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1、一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第 三三 章章主讲主讲 武忠祥武忠祥西安交大经典考题（爱情）西安交大经典考题（爱情）第一节第一节 不定积分不定积分第二节第二节 定定 积积 分分第三节第三节 定积分应用定积分应用第四节第四节 反常积分反常积分第五节第五节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程 第一节第一节 不定积分不定积分1两个概念两个概念:1）原函数：）原函数：2）不定积分：）不定积分：2基本积分公式：基本积分公式：3 3三种主要积分法三种主要积分法1 1）第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）若若 2 2）第二类换元法：）第二类换元法：3）分部积分法）分部积分法 “适
2、用两类不同函数相乘适用两类不同函数相乘”【例【例1】【解】【解】例例 题题 选选 讲讲【例【例2】【解【解1】令令则则 【解【解2】【例【例3】设设为为的原函数，且当的原函数，且当时，时，已知已知求求【解【解1】由由【解【解2】1.定义：定义：2.2.可积性：可积性：1）必要条件）必要条件：有界；有界；2）充分条件）充分条件：连续或仅有有限个第一类间断点；连续或仅有有限个第一类间断点；3.3.计算：计算：1)1)2 2）换元法）换元法3 3）分部积分法）分部积分法 4 4）利用奇偶性，周期性）利用奇偶性，周期性5 5）利用公式）利用公式第二节第二节 定定 积积 分分4 变上限积分：变上限积分：
3、上连续，则上连续，则在在上可导且上可导且变上限求导的三个类型：变上限求导的三个类型：5 5。性质：。性质：1)1)不等式：不等式：(1)若若 则则（2)若若在在上连续，则上连续，则（3)2)2)中值定理：中值定理：（1）若若在在上连续，则上连续，则（2）若若在在上连续，上连续，不变号，则不变号，则 【例【例 1】【例【例2】【例【例3】例例 题题 选选 讲讲一、定积分计算一、定积分计算【例【例4】【解【解】【例【例5】设设计算计算【解【解1】【解【解2】【例【例6】计算定积分计算定积分【解】【解】令令则则 原式原式【例【例7】已知已知连续，连续，的值的值.【解】【解】令令得得 从而有从而有令令
4、得：得：【例【例1 1】求极限求极限【解】【解】原式原式=二、与定积分有关的综合题二、与定积分有关的综合题【解】【解】令令则则则则 原式原式=【例【例2】求极限求极限原式原式【例【例3】求极限求极限【解】【解】【例【例4】求极限求极限【解】【解】原式原式【例【例5】设函数设函数连续，且连续，且求极限求极限【解】【解】原式原式=【例【例6】设设连续连续,令令1)试证曲线试证曲线在在上是凹的上是凹的.2)当当为何值时为何值时,取得最小值取得最小值.3)若若的最小值可表示为的最小值可表示为试求试求【解】【解】1)2)令令得得 又又在在取最小值取最小值.3)又又则则从而从而【例【例7】设设在在上连续上
5、连续,且且求证求证:使使【证】【证】只要证明只要证明 令令则则由罗尔定理知由罗尔定理知使使即即【例【例8】(2012,1,14)设设在在上可导上可导且满足且满足证明：存在证明：存在使使【证】【证】令令使使【例【例9】设设在在上连续，在上连续，在内可导，且内可导，且试证存在两个不同的点试证存在两个不同的点使得使得【例【例10】设函数设函数在在上有连续一阶导数，且上有连续一阶导数，且试证至少存在一点试证至少存在一点使使【证【证1】由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得 又又在在上连续，则必有其最大值上连续，则必有其最大值和最小值和最小值则则【证【证2】令令则则 由积分中值定理得，由积分中值定理得
6、，使得使得 由罗尔定理得，由罗尔定理得，使得使得【例【例11】(2009,1,19)设设试证存在试证存在使使【证【证1】由由Taylor定理得定理得由由得得【例【例12】设设在在 上具有二阶连续导数，且上具有二阶连续导数，且证明：证明：【证明】【证明】【例【例13】设设在在上可导上可导,且且求证求证:【证】【证】令令 令令【例【例14】设设在在上有连续导数上有连续导数,且且求证求证:【证】【证】一。几何应用一。几何应用;1.1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）2体积：体积：1）已知横截面面积的体积）已知横截面面积的体积 2）旋转体的体积）旋转体的
7、体积 二物理应用二物理应用1.1.压力；压力；3.3.引力。引力。2.2.变力做功；变力做功；第三节第三节 定积分应用定积分应用【例【例1】过原点作曲线过原点作曲线的切线的切线及及轴围成平面域为轴围成平面域为1）求）求的面积的面积2）求）求分别绕分别绕【解】【解】1)设过原点的切线为设过原点的切线为则则 由此得由此得2）该切线与曲线该切线与曲线旋转一周所得旋转体体积旋转一周所得旋转体体积轴和轴和【例【例2】一容器的内侧是由曲线一容器的内侧是由曲线绕绕曲面曲面,其容积为其容积为其中盛满水其中盛满水,器的顶部抽出器的顶部抽出至少需做多少功至少需做多少功?【解】【解】设容器深度为设容器深度为当当时，
8、时，当当时，时，（长度单位：（长度单位：重力加速度为重力加速度为水的密度水的密度）轴旋转而成的轴旋转而成的若将容器中的水从容若将容器中的水从容第四节第四节 反常积分反常积分1无限区间无限区间 3）若）若和和都收敛，则称都收敛，则称收敛。收敛。常用结论：常用结论：2.2.无界函数无界函数 设设为为的无界点，的无界点，常用结论：常用结论：【例【例1】计算计算 【解】解】原式原式 例例 题题 选选 讲讲 一、反常积分计算一、反常积分计算【例【例2】求证求证:并求其值并求其值.【解】【解】原式原式 【例【例1】判定反常积分判定反常积分 的敛散性的敛散性.二、反常积分敛散性判定二、反常积分敛散性判定 1
9、 1一阶方程一阶方程1）可分离变量）可分离变量2）齐次）齐次 3）线性）线性 通解：通解：2.可降阶方程可降阶方程:2)1)3)第五节第五节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程 4)Bernoulli【例【例1】求解下列一阶微分方程求解下列一阶微分方程 5)求方程求方程满足条件满足条件的特解的特解.的通解为的通解为4 4）方程）方程解解 应填应填 例例 题题 选选 讲讲【例【例2】设设连续连续,且满足且满足求求【解】【解】从而有从而有 【例【例3】设设在在上有定义，上有定义，对任意的对任意的求求【解】【解】【例【例4】设对任意设对任意曲线曲线上点上点处的切线在处的切线在轴上的截距等于轴上的截距等于求求【解】【解】令令得，得，【例【例5】设设二阶可导二阶可导,且且.过过上任意点上任意点作该曲线的切线及作该曲线的切线及上述二直线与上述二直线与轴所围三角形面积记为轴所围三角形面积记为,区间区间上以上以为曲边的曲边梯形面积记为为曲边的曲边梯形面积记为,且且轴的垂线轴的垂线,求求【解】【解】设切线方程为设切线方程为,则它与则它与轴交点为轴交点为