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1、第二篇 运动学引 言静力学主要研究作用在物体上力系的平衡条件物体的运动规律不仅与受力情况有关而且与物体的惯性和物体原来的运动状态有关运动学是什么？运动学是研究物体运动几何性质的科学 研究物体运动的轨迹、运动方程、速度和加速度。研究对象：点、刚体。研究物体的机械运动时，必须选另一物体作为参考体，与参考体固连的坐标系称为参考系第五章 点的运动Kinematics of a Particle知识点滴所谓点，就是将在动力学中所要讨论的质点，在运动学中称为“点”或“动点”。度量时间要区别“瞬时t”和“时间间隔t”，t=t2-t1点在空间运动所经过的路线，称为点的“轨迹”。轨迹为直线的运动称为直线运动；轨
2、迹为曲线的运动称为曲线运动。5-1 矢量法 选某点O 作为参考系的坐标原点，自O向动点作一矢量r r，r r为点相对原点O 的位置矢量，简称矢径。Description of the motion of a particle using a vector of position 矢径r r是时间的单值连续函数，即r r=r r(t)上式称为以矢量表示的点的运动方程。矢端曲线就是动点的运动轨迹。点的速度速度是矢量，动点的速度矢量等于它的矢径r r对时间的一阶导数速度的方向沿着矢径r r的矢端曲线的切线，即沿着动点运动轨迹的切线，并与此点的运动方向一致。速度矢的模表明点运动的快慢。vMrv v点的
3、加速度点的加速度也是矢量，动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于对于矢径的二阶导数。即速度和加速度常常记为：avvv”vaxzy5-2 直角坐标法建立一直角坐标系，使其坐标原点与矢径的原点O重合。vMrOkjizxyxr r=x i i+y j j+z k k 由于r r是时间的单值连续函数，所以x、y、z 也是时间的单值连续函数。Description of the motion of a particle using rectangular coordinates运动方程的解释 这些方程实际上也是点的轨迹的参数方程x=f 1(t)y=f 2(t)这是经常遇见的点在平面内运动
4、的情形。消去 t，即得轨迹方程 f(x,y)=0 x=f 1(t)y=f 2(t)z=f 3(t)用直角坐标法表示速度由于 i i、j j 和 k k 皆为恒矢量，所以有又速度矢总可写成 v=vx i i+vy j j+vz k k,因此有用直角坐标法表示加速度同理，设 a=a x i+a y j+a z k因此有加速度的大小：加速度的方向余弦：杆初始位置铅垂向上，绕 A 点顺时针转动，拨动套在固定圆环的小环。已知固定环的半径为 R，杆运动后与初始位置的夹角=t（为常量）试求小环作为点的运动方程，速度和加速度。例A3、求加速度ax=d2x/dt2=-4R2sin2t,ay=d2y/dt2=-4
5、R2cos2t例:摇杆摆动后带动滑块沿水平导槽滑动,摇杆摆动到铅垂时,滑块的位置作为初始位置，选x轴沿导槽中心线，原点与滑块的初瞬时位置重合。若滑块的初速度v0=2m/s，加速度 a=-2sin(t/2)m/s2，求滑块的运动方程。以滑块上的销钉为动点，动点沿x轴作直线运动，已知加速度Ox可求得速度即同理由得：5-3 自然法一、弧坐标M(+)(-)O在轨迹上任选一点O为参考点,设点O的某一侧为正向,s动点 M 在轨迹上的位置由弧长 s确定，s是代数量。称s为动点M在轨迹上的弧坐标。它是时间的单值连续函数，则以弧坐标表示的运动方程为 s=f(t)(+)(-)Os(+)(-)Os(+)(-)OsD
6、escription of the motion of a particle using natural coordinates二、自然轴系1自然坐标系在运动轨迹曲线的每点上曲线的切线是唯一的，现在来认识无数法线中的两条主法线和副法线。主法线副法线密切面法平面主法线副法线密切面法平面主法线副法线密切面法平面主法线副法线密切面法平面MM三、点的速度经过t 时间间隔，点沿轨迹由M 到 Mrr当t0时，|r r|=|s|弧坐标对时间的导数是一个代数量它的符号反映其沿轨迹正向还是负向运动。是切线轴的单位矢量，点的速度矢写成四、点的加速度加速度矢可以写成为加速度在自然坐标轴的投影。显然法向加速度切向加速
7、度点的加速度说明(2)若 a=恒量，则动点的运动称为曲线匀变速运动由dv=ad t积分得 v=v0+a t同理，得 s=s0+v0t+上两式虽与点的直线运动的公式完全相似，但式a a不是 a a，a a 反映点作曲线运动的运动速度大小变化。曲线匀速运动：a=0 注意：曲线运动中，除 v=0的瞬时外，点的法向加速度总不为零。直线或曲线的拐点处，法向加速度等于零。例:已知点的运动方程为x=2sin4t m，y=2cos4t m，z=4t m。求点的运动轨迹的曲率半径解：点的速度、加速度沿 x、y、z 轴的投影分别为：点的速度和全加速度的大小分别为：点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：因为：即：
8、=2.5（m)所以：半径为r的轮子沿直线纯滚（不滑动），轮转角=t(为常量）,求轮上任一点的运动方程、速度和加速度以及点运动轨迹的曲率半径。例解：取轮一点与地接触，开始时该点与直角坐标轴原点重合解：取轮一点与地接触，开始时该点与直角坐标轴原点重合弧坐标表示的 M 点运动方程：讨论：讨论：t=t=2 2 /时，点时，点M M 的速度的速度 v v=0=0，即纯滚的轮的，即纯滚的轮的“接触点接触点”速度为零；速度为零；a a x x=0=0，a a y y=r r 2 2，即，即“接触点接触点”加加速度方向向上。速度方向向上。本章小结1、观察物体的运动必须相对某一参考体。2、点的运动方程为动点在空
9、间的几何位置随时间变化的规律。r=r(t)矢量表示的点的运动方程。x=f 1(t)；y=f 2(t)；z=f 3(t)直角坐标表示的 点的运动方程 s=f(t)自然坐标直角坐标表示的点的运动方程3、轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。轨迹方程可由运动方程消去时间 t 得到。本章小结（2）4、速度和加速度的计算公式 矢量形式分量形式分量形式 （1 1）直角坐标）直角坐标 v v=v vx x i i+v vy y j j+v vz z k k a a=a ax x i i+a ay y j j+a az z k k本章小结（3）（2）自然坐标5、点的切向加速度只反映速度大小的变化，法向加速度只反映方向的变化。当点的速度与切向加速度方向相同时，点作加速运动；反之，作减速运动。本章小结（4）6、几种特殊运动的特点（1）直线运动 a n 0，（2）圆周运动 =常数（3）匀速运动 v=常数，a 0（4）匀变速运动 a =常数 v=v0+a t 本本 章章 结结 束束