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1、火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去多元函数积分学及其应用第九章第九章 重积分重积分第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去引引 言言在一元函数积分学中在一元函数积分学中,我们知道定积我们知道定积分是某种确定形式的和的极限分是某种确定形式的和的极限.极限的概念推广到定义在区域、曲线及极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的
2、概念曲线积分及曲面积分的概念.这种和的这种和的将函数在这些将函数在这些区域、曲线及曲面上区域、曲线及曲面上的积分统称为的积分统称为函数在几何形体上的积分函数在几何形体上的积分.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去第一节第一节 多元函数积分的概念与性质多元函数积分的概念与性质1.物体质量的计算物体质量的计算设有一质量非均匀分布的物体，其密度设有一质量非均匀分布的物体，其密度是点是点M的函数的函数如果函数如果函数 f 已知，怎样求物体的质量呢？已知，怎样求物体的质量呢？火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立
3、断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去在定积分中，在定积分中，一根线密度为一根线密度为的细直棒的细直棒AB，它的质量可通过分割、近似、它的质量可通过分割、近似、求和、取极限求和、取极限 四个步骤化为定积分四个步骤化为定积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去平面薄板的质量平面薄板的质量 设它所占的平面区域为设它所占的平面区域为D，其密度为，其密度为在在D上连续，上连续，类似于对直棒的处理类似于对直棒的处理-“化整为零化整为零”可按如下步骤计算它的质量可按如下步骤计算它的质量.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而
4、出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去【分割】【分割】【近似】【近似】把把D任意划分为任意划分为n个子域个子域示面积）示面积）【求和】【求和】【取极限】【取极限】（也表（也表火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去薄板的质量薄板的质量细棒的质量细棒的质量均可由相同形式的和式极限来确定均可由相同形式的和式极限来确定.一般地一般地，设有一质量非均匀分布在某一，设有一质量非均匀分布在某一几何形体几何形体G上的物体上的物体(G可以是直线段、可以是直线段、平面或空间区域、一片曲面或一段曲线平面或空间区域
5、、一片曲面或一段曲线),其质量可以按照以上四个步骤来计算：其质量可以按照以上四个步骤来计算：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去把把G任意划分为任意划分为n个子域个子域示度量）示度量）（也表（也表【分割】【分割】【近似】【近似】【求和】【求和】【取极限】【取极限】上质量分布近似看作均匀上质量分布近似看作均匀火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去2.多元函数积分的概念多元函数积分的概念定义定义设设G表示一个有界的可度量几何形体，表示一个有界的可度量几何形体
6、，火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去被积函数被积函数元素元素积分域积分域被积式或被积式或积分微元积分微元积分号积分号积分和积分和火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 当当G为不同的几何形体时，对应的积为不同的几何形体时，对应的积分有不同的名称和表达式：分有不同的名称和表达式：（1）当）当G是是 x 轴上的闭区间轴上的闭区间a,b,称为称为定积分
7、定积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去（2）当）当G为平面有界闭区域（常记为为平面有界闭区域（常记为D）时，时，（3）当）当G为空间有界闭区域（常记为为空间有界闭区域（常记为 ）时，）时，称为称为二重积分二重积分称为称为三重积分三重积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去（4）当）当G为平面有限曲线段（常记为为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为或空间有限曲线段（常记为 ）时，）时，称为称为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分称为称为积分
8、路径积分路径，ds称为称为弧长元素弧长元素.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去（5）当）当G为空间有限曲面片（常记为为空间有限曲面片（常记为）时，）时，称为称为对面积的曲面积分对面积的曲面积分称为称为积分曲面积分曲面，dS称为称为曲面面积元素曲面面积元素.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例1讨论二重积分讨论二重积分的几何意义的几何意义.解解D任意划分为任意划分为n个子域个子域曲顶柱体曲顶柱体火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当
9、机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去小平顶柱体体积小平顶柱体体积高高底面积底面积小柱体体积无限累加小柱体体积无限累加得到以曲面为顶，得到以曲面为顶，区域区域D为底的为底的曲顶曲顶柱体柱体的体积的体积V.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二重积分的几何意义二重积分是曲顶柱体的体积的负值二重积分是曲顶柱体的体积的负值.当被积函数当被积函数当被积函数当被积函数其投影其投影D为底曲顶柱体的体积为底曲顶柱体的体积.二重积分是曲面二重积分是曲面火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的
10、衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去3.多元函数积分的性质多元函数积分的性质多元积分的存在性与定积分类似：多元积分的存在性与定积分类似：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质1 1（线性性质）（线性性质）火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质2（区域可加性）（区域可加性）定积分定积分二重积分二重积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质3对于二重积分来说对于二重积
11、分来说（积分区间的长度）（积分区间的长度）定积分定积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质4（比较性）（比较性）二重积分：二重积分：定积分定积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质5(估值性）估值性）定积分定积分二重积分：二重积分：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去性质性质6（积分中值定理）（积分中值定理）二重积分：二重积分：定积分定积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，
12、不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去例例2 估计积分估计积分的值的值,其中其中D 是矩形域是矩形域解解在区域在区域 D上上,由于由于有有(确定被积函数在确定被积函数在D上的最大值和最小值上的最大值和最小值)所以所以又积分区域又积分区域D的面积是的面积是由估值性质由估值性质(5)，火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 多元函数积分可看作定积分推广为多元函数积分可看作定积分推广为多元函数在不同多元函数在不同几何形体几何形体上的积分上的积分.n重积分重积分 (多元函数多元函数在在n维
13、空间中的维空间中的 有界闭区域有界闭区域上的积分上的积分)曲面积分曲面积分（多元函数在（多元函数在有限曲面片有限曲面片上的积分）上的积分）曲线积分曲线积分（多元函数在多元函数在有限曲线段有限曲线段上的积分上的积分）小小 结结火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去1.多元函数积分的定义多元函数积分的定义定积分定积分重重积积分分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去对弧长的曲线积分：对弧长的曲线积分：对面积的曲面积分：对面积的曲面积分：火灾袭来时要迅速疏散逃生
14、，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去几种几种几何形体上的积分几何形体上的积分：D闭区间闭区间a,bL(平面有界平面有界 闭区域闭区域)（平面有限平面有限 曲线段）曲线段）（有限曲面片）（有限曲面片）(空间有界空间有界 闭区域闭区域)(空间有限空间有限 曲线段曲线段)二重积分二重积分三重积分三重积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二、多元函数积分的性质二、多元函数积分的性质线性性、可加性、比较性、估值性、线性性
15、、可加性、比较性、估值性、积分中值定理积分中值定理.火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去若一个非均匀物体，其形状如上述几何若一个非均匀物体，其形状如上述几何形体形体G，其密度为，其密度为G上的函数上的函数 ，则，则在在G的元素的元素dg上，其质量应是上，其质量应是 于是该物体的总于是该物体的总质量质量为为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去问题问题质量是连续分布在空间区域质量是连续分布在空间区域 上，上，答：答：质量为质量为火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去作作 业业p.78 习题习题9-12;4.(3);(4);5.(1);(4)