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1、第五章截交第五章截交线和相和相贯线平面体与平面体平面体与曲面体曲面体与曲面体多形体相交2.相贯的形式相贯线相贯线 平面体的截交线平面体的截交线1.1.平面截割体的形成过程平面截割体的形成过程 截交线截交线 截平面与物体表面的交线截平面与物体表面的交线 截平面截平面 用以截割物体的平面用以截割物体的平面 截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形成的平面因截平面的截切，在物体上形成的平面截平面关键：截交线的分析和作图关键：截交线的分析和作图！截断面截交线确定投影形状确定投影形状2.2.平面体截交线的性质及投影分析平面体截交线的性质及投影分析 截交线是一个封闭的平面多边形，边数取决于截到的棱面数。截
2、交线的每条边是截平面与棱面的交线 截断面的投影形状取决于以下两点：1.截平面与基本体的相对位置2.截平面与投影面的相对位置确定截交线的确定截交线的空间几何形状空间几何形状返回返回截平面的位置对截交线空间形状的影响3.3.平面截割体的画图与读图平面截割体的画图与读图求平面与平面体的截交线的方法：棱面法求截平面与棱面的交线 棱线法求截平面与棱线的交点截交线的作图步骤：分析被截切形体的原形 分析截平面的位置 分析截交线的形状，按投影规律作出截交线的投影 分析形体被截切后的轮廓线情况，擦除被截掉部分的轮廓线，并将不可见部分的轮廓线改为虚线。例题一例题一 求三棱锥被截切后的三视图擦除多余作图线后的结果例
3、题二例题二:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。Pv1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 1 13 32 28 87 76 65 54 4擦除多余作图线后的结果例题三例题三:补绘歇山屋面的H面投影。QvPv1 1(3(3)2 2 2 21 13 3SvRv擦除多余作图线后的结果例题四例题四:求木榫头的俯视图。PwQwRv1 1 2 2 1 1 2 2 6 6 3 3 3 3 6 6 4 4 5 5 5 5 4 4 5 54 46 63 31 12 2擦除多余作图线后的结果例题五例题五:求四棱柱缺口的其它二投影
4、。PvQv Rv1 1 2 2(5(5)3 3(4(4)1 14 45 53 32 25 54 43 32 21 16 6 7 7(10(10)8 8(9(9)10106 67 78 89 96()10()()9()8()76 6 7 7 1010 8 8 9 9 擦除多余作图线后的结果例题六例题六:补绘四棱锥台切口体的H面投影。QvPvRv1 1(2(2)2 2 1 1 2 21 1YwXwTw3 3(4(4)3 3 4 4 3 34 4擦除多余作图线后的结果 曲面体的截交线曲面体的截交线1.1.曲面体截交线的特点曲面体截交线的特点 由于任何曲面体都有一定范围，所以其截交线一般为一条封闭 的
5、的平面曲线，当截平面通过直 纹曲面体的素线时，截交线是 由直线组成的封闭线框。截交线的形状取决于曲面体的 形状及与截平面的相对位置。截交线是截平面与曲面体表面 的共有点的连线。平面曲线椭圆一段平面曲线加一段直线直线段围成的矩形P PPP2.2.曲面截割体的画图与读图曲面截割体的画图与读图求平面与曲面体的截交线的方法：素线法 纬圆法 辅助平面法截交线的作图步骤：分析截交线的形状，预见截交线的投影特征。抓住特殊点，补充中间点。抓住特殊点，补充中间点。将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。这三种方法，目的都是求出截平面与曲面体表面的共有点，光滑连接各点，进而求得截交线。3.3.圆柱体的截切圆柱
6、体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。截平面位 置截交线形 状 投 影 图 及 立 体 图P PP PP P垂直于圆柱轴线垂直于圆柱轴线圆圆倾斜于圆柱轴线倾斜于圆柱轴线椭圆椭圆平行于圆柱轴线平行于圆柱轴线矩形矩形 例一例一 已知圆柱和截平面P的投影求截交线的投影 光滑连接 找特殊点 找一般位置点(素线法)Pv1 1 1 11 1 2 2 2 22 2 3 3(4 4)4 43 33 3 4 4 5 5(6 6)6 65 55 5 6 6 7 7(8 8)8 87 77 7 8 8 长轴短轴擦除多余作图线后的结果45 =45椭圆的投影成为一个与圆椭圆的投影成为一
7、个与圆柱底圆相等的圆柱底圆相等的圆 45椭圆长轴的投影边为其投椭圆长轴的投影边为其投影的短轴影的短轴 45椭圆长轴的投影仍为其投椭圆长轴的投影仍为其投影的长轴影的长轴 小结：截交线椭圆在平行于圆柱小结：截交线椭圆在平行于圆柱轴线但不垂直于截平面上的投影，一轴线但不垂直于截平面上的投影，一般仍为椭圆。椭圆长、短轴在该投影面上的投影，般仍为椭圆。椭圆长、短轴在该投影面上的投影，与截平面和圆柱轴线的夹角与截平面和圆柱轴线的夹角有关。有关。例二例二 补全带缺口圆柱被R面截断后的H面投影Rv 光滑连接 找特殊点 找一般位置点(素线法）1 1 1 11 1 2 2(3 3)3 3 2 2 3 32 24
8、4(5 5)5 5 4 4 5 54 46 6(7 7)7 7 6 6 7 76 6擦除多余作图线后的结果 例三例三 求带切口圆柱筒的W面投影擦除多余作图线后的结果 例四例四：求左视图擦除多余作图线后的结果虚实分界点虚实分界点 例五例五：补绘W投影45圆心擦除多余作图线后的结果 例六例六：补绘W投影擦除多余作图线后的结果4.4.圆锥体的截切圆锥体的截切截平面截平面 位位 置置截交线截交线 形形 状状投投影影图图及及立立体体图图 垂直于圆锥轴线 与锥面上所有素线相交 平行于圆锥面上一条素线通过锥顶 平行于圆锥面上两条素线圆圆椭圆椭圆抛物线抛物线双曲线双曲线两条素线两条素线PVPVPVPVPV例一
9、例一:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线的空间形状截交线的空间形状？截交线的投影特性截交线的投影特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另一根轴如何找椭圆另一根轴的端点？的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影 擦除多余作图线后的结果例二例二:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。PVQV擦除多余作图线后的结果例三例三:求圆锥被截切后的截交线，并完成三视图。PVQV擦除多余作图线后的结果5.5.球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影
10、面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。例一例一：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交线的投影，在左视图上为线的投影，在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。聚为直线。擦除多余作图线后的结果相贯线的主要性质相贯线的主要性质相贯线作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。共有性 表面性相贯线位于两立体的表面上（外
11、表面或内表面）。相贯线是两立体表面的共有线。封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。空间性相贯线一般是空间曲线，有时也为平面曲线或直线平面立体和曲面立体的相贯线平面立体和曲面立体的相贯线 例一例一：求出三棱柱与三棱锥相贯线的H面投影PVQV投影分析投影分析 从正面和侧面投影看出，三棱柱的三条棱线都穿过棱锥，所以两立体是全贯的。其交线是两条封闭折线。前面一条是空间折线，是三棱柱与三棱锥的前面两个棱面的交线；后面一条是平面折线，是三棱柱与三棱锥后棱面的交线。作图步骤作图步骤 1.先求三棱柱的水平棱面对三棱锥各棱面的交线。通过三棱柱上棱面作水平面P，P面与三棱锥各个棱面的
12、交线分别与三棱锥的底面三角形的三条边平行。作图步骤作图步骤 2.求三棱柱左右两个侧面与三棱锥的交线。作图步骤作图步骤 3.连线。注意判别交线的可见性。擦除多余作图线后的结果 例二例二：求出门斗与屋面交线的H面投影擦除多余作图线后的结果 例三例三：作出四棱柱与三棱锥的相贯线擦除多余作图线后的结果 例四例四：作出门斗、烟囱与屋面相交的相贯线擦除多余作图线后的结果 例五例五：作出六棱台与坡屋面交线的H、V投影擦除多余作图线后的结果 例一例一：作出四棱柱与圆锥交线的投影擦除多余作图线后的结果 例二例二：作出四棱柱与圆锥面交线的投影擦除多余作图线后的结果 例三例三：作出四棱柱与圆柱面交线的投影擦除多余作
13、图线后的结果 例四例四：作出圆柱与斜屋面交线的投影擦除多余作图线后的结果两回转体表面相交两回转体表面相交 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。求相贯线的实质就是相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。求相贯线的实质就是求两曲面立体表面的共有点。求两曲面立体表面的共有点。作图方法作图方法 利用投影的积聚性直接表面取点。利用投影的积聚性直接表面取点。用辅助平面法。用辅助平面法。先找特殊点。先找特殊点。作图过程作图过程 补充中间点。补充中间
14、点。判断可见性并光滑连接。判断可见性并光滑连接。确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围 空间及投影分析：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H H面，水平投影积聚为圆，根据面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于圆柱轴线垂直于W W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。侧面投影在该圆上。例例 已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。已知正交两圆柱的三面投影，求作它们相贯线的投影。求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用积聚性，
15、采用表面取点法。利用积聚性，采用表面取点法。找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接一、表面取点法一、表面取点法两圆柱相贯的三种形式两圆柱相贯的三种形式例：求作四分之一圆柱与圆台的相贯线的投影。例：求作四分之一圆柱与圆台的相贯线的投影。yy1 1当同轴回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆当同轴回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况2 2两个轴线相互平行的柱面相交，相贯线是两条平行于轴线的直线。两个轴线相互平行的柱面相交，相贯线是两条平行于轴线的直线。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况3 3两共顶的锥面相交，相贯线是过锥顶的一对相交直线。两共顶的锥面相交，相贯线是过锥顶的一对相交直线。4.4.具有公共内切球的两回转体相交，相贯线为两相交椭圆。具有公共内切球的两回转体相交，相贯线为两相交椭圆。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况相贯线的特殊情况立体图例相贯线的特殊情况立体图例由三个或三个以上立体相交形成的交线称为组合相贯线。由三个或三个以上立体相交形成的交线称为组合相贯线。四、组合相贯线四、组合相贯线例例 完成组合相贯线的正面投影及侧面投影yy