教学程序七、教学程序教师教师活动1：请学生总结建立并利用函数模型解决实际问题的基本过程。通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.建立并利用函数模型解决实际问题的基本过程如下：学生活动：根据以上几道题总结建立函数模型的流程图。设计目的：设计目的：利用流程图建立“创建函数模型的方法”过程
21、，为高二学习算法程序框图打好基础。(五)阶段小结、巩固提高课课 堂堂 练习练习教材教材P.107习题习题3.2第一题第一题1、下表是弹簧伸长的长度、下表是弹簧伸长的长度X与拉力与拉力F的相关数据。的相关数据。描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。x/cm14.228.841.357.570.2F/N12345小组展示练习成果？小组展示练习成果？七、教学程序七、教学程序 活动1：教师提出课堂练习题；活动2：教师安排学生分小组探索，巡视小组情况。根据小组情况提示如下：1
22、）首先根据数据表，利用计算机画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定；活动3：教师再讲可以利用计算机数学GeoGebra软件的拟合功能直接得出解析式。活动4：学生上台展示后，请其他小组评价，最后总结评价学生活动学生活动：1：小组分工合作，利用计算机中的数学GeoGebra软件解决问题，上台展示。2：评价小组展示成果设计目的：设计目的：学以致用，通过简单练习提高学生成功感；为高二学习线性相关、回归直线的学习打好基础(六)议练活动 之前我们研究
23、的是应用已知数据、建立之前我们研究的是应用已知数据、建立函数模型、解决问题，那么面临没有数函数模型、解决问题，那么面临没有数据的问题，怎么办？据的问题，怎么办？思思 考考：先收集数据先收集数据问题又来了问题又来了七、教学程序七、教学程序活动1：提出新的问题，请同学们思考，之前我们研究的是应用已知数据、建立函数模型、解决问题，那么面临没有数据的问题，怎么办？活动2：提出研究问题，那我们师生一起来解决上课提出的问题建立冷却模型学生活动学生活动：学生思考回答：先收集数据(七)又来新问题设计目的：设计目的：体会处理数据的重要性。升华问题、层层递进。例2由浅入深，深化了建立函数模型的方法；课课 堂堂 实
24、实 验验实验：研究物体在常温环境下温实验：研究物体在常温环境下温度变化，创设冷却模型！度变化，创设冷却模型！课课 堂堂 实实 验验牛顿冷却模型牛顿冷却模型教材教材P.110 物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度为化的冷却模型。如果物体的初始温度为 ，环境温度为，环境温度为 ，则，则经过时间经过时间 t 后物体的温度后物体的温度将满足将满足 其中其中k为正的常数。为正的常数。请设计一个方案，对牛顿的冷却模型进行验证！请设计一个方案，对牛顿的冷却模型进行验证！请小组讨论如何验证？请小组讨论如何验证？七、
25、教学程序七、教学程序活动1:请学生设计冷却实验。活动2：根据学生的设计教师总结实验流程。活动3：教师安排学生分小组实验，巡视小组情况。活动4：教师安排小组展示，请其他小组评价。活动5：设计新问题、升华提高，总体评价，归纳小结。学生活动学生活动讨论：1、冷却实验怎样设计？2、怎样收集数据更加合理？学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对收集数据的时间间隔进行了讨论；思考如何求解牛顿冷却模型中的系数K；思考怎样通过已知数据验证牛顿冷却模型怎样利用函数冷却模型解决冷却问题。思考讨论如何才能使函数模型更加精确。(八）数学实验，建立冷却模型 例例2由浅入深，深化了建立函数模型的方法
26、；由浅入深，深化了建立函数模型的方法；通过现场实验，让学生体会数据收集的重要性通过现场实验，让学生体会数据收集的重要性;让学生完整的亲自操作一下用函数模型解决实际问题让学生完整的亲自操作一下用函数模型解决实际问题的完整过程，体会利用拟合函数解决实际问题的思想的完整过程，体会利用拟合函数解决实际问题的思想方法方法;体会好的模型的来之不易和优越性；体会好的模型的来之不易和优越性；培养学生的探索精神、实践精神、实验能力、合作交培养学生的探索精神、实践精神、实验能力、合作交流讨论能力等等。流讨论能力等等。通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同
27、时又服务于生活同时又服务于生活课课 堂堂 小小 结结3.注注意意培培养养利利用用计计算算机机收收集集数数据据、处处理理数数据，分析数据据，分析数据，画图的能力；，画图的能力；1.函数函数法法是刻画现实问题的重要是刻画现实问题的重要方法手段方法手段 2.掌掌握握几几种种常常见见的的刻刻画画实实际际问问题题的的重重要要函数模型函数模型，并会选择和修正模型，并会选择和修正模型.现在的时代是现在的时代是“大数据大数据”时代时代！七、教学程序七、教学程序教师活动1：请学生总结本课学习内容;教师加以补充说明教师活动2：拓展升华提高;教师活动3：现场展示如何利用搜索引擎搜索学习“牛顿冷却模型”和“大数据时代
28、”学生活动学生活动：本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，（1）回顾建立函数模型的程序和方法.（2）体会数据和分析数据的重要性（3）掌握建立函数模型的方法及简单应用。（4）了解目前“数学建模”和“大数据时代”的情况。（5）学习如何利用互联网、利用搜索引擎进行学习。(九）课堂总结设计目的：总结及反思，让学生在反思中发现问题，在反设计目的：总结及反思，让学生在反思中发现问题，在反思中提高。思中提高。通过对“数学建模”和“大数据”了解，渗透数学史和数学文化。通过学习互联网引擎使用掌握现代学习方法，了解最新数学科技发展。课课 后后 作作 业业探求下列问题：探求下列问题：1、一杯开水的温度降
29、到、一杯开水的温度降到50摄氏度时大约需要多少时间？摄氏度时大约需要多少时间？2、应在炒菜之前多少时间将冰箱里的肉拿出来解冻？、应在炒菜之前多少时间将冰箱里的肉拿出来解冻？3、在寒冬季节，是冷水管容易结冰，还是热水管容易结冰？、在寒冬季节，是冷水管容易结冰，还是热水管容易结冰？你可以做做牛奶实验，先煮沸牛奶，待到冷却后再倒入冰你可以做做牛奶实验，先煮沸牛奶，待到冷却后再倒入冰箱箱，这，这时再同时把热牛奶放进去了。看看谁先结冰？时再同时把热牛奶放进去了。看看谁先结冰？为了回答上述问题，你可以先进行模拟实验，然后上网查询有为了回答上述问题，你可以先进行模拟实验，然后上网查询有关资料，或请教有关专业
30、人士，最后与同学一起合作，完成一份关资料，或请教有关专业人士，最后与同学一起合作，完成一份实习作业报告。实习作业报告。七、教学程序七、教学程序教师活动：教师活动：学生活动学生活动：课后根据自身情况分层选择，复习巩固、升华提高。设计目的：设计目的：用实际生活引入新课。(十）课后作业设计目的：设计目的：（1）本节课主要内容在于数学模型的建立，而数学模型的应用比较少，故在课后作业提高。（2）分层布置作业，要求合作完成有利于培养学生主动性。布置实验研究题有利于培养学生科学的精神，培养新时代学习方式。七、七、板书设计板书设计八、教学反思八、教学反思（1）总体目的：笔者通过认真研究教材，教材的函数应用部分
31、中并没有数据收集的例题，但在课本的P108页课后信息技术应用中向学生展示了如何利用计算机收集数据，然后在课本的P110页展示了牛顿的冷却模型，笔者通过查询，发现牛顿的冷却模型还有一个非常有趣的故事“姆潘巴效应”，故笔者认为把这几部分融为一体，设计一个数学建模实验课很有意思。所以本堂课的主要目的就是让学生亲自做数学实验，利用计算机收集数据、分析数据、建立数学模型、应用数学模型解决实际问题。函数的应用是高一上期一个很容易被教师忽视的部分，一方面不好上，另一方面这个课不容易上好，需要准备大量的仪器和设备，而且还需要学生亲自操作、实验、实践，课堂需要极大的开放性。但是反过来想，这是高中一个非常好的展示
32、数学美，展示数学应用性的课，也是少有的数学建模课、实验课。这堂课让学生学习了数学的应用、数据的收集、处理方法，函数模型的建立、修正、应用等等。更为高二的算法、统计知识打好基础，可以培养学生数学建模能力、实验能力、合作学习能力等多方面的能力。八、教学反思八、教学反思（2）主体思路：根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。所以我大胆利用翻转课堂的思想，把容易自学的内容做成微课放在课前自学，课堂用于讨论总结、升华提高，同时在新知识的教学过程中，我采用著名教育家杜威先生的“以学生为中心，在活动中学习”的教育思想，突出学生主体，突出学生活动，设计了四个活动环节：(1)小组展示课前作业；(2)练习一的
33、小组建立函数模型；(3)动手做冷却实验，建立冷却函数模型；(4)学生课后的拓展学习，很好的让所有学生参与教学活动，在活动中主动学习。八、教学反思八、教学反思（3）主体思想：特别强调了程序思想和数形结合思想，我不仅对数学模型的建立进行程序化解读，也对其每个步骤进行合理解释，体现了程序的思想方法，由散点图选择函数模型体现了函数的数形结合思想。（4）现代教育技术：本节课充分利用了电子白板、实物投影、数学统计软件、测温仪等多种现代教育，展现了现代教育技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。（5）本课遗憾之处：由于数据的收集和处理是函数模型建立和准确性的基础，当前的世界是“大数据时代”，但由于时间关系不能展开讲解，只能走马观花，牛顿冷却模型和“姆潘巴效应”也不能展开讨论，还有函数模型的准确性如何刻画也不能展开讲述，所以如何在课后引导学生了解上述问题是一个值得研究的问题。