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1、HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS第二篇第二篇 运运 动动 学学点的点的运动运动刚体的基本运动刚体的基本运动点的合成运动点的合成运动刚体的平面运动刚体的平面运动HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 运动学仅从几何方面来研究物体机械运动学仅从几何方面来研究物体机械运动的规律（轨迹、速度、加速度），运动的规律（轨迹、速度、加速度），即即研究物体在空间的研究物体在空间的位置随时间位置随时间的变化规律，的变化规律，而不涉及力和质量等与运动变化有关的物而不涉及力和质量等与运动变化有关的物理因素。理因素。运动学研究内容：运动
2、学研究内容：点的运动、点的运动、刚体的运动刚体的运动 物物体体的的运运动动都都是是相相对对的的，因因此此研研究究物物体的运动必须指明体的运动必须指明参考体和参考系参考体和参考系。HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS运动学的内容运动学的内容点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动点的直线运动点的直线运动点的曲线运动点的曲线运动点的合成运动点的合成运动刚体的平行移动刚体的平行移动刚体的定轴转动刚体的定轴转动刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的定点运动刚体的定点运动刚体的一般运动刚体的一般运动点的运动点的运动刚体的运动刚体的运动刚体的基本刚体的基本运动形式运动形式H
3、OHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS点的运动点的运动第五章第五章 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS轨迹或路径：轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时点在空间所占据的位置随时间连续变化而形成的曲线间连续变化而形成的曲线轨轨迹迹曲线曲线直线直线点点的的曲曲线线运运动动点的运动轨迹点的运动轨迹点的运动方程点的运动方程点的运动速度点的运动速度点的运动加速度点的运动加速度点的位移点的位移矢量法矢量法直角坐标法直角坐标法自然法自然法HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS5-1 5-1 点的
4、运动的矢量法点的运动的矢量法点的运动方程点的运动方程r动点动点 对于点对于点O的的 矢径矢径或或位置矢位置矢 矢径矢径r的矢端线是的矢端线是点的运动轨迹点的运动轨迹MrO rv 动点的速度等于它的矢动点的速度等于它的矢径对于时间的一阶导数径对于时间的一阶导数 rMv v v 动点的加速度等于它的速动点的加速度等于它的速度对于时间的一阶导数，也度对于时间的一阶导数，也等于它的矢径对于时间的二等于它的矢径对于时间的二阶导数。阶导数。单位单位HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS5-2 5-2 点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法MrOvaxyzij
5、kxyz 点的速度矢量在直角坐标轴点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。间的一阶导数。点的运动方程点的运动方程HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS 点的加速度矢量在直角坐标点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。时间的二阶导数。MrOvaxyzijkxyz点的运动的直角坐标表示法点的运动的直角坐标表示法HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS轨迹方程轨迹方程HOHAI UNIVERSITY ENGINEERI
6、NG MECHANICSyxzF1=(x、y)F2=(y、z)HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例例例 一一一一人人人人在在在在路路路路灯灯灯灯下下下下由由由由灯灯灯灯柱柱柱柱起起起起以以以以匀匀匀匀速速速速 u u 沿沿沿沿直直直直线线线线背背背背离离离离灯灯灯灯柱柱柱柱行行行行走走走走，设设设设人人人人高高高高AB=lAB=l，灯灯灯灯高高高高OL=hOL=h，试试试试求求求求头头头头顶顶顶顶影影影影子子子子MM 的速度和加速度。的速度和加速度。的速度和加速度。的速度和加速度。hOLABlMMHOHAI UNIVERSITY ENGINEERIN
7、G MECHANICS解：解：解：解：1.1.1.1.建立建立建立建立OxOx坐标轴坐标轴坐标轴坐标轴xhOLABlu txMM2.2.2.2.MM点的运动方程点的运动方程点的运动方程点的运动方程3.3.3.3.MM点的速度点的速度点的速度点的速度4.4.4.4.MM点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度uHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例例例 半半半半径径径径是是是是 r r 的的的的车车车车轮轮轮轮沿沿沿沿固固固固定定定定水水水水平平平平轨轨轨轨道道道道滚滚滚滚动动动动而而而而不不不不滑滑滑滑动动动动。轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上一一一一点点点点
8、MM，在在在在初初初初瞬瞬瞬瞬时时时时与与与与轨轨轨轨道道道道上上上上的的的的O O点点点点叠叠叠叠合合合合；在在在在任任任任意意意意t t时时时时刻刻刻刻，半半半半径径径径MCMC与与与与轨轨轨轨道道道道的的的的垂垂垂垂线线线线HCHC组组组组成成成成交交交交角角角角=t=t，其中其中其中其中 是常量。试求是常量。试求是常量。试求是常量。试求MM点的运动方程、速度和加速度。点的运动方程、速度和加速度。点的运动方程、速度和加速度。点的运动方程、速度和加速度。C CMMHHO OC CMMHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS解：为了求解：为了求M点的轨迹、
9、速度、加速度须要建点的轨迹、速度、加速度须要建立立M点的运动方程，以点的运动方程，以M点与轨道第一次接触点与轨道第一次接触的瞬时作为计算时间的起点（即在该时刻时间的瞬时作为计算时间的起点（即在该时刻时间t t=0=0）并以该瞬时轨道上与）并以该瞬时轨道上与M接触的点为坐标原接触的点为坐标原点点O，x轴为水平向右，轴为水平向右，y y轴为铅直向上，取轴为铅直向上，取M点在任一瞬时点在任一瞬时t的位置来考察，可见的位置来考察，可见M点的坐标点的坐标为为HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSMMO OABDrxx=OB-AB=OB-MD=OB-r siny=MA
10、=CB-CD=r-r cosOB=MB=rx=OB-AB=OB-MD=rt-r sinM点的轨迹曲线，旋轮线点的轨迹曲线，旋轮线或摆线或摆线OB=MB=rtHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS3.3.3.3.MM点的速度点的速度点的速度点的速度C CMMHHO OC CMMxy任意数瞬时速度任意数瞬时速度v的大小和方向的大小和方向EvEHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS4.4.4.4.MM点的加速度点的加速度点的加速度点的加速度方向方向EIHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANIC
11、S例例1：图示机构中图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两两滑块可分别沿互相垂直的两直槽滑动。已知直槽滑动。已知BA=a，AMb，t+(,为常量为常量)，求点，求点M的运动轨迹、速度和加速度。的运动轨迹、速度和加速度。BAMabOxy解：解：运动方程：运动方程：轨迹方程轨迹方程：速度速度：加速度加速度：HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSEvE例例2：半径为半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点心速度为一常量，试求轮缘上一点M的轨迹、速度和的轨迹、速度和加速度。加速度。OxyA AvAM
12、IDB解：解：以以M与地面重合与地面重合的点的点O为坐标原点，为坐标原点，建立建立xOy系，设系，设M在在O处为初时刻。处为初时刻。M点运动方程：点运动方程：M点速度点速度：EM0HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSEI例例2 2：半径为半径为R的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮的圆轮在水平面上只滚不滑，已知轮心速度为一常量，试求轮缘上一点心速度为一常量，试求轮缘上一点M M的轨迹、速度和的轨迹、速度和加速度。加速度。解：解：M点加速度点加速度：即即a沿沿MA，指向指向AOxyA AvAMHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHA
13、NICS5-3 5-3 点的运动的自然表示法点的运动的自然表示法 设设已知动点运动的轨迹曲线已知动点运动的轨迹曲线，在曲线上任选一，在曲线上任选一点点O为原点，从点为原点，从点O到动点的位置到动点的位置M量取弧长量取弧长s，并，并规定从点规定从点O向某一边量取的向某一边量取的s为正值，向另一边量取为正值，向另一边量取的为负值，则动点的位置可以由的为负值，则动点的位置可以由s完全确定。这种完全确定。这种描述运动的方法称为描述运动的方法称为自然法自然法 自然法表示的运动方程自然法表示的运动方程一、运动方程与速度一、运动方程与速度OMs(+)(-)HOHAI UNIVERSITY ENGINEERI
14、NG MECHANICS 由矢量法知，在瞬时由矢量法知，在瞬时t，速度速度v的方向沿轨迹的切线的方向沿轨迹的切线并并指向前进的方向指向前进的方向 大小：大小：（速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数）（速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数）自然法表示的点的速度自然法表示的点的速度HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS二、自然轴系二、自然轴系曲线在曲线在M点的点的曲率曲率曲线在曲线在M处的处的曲率半径曲率半径 eeneb密切面密切面法面法面MT是是切线切线e 在密切面内的法线在密切面内的法线MN称为称为主法线主法线en 垂直于密切面的法线垂直于密切面的法线
15、MB称为称为副法线副法线eb 以曲线在点以曲线在点M处的切线、处的切线、主法线和副法线为轴的一组正主法线和副法线为轴的一组正交轴系称为交轴系称为自然轴系自然轴系 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS副法线：副法线：nb法法向向平平面面密切面密切面法平面法平面：过：过M点并垂直于切线点并垂直于切线MT的平面的平面在法面内所有过在法面内所有过M点的直线都是曲线在点的直线都是曲线在M点的法线点的法线主法线主法线：在密切面内的法线：在密切面内的法线MN称为主法线。单位矢量称为主法线。单位
16、矢量n副法线副法线：过：过M点与密切面垂直的法线称副法线。单位矢量点与密切面垂直的法线称副法线。单位矢量b切线的单位矢量切线的单位矢量 自然轴系：由自然轴系：由,n,b确定的确定的正交系称为自然轴系正交系称为自然轴系 n,b 的方向随着点的方向随着点的位置而改变的位置而改变 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSnbHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS三、加速度三、加速度的方向也就是 的极限方向：沿：沿en的正方向的正方向(-)(+)HOHA
17、I UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS三、加速度三、加速度沿轨迹在点沿轨迹在点M处的切线方向，称为处的切线方向，称为切向加切向加速度速度沿主法线方向并指向曲率中心，称为沿主法线方向并指向曲率中心，称为法向法向加速度加速度 反映了速度大小的变化反映了速度大小的变化反映了速度方向的变化反映了速度方向的变化(-)(+)动点的加速度等于切向加速度与法向加速度动点的加速度等于切向加速度与法向加速度的矢量和的矢量和 HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS三、加速度三、加速度(-)(+)加速度在自然轴上的投影为加速度在自然轴上的投影为:HO
18、HAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS加速度在自然轴上的投影为加速度在自然轴上的投影为:速度的代数值速度的代数值反映加速度反映加速度大小大小的改变的改变反映加速度反映加速度方向方向的改变的改变速度速度自然法自然法HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS(-)(+)点点的的运运动动方方程程矢量法矢量法直角坐标法直角坐标法自然法自然法点的轨迹点的轨迹HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS点的运动各种研究方法运动量间的
19、关系点的运动各种研究方法运动量间的关系运动方程运动方程 速度速度 加速度加速度HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例3：已知用直角坐标表示的点的运动方程已知用直角坐标表示的点的运动方程xx（t），），yy（t），），zz（t），），试求在任一瞬时该点的切向试求在任一瞬时该点的切向加速度和法向加速度的大小及轨迹曲线的曲率半径。加速度和法向加速度的大小及轨迹曲线的曲率半径。解：解：用直角坐标法求任一瞬时的速度和加速度：用直角坐标法求任一瞬时的速度和加速度：HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSv例例4 4：半径为半径为
20、r的轮子可绕水平轴的轮子可绕水平轴O转动，轮缘上绕以转动，轮缘上绕以不能伸缩的绳索，绳的下端挂一物体不能伸缩的绳索，绳的下端挂一物体A。设物体按。设物体按 x=ct2/2 规律下落，其中规律下落，其中c为常量。求轮缘上一点为常量。求轮缘上一点M的的速度和加速度速度和加速度。AOMatanxA0M0(-)(+)s解：解：M点轨迹是半径为点轨迹是半径为r的圆。采用的圆。采用自然法求解。设物体在自然法求解。设物体在A0时，时，M点在点在M0，以，以M0为弧坐标原点。为弧坐标原点。方向如图方向如图方向如图方向如图HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSR RO O
21、R RE ED DB BC Cs sO O A A-s-s+s+s例例例例 销钉销钉销钉销钉B B可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于可沿半径等于R R的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道的固定圆弧滑道DEDE和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，和摆杆的直槽中滑动，OAOA=R R=0.1 m=0.1 m。已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角已知摆杆的转角 （时间以（时间以（时间以（时间以s s计，计，计，计，以以以以radrad计），试求销钉在计），试求销钉在计），试求销钉在计），试求销钉在t t1 1=1/4 s1/4 s和和和和t t2 2=1 s1
22、s时的加速度。时的加速度。时的加速度。时的加速度。HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS由几何关系知由几何关系知由几何关系知由几何关系知 则则则则B B点自然形式的运动方程。点自然形式的运动方程。点自然形式的运动方程。点自然形式的运动方程。显显显显然然然然销销销销钉钉钉钉B B的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹是是是是圆圆圆圆弧弧弧弧DEDE。选选选选滑滑滑滑道道道道上上上上O O 点点点点作作作作为为为为弧弧弧弧坐坐坐坐标标标标的的的的原原原原点点点点，并并并并以以以以O O D D为为为为正正正正向向向向。则则则则B B点点点点在在在在任任任任一瞬时的弧坐标一瞬
23、时的弧坐标一瞬时的弧坐标一瞬时的弧坐标解解解解：R RO O R RE ED DB BC Cs sO O A A-s-s+s+sHOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSR RO O R RE ED DB BC Cs sO O A A-s-s+s+sB B点的速度点的速度点的速度点的速度B B点的切向加速度点的切向加速度点的切向加速度点的切向加速度 法向加速度法向加速度法向加速度法向加速度HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICSr OMxvrv v5-4 5-4 点的运动的极坐标法点的运动的极坐标法ere ere rAAO
24、ere 用极坐标表示的点的运用极坐标表示的点的运动方程动方程 速度：速度：vr径向速度径向速度 v 横向速度横向速度(与与vr垂直的速度垂直的速度)HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS速度：速度：加速度：加速度：ar径向加速度径向加速度 a 横向加速度横向加速度 r OMxara aere HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS例例5:动点动点M以匀速率以匀速率v运动，而运动，而v与与M至固定点至固定点O的连线的连线MO之间的夹角之间的夹角 保持不变，试求以极坐标表示的动点的运动方保持不变，试求以极坐标表示的动点的运动方程和轨迹方程。设程和轨迹方程。设t0时，时，rr0，0。r OMxv解：解：取取Ox为极轴，设动点为极轴，设动点M的极坐标为（的极坐标为（r，）(1)(2)(2)改写成：改写成：由由(1)积分，并利用初条件得：积分，并利用初条件得：(3)积分，并利用初条件得：积分，并利用初条件得：(4)动点动点M的轨迹方程的轨迹方程:式式(3)和和(4)就是动点就是动点M的运动方程的运动方程 是一条对数螺旋线是一条对数螺旋线