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1、前页前页结束结束后页后页关于多元函数积分学现在学习的是第1页，共41页前页前页结束结束后页后页 若有一个柱体，它的底是若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域平面上的闭区域D D，它的侧面是以它的侧面是以D 的边界曲线为准的边界曲线为准线，且母线平行于线，且母线平行于z轴的柱面，轴的柱面，它的顶是曲面它的顶是曲面z=f(x,y)，设设 f(x,y)0)0为为D上的连续函数上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体我们称这个柱体为曲顶柱体.引例引例1 1 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积.8.1.1 8.1.1 二重积分的概念二重积分的概念8.1 8.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质现在来
2、求这个曲顶柱体的体积现在来求这个曲顶柱体的体积.现在学习的是第2页，共41页前页前页结束结束后页后页其中其中 既表示第既表示第i个小块，也表示第个小块，也表示第i个小块的面积个小块的面积.(2)(2)近似近似 记记 为为 的直径的直径(即即 表示表示 中任意两点间距中任意两点间距离的最大值离的最大值)，在，在 中任取一中任取一点点 ,以以 为高而底为高而底为为 的平顶柱体体积为的平顶柱体体积为解解 (1)(1)分割分割 用两组曲线把区域用两组曲线把区域D D任意分割成任意分割成n个小块个小块:此为小曲顶柱体体积的近似值此为小曲顶柱体体积的近似值i现在学习的是第3页，共41页前页前页结束结束后页
3、后页(4)取极限取极限 记记 ,若极限若极限存在存在,则它即为所求曲顶柱体的体积则它即为所求曲顶柱体的体积.(3)求和求和 把所有小平顶柱体的体积加起来把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲得到曲 顶柱体体积的近似值为顶柱体体积的近似值为现在学习的是第4页，共41页前页前页结束结束后页后页1二重积分的定义二重积分的定义定义定义 设设f(x,y)是定义在闭区域是定义在闭区域D上的有界函数上的有界函数.把区域把区域 D 任意分割成任意分割成n个小区域个小区域:其其中中 表示第表示第i个小区域个小区域(i=1,2,.,n),也表示其面积也表示其面积.在每个小在每个小区域区域 上任取一点上任取一点 ,作
4、和作和若若 为为 的直径，记的直径，记 ,若极限若极限存在存在,则称为函数则称为函数 在区域在区域D D上的定积分上的定积分,记记即即现在学习的是第5页，共41页前页前页结束结束后页后页其中其中f(x,y)称为被积函数称为被积函数,称为被积表达式称为被积表达式,称为称为面积元素面积元素,x 和和y 称为积分变量称为积分变量,称为积分和称为积分和.由以上定义知由以上定义知,曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 注注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时积时积分和有惟一确定的极限分和有惟一确定的极限,极限值与极限值与D的分法和的分法和 的取法无的取法无关关
5、.区域有关而和积分变量无关区域有关而和积分变量无关.(2)(2)二重积分的值是个常数二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分其大小仅与被积函数和积分现在学习的是第6页，共41页前页前页结束结束后页后页2.2.二重积分的存在定理二重积分的存在定理 若若f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则上连续，则f(x,y)在在D D上必可积上必可积.3.3.二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：(1)若在若在D上上f(x,y)0，则，则 表示以区域表示以区域D为底，以为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在若在D上上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在，则
6、上述曲顶柱体在Oxy面的下方面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.(3)若若f(x,y)在在D的某些子区域上为正的，在的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和数和(即在即在Oxy平面之上的曲顶平面之上的曲顶 柱体体积减柱体体积减去去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积平面之下的曲顶柱体的体积).).现在学习的是第7页，共41页前页前页结束结束后页后页8.1.2 8.1.2 二重积分的性质二重积分的性质 二重积分
7、有与定积分类似的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的假设下面各性质中所涉及的函数函数f(x,y)，g(x,y)在区域在区域 D上都是可积的上都是可积的.性质性质2 2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即和的积分等于各函数积分的代数和，即性质性质1 1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即现在学习的是第8页，共41页前页前页结束结束后页后页 性质性质3 3 若若D D 可以分为两个区域可以分为两个区域D D1 1，D D2 2，则，则性质性质5
8、 5 若在积分区域若在积分区域D D上有上有f(x,y)=1)=1，则，则性质性质4 4 若在若在D上处处有上处处有f(x,y)g(x,y)，则有，则有表示表示D的面积的面积)现在学习的是第9页，共41页前页前页结束结束后页后页 性质性质7(7(二重积分中值定理二重积分中值定理)设设f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D 上连续，则在上连续，则在D上存在点上存在点 ，使，使性质性质6(6(估值定理估值定理)若在若在D D上处处有上处处有mf(x,y)M，则，则表示表示D D的面积的面积)表示表示D D的面积的面积)上式的等号右边的式子称为函数上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在在D D上
9、平均值上平均值.现在学习的是第10页，共41页前页前页结束结束后页后页例例1 1 设设D D是圆域：是圆域：，证明，证明解解 在在D上，上，的最小值的最小值m=e，最大值，最大值M=e4，而，而D的的面积面积S(D)=4=3.由估值公由估值公 式式(3)得得现在学习的是第11页，共41页前页前页结束结束后页后页8.2.1 8.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法这种计算方
10、法.在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域将区域D分割成分割成n个小块个小块 从而有从而有即即8.2 8.2 二重积分的计算二重积分的计算现在学习的是第12页，共41页前页前页结束结束后页后页 假定函数假定函数 在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续,且在且在D上上 ,1.当当D为矩形区域时为矩形区域时,a,b,c,d 为常数为常数),表示以表示以f(x,y)为顶为顶,区域区域D为底的为底的曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积V.任取任取 ,用过点用过点 x且垂直于且垂直于x 轴的平面截曲顶柱体轴的平面截曲顶柱体,则可得到则可得到
11、一曲边梯形一曲边梯形,其面积为其面积为现在学习的是第13页，共41页前页前页结束结束后页后页 于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:所以所以 同法可得到先对同法可得到先对x后对后对y 的积的积分方法分方法.这是先对这是先对y后对后对x的累次积分计的累次积分计算二重积分的方法算二重积分的方法现在学习的是第14页，共41页前页前页结束结束后页后页 例例2 计算积分计算积分 ，其中，其中D是正方形区域：是正方形区域：解解现在学习的是第15页，共41页前页前页结束结束后页后页2.当区域当区域D为为在区间在区间a,b上任取一点上任取一点x，过该点作垂直于，过该
12、点作垂直于x轴的平面轴的平面截立体，截得一曲边梯形截立体，截得一曲边梯形,其面积为其面积为S(x)，则，则于是所求的体积于是所求的体积S(x)现在学习的是第16页，共41页前页前页结束结束后页后页 在在c,d上取定一点上取定一点y，过该点作垂直于，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为若截面面积为S(y)，则，则 同样，设区域同样，设区域D由由 和和 围成围成,用不等式表示为用不等式表示为所给立体体积所给立体体积现在学习的是第17页，共41页前页前页结束结束后页后页因此因此即二重积分可以化成先对变元即二重积分可以化成先
13、对变元x 积分，后对变元积分，后对变元y 积分的积分的二次积分二次积分.也可化为先对变量也可化为先对变量y 积分，后对变量积分，后对变量x 积分的积分的二次积分二次积分 先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，按定积分的计算方法解之按定积分的计算方法解之.在上述讨论中，我们假定在上述讨论中，我们假定f(x,y)0 0，但是实际上，上，但是实际上，上述结论并不受此限制述结论并不受此限制.现在学习的是第18页，共41页前页前页结束结束后页后页先与直线相交的区域先与直线相交的区域D的边界曲线的边界曲线 作为积分下限作为积分下限 为了便于确定积分区域为了便于
14、确定积分区域D的不等式表达式，通常可以的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：采用下述步骤：(1)画出积分区域画出积分区域D的图形的图形.(2)若先对若先对y积分，且平行于积分，且平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域D的边界线的的边界线的交点不多于两点，那么确定关于交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：积分限的方法是：后与直线相交的区域后与直线相交的区域D的边界曲线的边界曲线作平行于作平行于y轴的有向直线与区域轴的有向直线与区域D相交相交作为积分上限作为积分上限.现在学习的是第19页，共41页前页前页结束结束后页后页先与有向直线相交的区域先与有向直线相交的区域D边界曲边界曲线线 作为积分
15、下限作为积分下限 而先对而先对x后对后对y积分时，其积分区间为区域积分时，其积分区间为区域D在在Oy轴轴上投影区间上投影区间c,d，对积分变量，对积分变量y,c是下限，是下限，d是上限是上限后与有向线段相交的区域后与有向线段相交的区域D D的边界曲的边界曲线线 作为积分上限作为积分上限.作平行于作平行于x轴的有向直线与区域轴的有向直线与区域D相交相交于是于是现在学习的是第20页，共41页前页前页结束结束后页后页例例1 用二重积分计算由平面用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所和三个坐标平面所围成的四面体的体积围成的四面体的体积.解解 所求体积即是以所求体积即是以 我用分加用两种
16、积分次序求这个积分。我用分加用两种积分次序求这个积分。也就是计算二重积分也就是计算二重积分z=62x3y 为顶，为顶，以以ABC围成区域围成区域D为底为底的柱体体积的柱体体积.现在学习的是第21页，共41页前页前页结束结束后页后页解法解法1 先对先对y 积分积分.作平行于作平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域D相交，得积分下限为相交，得积分下限为y=0，积分，积分上限为上限为 .x的变化范围为的变化范围为0到到3.现在学习的是第22页，共41页前页前页结束结束后页后页解法解法2 先对先对x积分积分 作平行于作平行于x轴的有向直线与区域轴的有向直线与区域D相交，得积分下限相交，得积分下限 x=0
17、，积分上限，积分上限 .y的变化范围为的变化范围为0到到2.现在学习的是第23页，共41页前页前页结束结束后页后页例例3 计算积分计算积分 ，其中，其中D是由是由y=x，y=0和和 所所围成的三角形区域围成的三角形区域.解法解法1 先对先对y积分积分.作平行于作平行于y轴的直线与积分轴的直线与积分 区域区域D相交，相交，积分下限为积分下限为y=0，积分上限为，积分上限为y=x，D在在x 轴上的投轴上的投影区间为影区间为 .现在学习的是第24页，共41页前页前页结束结束后页后页解法解法2 先对先对x积分积分.作平行于作平行于x轴的直线与积分区域轴的直线与积分区域D相交，沿相交，沿x轴轴 正向看，
18、得积分下限为正向看，得积分下限为x=y，积分上限为，积分上限为 D在在y轴上的投影区间为轴上的投影区间为 .故故现在学习的是第25页，共41页前页前页结束结束后页后页 例例4 计算积分计算积分 ，其中，其中D由由 y0确定确定.解法解法1 先对先对y 积分，积分，作平行于作平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域D相交，积分下限相交，积分下限y=0；积分上限为积分上限为 .D在在x方向变化范围方向变化范围-1-1到到1 1.现在学习的是第26页，共41页前页前页结束结束后页后页 解法解法2 先对先对x积分积分.作平行于作平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域D相交，沿着相交，沿着y轴正方向看，积分下
19、轴正方向看，积分下限为限为 ，积分上限为，积分上限为 ，因此因此现在学习的是第27页，共41页前页前页结束结束后页后页例例6 计算计算 ，其中，其中D由不等式由不等式 及及 所确定所确定.解法解法1 化为先对化为先对y 积分后对积分后对x 积分的二次积分积分的二次积分.作平行于作平行于y轴的直线与区域轴的直线与区域D相交，积分下限为相交，积分下限为 积分上积分上限为限为y=x，因此，因此x轴上的积分区间为轴上的积分区间为1,2.现在学习的是第28页，共41页前页前页结束结束后页后页解法解法2 化为先对化为先对x 积分后对积分后对y 积分的二次积分积分的二次积分.作平行于作平行于x轴的直线与积分
20、区域轴的直线与积分区域D相交，可知积分下限不是同一函数相交，可知积分下限不是同一函数,这需要这需要将积分区域分为两个子区域将积分区域分为两个子区域.在在y轴上的积分区间为轴上的积分区间为现在学习的是第29页，共41页前页前页结束结束后页后页 当当 时，平行于时，平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域D相交时，沿有向线相交时，沿有向线段的正向，积分下限为段的正向，积分下限为 ，积分上限为，积分上限为x=2.当当 时，平行于时，平行于x 轴的直线轴的直线与区域与区域D相交时相交时,沿沿x轴正方向看，积轴正方向看，积分下限分下限 x=y，积分上限为，积分上限为 x=2.y的积分区间被分成的积分区间被分
21、成 和和 .现在学习的是第30页，共41页前页前页结束结束后页后页 显然解法显然解法1较简便较简便.因此选择因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题积分的重要问题.现在学习的是第31页，共41页前页前页结束结束后页后页例例9 交换二次积分交换二次积分 的积分次序的积分次序.解解 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与与D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：转换为先对转换为先对y积分，后对积分，后对x积分，作平积分，作平行于行于y轴的直线与区域轴的直线
22、与区域D相交，得下限相交，得下限为为y=x,上限为上限为y=2x，因此，因此在在D中中 ，现在学习的是第32页，共41页前页前页结束结束后页后页例例 计算计算 ,其中其中D为为y=x-4 和和y2=2 x 所围成的区域所围成的区域 解解 先对先对x积分积分现在学习的是第33页，共41页前页前页结束结束后页后页与极角等于与极角等于 和和 的两条的两条 这个小区域近似地看作是边长为这个小区域近似地看作是边长为 和和 的小矩形，所以它的面积的小矩形，所以它的面积二、二重积分在极坐标下的计算二、二重积分在极坐标下的计算 若点若点M在直角坐标系中坐标为在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系，在极坐标
23、系中坐标为中坐标为 ，则有如下关系：，则有如下关系：设设 是由是由半径为半径为 和和 的两个圆弧的两个圆弧因此，在极坐标系中因此，在极坐标系中在极坐标系中，在极坐标系中，我们用我们用R=常数常数=常数常数来分割区域来分割区域D.射线所围成的小区域射线所围成的小区域.现在学习的是第34页，共41页前页前页结束结束后页后页于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为 这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式换公式.也可以写成也可以写成 此式区域此式区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标左端的边界的曲线方程应
24、利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.现在学习的是第35页，共41页前页前页结束结束后页后页通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况:1.若极点在区域若极点在区域D之外之外,从而有从而有即即2.极点位于区域极点位于区域D的边界上的边界上即即从而有从而有现在学习的是第36页，共41页前页前页结束结束后页后页3.极点在区域极点在区域D的内部的内部,则有则有另外另外,如图所示情况如图所示情况,即即即即D:现在学习的是第37页，共41页前页前页结束结束后页后页 对一般的二重积分对一般的二重积分,如果积分区域
25、如果积分区域D D为圆形、半圆形、圆为圆形、半圆形、圆环形、扇形域等，或被积函数中含有环形、扇形域等，或被积函数中含有f(x2+y2)的形式，利用的形式，利用极坐标常能简化积分计算极坐标常能简化积分计算.1.1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分分(1)将将 代入被积函数代入被积函数.(2)将区域将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限相应的积分限.(3)将面积元将面积元dxdy换为换为 .2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系
26、下的二重积分步骤与重积分步骤与1相似，只需依反方向进行相似，只需依反方向进行.现在学习的是第38页，共41页前页前页结束结束后页后页例例11 计算二重积分计算二重积分 区域区域D为由为由x2+y2-2y=0及及x=0围成的围成的第一象限内的区域第一象限内的区域.解解 区域区域D如图所示如图所示令令 代换，可得极坐标表达式代换，可得极坐标表达式 此时此时D可以可以表示为表示为这属于第二种类型这属于第二种类型,于是于是原式原式现在学习的是第39页，共41页前页前页结束结束后页后页 例例 计算二重积分计算二重积分 ,其中其中D由圆周由圆周 (a 为大于为大于 0 的常数的常数)所围成的闭区域所围成的闭区域.解解 积分区域如图所示积分区域如图所示,令令 得圆周方程为得圆周方程为 ,所所以积分区域以积分区域D为为 于是由极点位于区域内的积分公式于是由极点位于区域内的积分公式现在学习的是第40页，共41页前页前页结束结束后页后页感谢大家观看现在学习的是第41页，共41页