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1、1运动学2 运动学是研究物体运动几何性质的科学。运动学是研究物体运动几何性质的科学。是是从从几几何学方面何学方面来研究物体的机械运动，来研究物体的机械运动，不研究物体的运动不研究物体的运动规律与力、惯性等物理因素的关系，单独研究物体运规律与力、惯性等物理因素的关系，单独研究物体运动的动的几何性质，几何性质，包括：包括：运动方程、轨迹、速度和加速运动方程、轨迹、速度和加速度等度等。 学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的由于物体
2、运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为物体称为参考体参考体，固结于参考体上的坐标系称为，固结于参考体上的坐标系称为参考参考系。系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：时间概念要明确：瞬时瞬时和和时间间隔时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：运动学所研究的力学模型为：点点和和刚体刚体。34 本章介绍三种方法（即本章介绍三种方法（即矢量法、直角坐标法矢量法、直角坐标法和和自然法自然法）研究点相对某一个参考系的几何位置随时）研究点相对某一个参考系的几何位置随时间变化的规律，包括点的运动方程、轨迹、速度和间变化的规律，包括点的运动方程、
3、轨迹、速度和加速度等。加速度等。本本 章章 内内 容容 5. 1 点的运动学描述点的运动学描述 5. 2 刚体的平移刚体的平移 5. 3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 5. 4 轮系的传动比轮系的传动比 5. 5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示点的速度和加速度51. 1. 运动方程运动方程选取参考系上某确定点选取参考系上某确定点O为坐标原点，自点为坐标原点，自点O向动点向动点M作矢量作矢量r，称为点，称为点M相对原点相对原点O的位置的位置矢量，简称矢量，简称矢径矢径。5.1 点的运动学描述点的运动学描述MrO以矢量表示以矢量表示的点的
4、运动的点的运动方程方程)(trr 当动点当动点 M 运动时，矢径运动时，矢径r 随时随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即间而变化，并且是时间的单值连续函数，即矢端曲线即为动点矢端曲线即为动点运动轨迹运动轨迹一、矢量法一、矢量法62. 2. 速度速度动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。AMBOr(t)r(t+t)Mvv*rtrtrvtddlim073. 3. 加速度加速度点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等
5、于它的矢径对时间的二阶导数。 有时为了方便，在字母上方加“.”表示该量对时间的一阶导数，加“.”表示该量对时间的二阶导数。 avr220ddddlimtrtvtvat8 如在空间任意取一点O，把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0,v1,v2，等都平行地移到点O，连接各矢量的端点M1，M2，M3，就构成了矢量v端点的连续曲线，称为速度矢端曲线，如图所示。动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行。 速度矢端曲线速度矢端曲线OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向确定加速度的方向确定9 由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合，所以矢径r可表示为： 则动点M在任意瞬时的空间位置，既可用相
6、对于O的矢径r表示，这组方程叫做用直角坐标表示的点的运动方程。二、二、 直角坐标法直角坐标法123( )( )( )xf tyf tzf tMrkijyxzOyxz有一动点M。也可用它的三个直角坐标表示。也是点运动轨迹的参数方程1. 1. 运动方程运动方程 取一固定的直角坐标系Oxyz，kzj yi xr10 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。2. 速度若已知速度的投影，则速度的大小为222zyxvvvv其方向余弦为txvxddtyvyddtzvzddktzjtyitxtrvddddddddkvjvivzyxkzj yi xrvzkvvyjvvxiv),cos( ,)
7、,cos( ,),cos(11 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。3. 加速度若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222zyxaaaazyx 其方向也可确定22ddddtytvayy22ddddtztvazz22ddddtxtvaxxktvjtvitvtvazyxddddddddkajaiazyxkvjvivvzyx12解：解： 以以O为坐标圆点，建立如图为坐标圆点，建立如图坐标系。坐标系。M点的坐标为：点的坐标为：sinsinxOMOAr 将将 =w w t带入上式，得带入上式，得M点的点的运动方程运动方程：sinxrtw将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：
8、将上式对时间求一阶导数和二阶导数得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww BABOKMKwxx例例1 如图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄如图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构。设曲柄 OA 长为长为r ，自水平位置开始以匀角速度自水平位置开始以匀角速度w w 转动，即转动，即 =w wt，滑槽，滑槽K-K与导杆与导杆B-B制成一体。曲柄端点制成一体。曲柄端点A通过滑块在滑槽通过滑块在滑槽K-K中滑动，因而曲中滑动，因而曲柄带动导杆柄带动导杆B-B作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和作上下直线运动。试求导杆的运动方程，速度和加速度。加速度。13例例2 一人高一
9、人高 h2 ，在路灯下以匀速，在路灯下以匀速v1行走，灯距地面行走，灯距地面的高为的高为h1 ，求人影的顶端，求人影的顶端M沿地面移动的速度。沿地面移动的速度。解解: 取坐标轴取坐标轴Ox如图所示，由几何关系得如图所示，由几何关系得:上式对上式对t求一阶导数，得求一阶导数，得 M 点的速度为点的速度为:221xxxhhMM2121hhxhxM12112211ddddvhhhtxhhhtxvMMh1h2xmx2MxO14)(tfs 这就是点沿轨迹的运动方程或以弧坐标表示的点的运动方程。三、三、自然法自然法1. 1. 弧坐标弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线，则动点M在轨迹上的位置可以这样确定
10、：在轨迹上任选一点O为参考点，并设点O的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定，视弧长s为代数量，称它为动点M在轨迹上的弧坐标。当动点M运动时，s随着时间变化，它是时间的单值连续函数，即 MOs(-)(+)15 在运动轨迹上取极为接近的点M和M1，切线的单位矢量分别为和1，指向与弧坐标正向一致。将1平移到点M，则 和1决定一平面。令M无限趋近点M1，则此平面趋近于某一极限位置，此极限平面称为曲线在点M的密切面。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，法平面与密切面的交线称主法线。令主法线的单位矢量为n，指向曲线内凹一侧。过点M且垂直于切线及主法线的直线称副法线，其单位矢量为b，指向与 、n
11、构成右手系。2. 自然轴系 16 以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系，这三个轴称为自然轴。且三个单位矢量满足右手法则，即曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值称为曲线在M点的曲率。曲率的倒数称为M点的曲率半径。曲率曲率nbsssdd1lim017由左图知：由左图知：2sin2 100垂直，且有垂直，且有与与，时时当当s 又因为s为正时，点沿切向的正方向运动，指向轨迹内凹一侧；反之则相反。于是有n 则19nnsssss1limlimdd00183 点的速度 tststrvttddlimlim00用矢量表示为： 在曲线运动中，点的速度是矢量。它的大
12、小等于弧坐标对于时间的一阶导数，它的方向沿轨迹的切线，并指向运动的一方。srt0时，有时，有当当vdtdsv194 点的切向加速度和法向加速度 由于所以nvvntsst1ddddddtvtv vttvaddddddddnaaaantnt法向加速度切向加速度，va tva2ntdd=其中17nvtva2dd20 上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：切向加速度at反映速度代数值对时间的变化率，反映速度大小的变化，它的方向沿轨迹的切线方向；法向加速度an反映速度方向改变的快慢程度，它的方向沿主法线的方向，指向曲率中心。naaaantntnvtva2dd21全加速度为at和an的矢量和22tnaa
13、a大小：大小：方向：方向：tn|tanaantaaa22200t12ssv ta tttddacva t 了解上述关系后，容易得到曲线运动的运动规律。例如所谓曲线匀速运动，即动点速度的代数值保持不变。0ssvt 如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动点的运动称为曲线匀变速运动。现在来求它的运动规律。 tavvt023例例3 3 下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R16cm，料斗沿铅垂，料斗沿铅垂提升的运动方程为提升的运动方程为y2t2，y以以cm记，记，t 以
14、以s计。求卷筒边缘一点计。求卷筒边缘一点M在在t4s时的速度和加速度。时的速度和加速度。解：解：此时此时M点的点的切向加速度切向加速度为：为：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s当当t=4 s时时速度速度为：为：M点的点的法向加速度法向加速度为：为：OMRMA0AM0yatan attsv4dd22s/cm16Rvan24M点的全加速度为：点的全加速度为：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aaOMRMA0AM0yatan a25例例4 列车沿曲线轨道行驶，初速度列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度，速度均匀增加，行驶均匀
15、增加，行驶s=1km后，速度增加到后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图若铁轨曲线形状如图1-17所示。在所示。在M1、M2点的曲率点的曲率半径分别为半径分别为1=600m, 2=800m 。求列车从。求列车从M1到到M2所所需的时间和经过需的时间和经过M1和和M2处的加速度。处的加速度。M1M2v1v1at2解：解：20021tatvssttavvt02222122s/m1 . 0100025152svvatat1（1）求从）求从M1到到M2所需时间所需时间261an1a1(2)求列车经过求列车经过M1和和M2时的时的法向加速度法向加速度：(3)求列车经过求列车经过M1时的时的
16、全加速度全加速度：s1001 . 051512tavvt221222s/m281. 060015vana2an2M1M2v1v1at2at1221211s/m042. 06005van2222121s/m108. 0042. 01 . 0ntaaa（4）求列车经过）求列车经过M2时的时的全加速度全加速度：2222222s/m293. 0281. 01 . 0ntaaa4 .6715 .192227 例例5 杆杆AB绕绕A点转动时，带动套在半径为点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的的固定大圆环上的小护环小护环M 运动，已知运动，已知t (为常数为常数)。求小环。求小环M 的运动方程、的运动
17、方程、速度和加速度。速度和加速度。解：解：建立如图所示的直角坐标系。则建立如图所示的直角坐标系。则即为小环即为小环M 的运动方程。的运动方程。2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOxy228故故M点的速度大小为点的速度大小为wRvvvyx222其方向余弦为其方向余弦为cos( , )cos2xvvv icos( , )sin2yvv v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故故M点的加速度大小为点的加速度大小为2224wRaaayx且有且有2222444()4xyxywwww
18、 aijijrABMOxy2vxvyva29MMRo例例6 半径为半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚无滑动地滚动动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，。设轮子保持在同一竖直平面内运动， ，试，试分析轮子边缘一点分析轮子边缘一点M的运动。的运动。tw30此处有影片播放此处有影片播放31解：解：取坐标系取坐标系Axy如图所示，并设如图所示，并设M 点所在的一点所在的一个最低位置为原点个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为点坐标为)cos1 (cosROMOCy这是旋轮线的参数方程。这是旋轮线的参数方程。oRCAxyMM点的速度
19、和加速度为：点的速度和加速度为：jtRitRj yi xv)sin()cos1 (wwww-当当M点与地面接触，即点与地面接触，即 时，时，M点速度等于零。点速度等于零。k2jtRitRj yi xa)cos()sin(22wwww )sin(sinROMACx32如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平移。5.2 刚体的平移刚体的平移33摆式输送机的料槽（曲线平移）直线行驶的列车车厢（直线平移）34yxzaBvBvAaArArBABB1B2A2A1O结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也
20、相同。因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。平行移动刚体内各点的速度和加速度BArrBABAvvBAaa35 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动，简称转动。该固定不动的直线称为转轴。5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动3637固定平面A与动平面B间的夹角称为刚体的转角。转角是一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度(rad)表示。 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负符号规定：自z轴的正端看去，1.转角和转动方程转角是时间t的单值连续函数，即( )f t这就是刚体绕定轴转动的运动方程。一、转动方程、
21、角速度和角加速度一、转动方程、角速度和角加速度38转角对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:ddtw 角速度表征刚体转动的快慢和方向，是代数量，其单位为rad/s 。2. 角速度和角加速度（1）角速度 逆时针为正逆时针为正 顺时针为负顺时针为负符号规定：自z轴的正端看去，39角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母a表示，即22ddddttww角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量,单位为rad/s2 。如果w与同号，则转动是加速的；如果w与异号，则转动是减速的。（2）角加速度40 工程上常用转速n来表示刚体转动的快慢。n的单位是转/分(r/min)， 与n的转换关
22、系为20.16030nnnw（1）匀速转动(w =常数)（2）匀变速转动(=常数)特殊情形：t+=0200021tttwww41 刚体作定轴转动时，其内各点在与轴垂直的平面内作圆周运动，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离。sR动点速度的大小为ddddsvRRttw转动刚体上各点的速度和加速度转动刚体上各点的速度和加速度如图设任一点由O运动到M。以固定点O为弧坐标s的原点，按角的正向规定弧坐标s的正向，于是1.速度 w w , 对整个刚体刚体而言(各点都一样)； v, a 对刚体中某个点点而言(各点不一样)。42即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向
23、沿圆周的切线而指向转动的一方。ddddsvRRttw43tddd()dddvaRRRtttww（1）切向加速度为：即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，指向角的正向；否则相反。2.加速度44222n()vRaRRww（2）法向加速度为：即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。45如果w与同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度at与速度v的指向相同；如果w与异号，刚体作减速
24、转动， at与v的指向相反。这两种情况如图所示atat46 (1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角 都有相同的值。点的全加速度为：2224tnt2ntanaaaRaaww47例例5.1 齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知r1、 r2、 1、 a1，求2、 a2 。 解：因啮合点无相对滑动，所以tt1212,vvaa由于由于111222tt111222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww1
25、1r1O1O2r2w22v1v2at1at248 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为42 tdtdw222dtd求当t=1s时，则为rad/s2w2rad/s2因此轮缘上任一点M的速度和加速度为m/s4 . 0wRv2m/s4 . 0Rat22m/s8 . 0wRanARMOvana方向如图所示。 例5.2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为 ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。tt4249 M点的全加速度及其偏角为ARMOanaa22222m/s894.
26、 0)8 . 0()4 . 0(ntaaa43265 . 02arctgarctgw如图如图。 现在求物体A的速度和加速度。因为MAss 上式两边求一阶及二阶导数，则得MAvv tMAaa因此m/s4 . 0Av2m/s4 . 0Aa50例例5.35.3 在刮风期间，风车的角加速度 ，其中转角 以rad计。若初瞬时 ，其叶片半径为0.75m 。试求叶片转过两圈（ ）时其顶端 P 点的速度。 P解：2rad/s 2 . 0rad/s6 , 000wrad 4wwwwddddddddttww2 . 0ddwwww40d 2 . 0d 02022)4(2 . 0wwrad/s22. 8 wm/s17
27、. 6 wrv51主动轮与从动轮角速度之比称为传动比，记为i12。5.4 轮系的传动比轮系的传动比齿轮传动（外啮合）齿轮传动（内啮合）52带轮传动531) 齿轮传动121221RiRww即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故121221zizww即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。因为两个齿轮啮合圆之间无相对滑动故故 vA=vB所以542) 带轮传动因因 vA=vB121221rirww故55例例5.4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为分别为Z1=10，Z2=6
28、0，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱求减速箱的总减速比的总减速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.解：解：求传动比：求传动比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z则有：则有：1313300086 / min34.8nnri13n142n3n2561.角速度和角加速度的矢量表示kktt ddddw角速度和角加速度可用矢量表示，按右手螺旋法则规定 ， 的方向。|dd|:|t=大小k 则角速度矢量可写成角加速度矢量可写成5.5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度k572. 刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示|sinrrRvr
29、v即，任一点的速度矢可以用角速度矢与该点矢径的矢量积表示。(1) 速度矢 角速度矢量和角加速度矢量均为滑移矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。O且 矢积 的方向与 的方向相同rwv58tsin| aRrrvantrrttrtvaddddd)(ddd(2) 加速度矢vrrat|90sin|n2aRvvo而即：任一点的切向加速度等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的法向加速度等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。 59 例例1 1试画出图中刚体上MN两点在图示位置时的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO aNaMvNvMvMvNtManMatNanNa60