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1、6 立体的截断与相贯立体的截断与相贯 n平面体、曲面体截交线的形成原理及作图的基平面体、曲面体截交线的形成原理及作图的基本方法。本方法。n平面体和平面体相贯的类型、空间分析以及求平面体和平面体相贯的类型、空间分析以及求相贯线的方法、步骤。相贯线的方法、步骤。n平面体和曲面体相贯的类型、空间分析以及求平面体和曲面体相贯的类型、空间分析以及求相贯线的方法、步骤。相贯线的方法、步骤。n曲面体和曲面体相贯的类型、空间分析以及求曲面体和曲面体相贯的类型、空间分析以及求相贯线的方法、步骤。相贯线的方法、步骤。n建筑形体中同坡屋面的作图。建筑形体中同坡屋面的作图。本章主要内容本章主要内容本本 章章 内内 容
2、容6.1 平面体的截交线平面体的截交线 6.2 曲面体的截交线曲面体的截交线 6.3 两平面体相贯两平面体相贯 6.4 同坡屋面交线同坡屋面交线6.5 曲面体曲面体6.1 平面体的截交线 n平面立体的截交线平面立体的截交线，是由平面立体被平面切割，是由平面立体被平面切割后所形成。后所形成。如图如图6.1所示所示 图6.1 体的截断 n求平面立体的截交线求平面立体的截交线，应先求出立体上各棱线，应先求出立体上各棱线与截平面的交点，为了清楚起见，通常把这些与截平面的交点，为了清楚起见，通常把这些交点加以编号，然后将同一侧面上的两交点用交点加以编号，然后将同一侧面上的两交点用直线段连接起来，即为所求
3、的截交线。直线段连接起来，即为所求的截交线。n立体被截断后，截去的部分如要在投影图中绘立体被截断后，截去的部分如要在投影图中绘出，应用出，应用双点长画线双点长画线表示。立体的截交线在投表示。立体的截交线在投影图中如影图中如可见则用实线可见则用实线表示，反之为表示，反之为虚线虚线，作，作图时一定要注意判别截交线的可见性。图时一定要注意判别截交线的可见性。例例6.1 已知正四棱柱被一正垂面已知正四棱柱被一正垂面P所截断，求作截交线所截断，求作截交线的投影，的投影，如图如图6.2所示所示。解解 求截交线求截交线如图如图6.3所示所示图6.2 四棱柱被截断已知条件 图6.3 作正四棱柱的截交线 例例6
4、.2 已知三棱锥被一正垂面已知三棱锥被一正垂面Q所切割，求作截交线的所切割，求作截交线的投影，投影，如图如图6.4所示所示。解解 求截交线求截交线如图如图6.5所示所示图6.4 三棱锥被截断已知条件 图6.5 作三棱锥的截交线 例例6.3 已知三棱锥被两个平面截断，作出其截交线的投已知三棱锥被两个平面截断，作出其截交线的投影，影，如图如图6.6所示所示。解解 求截交线求截交线如图如图6.7所示所示图6.6 三棱锥被两平面截断已知条件 图6.7 截头三棱锥的截交线 6.2 曲面体的截交线 n曲面立体的截交线曲面立体的截交线，一般是封闭的平面曲线，一般是封闭的平面曲线，有时是曲线和直线组成的平面图
5、形，有时是曲线和直线组成的平面图形，如图如图6.8所示所示。n截交线上的点截交线上的点一定是截平面与曲面体的公共一定是截平面与曲面体的公共点，只要求得这些公共点，将同面投影依次点，只要求得这些公共点，将同面投影依次相连即得截交线。相连即得截交线。n当截平面切割圆柱体和圆锥体时当截平面切割圆柱体和圆锥体时，圆柱体的，圆柱体的截交线出现圆、椭圆、矩形三种情况，截交线出现圆、椭圆、矩形三种情况，如表如表6.1所示所示。n当截平面与圆锥体轴线的相对位置不同时当截平面与圆锥体轴线的相对位置不同时，圆，圆锥体的截交线出现圆、椭圆、抛物线、双曲线、锥体的截交线出现圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形五种情况，三
6、角形五种情况，如表如表6.2所示所示。n当截平面切割圆球体时当截平面切割圆球体时，无论截平面与圆球体，无论截平面与圆球体的相对位置如何，截交线的形状都是圆，的相对位置如何，截交线的形状都是圆，如图如图6.8所示所示。n当截平面平行某一投影面时当截平面平行某一投影面时，截交线在投影面，截交线在投影面上的投影，反映圆的实形；上的投影，反映圆的实形；当截平面倾斜某一当截平面倾斜某一投影面时投影面时，截交线在投影面上的投影为椭圆。，截交线在投影面上的投影为椭圆。图6.8 曲面立体截交线的形状 表6.1 圆柱体截交线 截平面垂直轴线 截平面倾斜轴线 截平面平行轴线 截交线为圆 截交线为椭圆 截交线为矩形
7、 表6.2 圆锥体截交线 截平面垂直圆锥轴线 截交线为圆 截平面与圆锥上所有素线相交 截交线为椭圆 截平面平行于一素线 截交线为抛物线 截平面平行圆锥上的两素线 截交线为双曲线 截平面通过圆锥锥顶 截交线为三角形 例例6.4已知正圆柱体被正垂面已知正圆柱体被正垂面P切割，求截交线的投影，切割，求截交线的投影，如图如图6.9(a)所示。所示。解解图6.9 正圆柱体被切割 n图图6.10是工程上常见木屋架端节点下弦杆的截是工程上常见木屋架端节点下弦杆的截口，该截口是由两个正垂面截割圆柱而成，截口，该截口是由两个正垂面截割圆柱而成，截交线是两个部分椭圆。交线是两个部分椭圆。图6.10 下弦杆的截口
8、n如图如图6.11在在W面投影中，截交线椭圆的投影将面投影中，截交线椭圆的投影将随着截平面与水平线的夹角而变化。随着截平面与水平线的夹角而变化。图6.11 截交线椭圆与夹角的关系例例6.5 已知正圆锥体被正垂面已知正圆锥体被正垂面P切割，求截交线的投影，切割，求截交线的投影，如图如图6.12(a)所示所示。解解图6.12 正圆锥被切割 例例6.6已知正圆锥体被正平面已知正圆锥体被正平面Q切割，求其截交线的投切割，求其截交线的投影，影，如图如图6.13(a)所示所示。解解图6.13 正圆锥体被切割 n图图6.14(a)是圆锥体被三个平面切割，截交线由是圆锥体被三个平面切割，截交线由三段组成，第一
9、个截平面截圆锥为圆，第二个三段组成，第一个截平面截圆锥为圆，第二个截平面截圆锥为双曲线，第三个截平面截圆锥截平面截圆锥为双曲线，第三个截平面截圆锥为椭圆，截交线的为椭圆，截交线的V面投影均已知，故据圆锥面投影均已知，故据圆锥体表面求点的方法，可求得截交线的体表面求点的方法，可求得截交线的H、W面面投影，投影，如图如图6.14(b)所示所示。图6.14 三个平面截圆锥 6.3 两平面体相贯 n两个相交的立体，称为两个相交的立体，称为相贯体相贯体，两立体表面的，两立体表面的交线称为交线称为相贯线相贯线。n全贯全贯如如图图6.15(a)所示。所示。互贯互贯如如图图6.15(b)所示。所示。n相贯线上
10、的每一条直线，都是两个平面立体相相贯线上的每一条直线，都是两个平面立体相交棱面的交线，相贯线的转折点，必为一立体交棱面的交线，相贯线的转折点，必为一立体的棱线与另一立体棱面或棱线的交点，即的棱线与另一立体棱面或棱线的交点，即贯穿贯穿点。点。n求两个平面立体的相贯线的方法可归纳为：求两个平面立体的相贯线的方法可归纳为：(1)求出各个平面立体的有关棱线与另一个立体的求出各个平面立体的有关棱线与另一个立体的贯穿点贯穿点(2)将位于两立体各自的同一棱面上的贯穿点将位于两立体各自的同一棱面上的贯穿点(相贯点相贯点)依依次相连，即为次相连，即为相贯线相贯线。(3)判别相贯线各段的判别相贯线各段的可见性可见
11、性。(4)如果相贯的两立体中有一个是侧棱垂直于投影面的棱如果相贯的两立体中有一个是侧棱垂直于投影面的棱柱体，且相贯线全部位于该棱柱体的侧面上，则相贯柱体，且相贯线全部位于该棱柱体的侧面上，则相贯线的一个投影必为已知，故可由另一立体表面上按照线的一个投影必为已知，故可由另一立体表面上按照求点和直线未知投影的方法，求作出相贯线的其余投求点和直线未知投影的方法，求作出相贯线的其余投影。影。图6.15 两平面立体相贯 例例6.7求作四棱柱与三棱柱的相贯线，求作四棱柱与三棱柱的相贯线，如图如图6.16所示所示。解解 投影图与直观图投影图与直观图如图如图6.17所示所示图6.16 四棱柱与三棱柱相贯已知条
12、件 图6.17 四棱柱与三棱柱相贯 例例6.8求烟囱与屋面的相贯线。求烟囱与屋面的相贯线。如图如图6.18所示所示。解解 求垂直于求垂直于H面的四棱柱面的四棱柱(烟囱烟囱)与垂直于与垂直于W面的三棱面的三棱柱柱(屋顶屋顶)的相贯线，的相贯线，如图如图6.19(a)。若没有给出相交两立体的若没有给出相交两立体的W面投影时，可利用在立面投影时，可利用在立体上定点加辅助线的方法求得相贯线，体上定点加辅助线的方法求得相贯线，如图如图6.20所所示示。图6.18 求烟囱与屋面相贯线已知条件 图6.19 烟囱与屋面的相贯线作法一 图6.20 烟囱与屋面相贯线作法二 例例6.9 求作四棱柱体与四棱锥体的相贯
13、线，求作四棱柱体与四棱锥体的相贯线，如图如图6.21所所示示。解解 辅助平面法辅助平面法如图如图6.22所示所示。辅助直线法辅助直线法如图如图6.23所示所示。图6.21 求四棱柱体与四棱锥体相贯线已知条件 图6.22 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法一 图6.23 四棱柱体与四棱锥体的相贯线作法二 6.4 同坡屋面交线 n坡屋面的交线坡屋面的交线是两平面立体相贯在房屋建筑中是两平面立体相贯在房屋建筑中常见的一种实例。在一般情况下，屋顶檐口的常见的一种实例。在一般情况下，屋顶檐口的高度在同一水平面上，各个坡面与水平面的倾高度在同一水平面上，各个坡面与水平面的倾角相等，所以称为同坡屋面，如图角相等
14、，所以称为同坡屋面，如图6.24所示。所示。n作同坡屋面的投影图作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影，可根据同坡屋面的投影特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水特点，直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得平面的倾角求得V面投影以及面投影以及W面投影。面投影。图6.24 同坡屋面的投影 例例6.10 已知同坡屋面的倾角已知同坡屋面的倾角=30檐口线的檐口线的H面投影，面投影，求屋面交线的求屋面交线的H面投影及面投影及V面投影，面投影，如图如图6.25(a)所示所示。解解 如图如图6.25所示所示 图6.25 同坡屋面的交线 例例6.11 已知同坡屋面的倾角是已知同坡屋面的倾角是3
15、0及檐口线的及檐口线的H面投影，面投影，如图如图6.26(a)所示所示。求屋面交线的。求屋面交线的H面投影和屋面投影和屋顶的顶的V面、面、W面投影图。面投影图。解解 如图如图6.26所示所示 图6.26 同坡屋面的投影图 6.5 曲面体的相贯线 n平面体与曲面体相贯，平面体与曲面体相贯，相贯线是由若干平面曲相贯线是由若干平面曲线或平面曲线和直线所线或平面曲线和直线所组成。如图组成。如图6.27是建筑上是建筑上常见构件柱梁楼板连接常见构件柱梁楼板连接的直观图的直观图。6.5.1 平面体与曲面体相贯平面体与曲面体相贯 图6.27 方梁与圆柱相贯直观图 例例6.12 求方梁与圆柱的相贯线。求方梁与圆
16、柱的相贯线。如图如图6.28所示所示。解解 具体作图步聚，具体作图步聚，如图如图6.29所示所示 图6.28 方梁与圆柱相贯已知条件 图6.29 方梁与圆柱相贯投影图 例例6.13已知坡屋顶上装有一圆柱形烟囱，求其交线，已知坡屋顶上装有一圆柱形烟囱，求其交线，如图如图6.30所示所示。解解 具体作图步聚，具体作图步聚，如图如图6.31所示所示 若没有给出若没有给出W面投影，面投影，如图如图6.32所示所示。图6.30 坡屋顶上装一圆柱形烟囱已知条件 图6.31 坡屋顶上装圆柱形烟囱作法一 图6.32 坡屋顶上装圆柱形烟囱作法二 例例6.14 已知圆锥薄壳基础的轮廓线，求其相贯线，已知圆锥薄壳基
17、础的轮廓线，求其相贯线，如如图图6.33所示所示。解解 具体作图步聚，具体作图步聚，如图如图6.34所示所示 图6.33 求圆锥薄壳基础相贯线已知条件图6.34 圆锥薄壳基础相贯线 6.5.2 曲面体与曲面体相贯曲面体与曲面体相贯 n两曲面体相贯，其相贯线一般是封闭的空间曲两曲面体相贯，其相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为封闭的平面曲线，线，特殊情况下为封闭的平面曲线，如图如图6.35所示所示。n两曲面立体的相贯线，两曲面立体的相贯线，是两曲面立体的共有线，是两曲面立体的共有线，可以通过求一些共有点后连线而成。可以通过求一些共有点后连线而成。n圆柱的投影在该垂直面上具有圆柱的投影在该垂直
18、面上具有积聚性积聚性。图6.35 两曲面立体表面的相贯线 n求相贯线的作图步骤：求相贯线的作图步骤：(1)分析：分析：分析两立体之间以及它们与投影面分析两立体之间以及它们与投影面的相对位置，确定相贯线形状。的相对位置，确定相贯线形状。(2)求点求点：利用立体表面的积聚性直接求解。利用立体表面的积聚性直接求解。利用辅助平面法求解。利用辅助平面法求解。(3)连线连线：依次光滑连接各共有点，并判别相依次光滑连接各共有点，并判别相贯线的可见性。贯线的可见性。6.5.2.1 直接利用积聚性法求解 例例6.15 两异径圆柱相交，求其相贯线，两异径圆柱相交，求其相贯线，如图如图6.36所示所示。解解 具体作
19、图步聚，具体作图步聚，如图如图6.37所示所示 求两异径圆柱相交的相贯线，也可用辅助平面法求两异径圆柱相交的相贯线，也可用辅助平面法求解。求解。如图如图6.38所示所示图6.36 求两异径圆柱相贯已知条件 图6.37 两异径圆柱相贯作法一 图6.38 两异径圆柱相贯的简化画法（作法二）例例6.16 求圆拱形屋顶的相贯线，求圆拱形屋顶的相贯线，如图如图6.39所示所示。解解 具体作图步聚，具体作图步聚，如图如图6.40所示所示 图6.39 求圆拱形屋顶相贯线已知条件 图6.40 圆拱形屋顶的相贯线 6.5.2.2 利用辅助平面法求解 例例6.17已知圆柱体与圆锥体相交，求其相贯线。已知圆柱体与圆
20、锥体相交，求其相贯线。如图如图6.41所示所示。解解 具体作图步聚，具体作图步聚，如图如图6.42所示所示 图6.41 求圆柱体与圆锥体相 贯已知条件 图6.42 圆柱体与圆锥体相贯 如图如图6.36所示，求两异径圆柱相贯，也可以应用辅所示，求两异径圆柱相贯，也可以应用辅助平面法，具体作图步骤助平面法，具体作图步骤如图如图6.43所示所示。图6.43 两异径圆柱相贯作法三 6.5.2.3 两曲面体相贯的特殊情况 在一般情况下，两曲面体的交线为空间曲线，在一般情况下，两曲面体的交线为空间曲线，但在下列情况下，可能是平面曲线或直线。但在下列情况下，可能是平面曲线或直线。(1)当当两曲面体相贯具有公
21、共的内切球两曲面体相贯具有公共的内切球时，其时，其相贯线为椭圆。相贯线为椭圆。(2)当当两曲面体相贯轴线平行或相交两曲面体相贯轴线平行或相交时，其相时，其相贯线为直线。贯线为直线。(3)当当两曲面体相贯且同轴两曲面体相贯且同轴时，相贯线为垂直时，相贯线为垂直于该轴的圆。于该轴的圆。具体情况见具体情况见表表6.3。表6.3 相贯线的特殊情况 情况 投影图 直观图 两等径圆柱相交，相贯线是平面曲线(椭圆垂直面)当圆柱与圆锥相交，具有公共内切球时，相贯线是平面曲线 情况 投影图 直观图 轴线平行的两圆柱相交，相贯线为二平行素线 两圆锥共一顶点相交，相贯线为过锥顶的二素线 情况 投影图 直观图 圆柱与
22、圆球同轴相贯，相贯线为圆 圆锥与圆球同轴相贯，相贯线为圆 6.5.2.4 贯通孔 n凡是一立体被另一立体贯穿后的空洞部分称为凡是一立体被另一立体贯穿后的空洞部分称为贯通孔。贯通孔。n贯通孔线的作图，可归结为相贯线的作图，与贯通孔线的作图，可归结为相贯线的作图，与相贯体不同的是贯通孔应画出其孔内不可见的相贯体不同的是贯通孔应画出其孔内不可见的虚线投影。虚线投影。n图图6.44所示所示为一个正四棱锥被一个正四棱柱贯为一个正四棱锥被一个正四棱柱贯穿后所形成的贯通孔。穿后所形成的贯通孔。n图图6.45所示所示为一个水平圆柱被一个垂直圆柱体为一个水平圆柱被一个垂直圆柱体贯穿后所形成的贯通孔贯穿后所形成的贯通孔。n图图6.46所示所示为一个正圆锥被一个水平圆柱体贯为一个正圆锥被一个水平圆柱体贯穿后形成的贯通孔穿后形成的贯通孔 图6.44 四棱锥被四棱柱贯穿 图6.45 水平圆柱被垂直圆柱贯穿 图6.46 正圆锥被水平圆柱贯穿