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1、第二章第二章一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式2.22.2基本不等式（共基本不等式（共2 2课时）课时）（第（第1 1课时）课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第二章第二节基 本不 等式第 1 课时。从内 容上 看学 生原 有知 识的 掌握 情况为：初中 的勾股定 理知 识及 三角 形相似 的知 识、圆的 相关知 识，会用 作差 比较法 证明 简单 的不等 式，所 以在 学法 上要 指导 学生：从代 数与 几何 的角 度理 解基本 不等 式。引导学 生学 会观 察几 何图形，进行几 何与 代数的 结合 运用，培养数学 结合 的思 想观点，发 展学 生数
2、 学抽象、直 观想 象、逻辑推 理等 数学 核心 素养。课程目标学科素养A.推导并掌握基本不等式，理解这个a.数学抽象：将问题转化为基本不等式；基本不等式的几何意义，并掌握定理中b.逻辑推理：通过图形，分析法与综合法的不等号“”取等号的条件是：当且等证明基本不等式；仅当两个数相等；c.数学运算：准确熟练运用基本不等式；B.通过实例探究抽象基本不等式；通d.直观想象：运用图像解释基本不等式；过多媒体体会基本不等式abab2e.数学建模：将问题转化为基本不等式解决；等号成立条件,进一步掌握基本不等式；C.积极倡导同学们进行几何与代数的结合运用，发现各种事物之间的普遍联系.1.教学重点：从不同角度探
3、索不等式ab 函数的最值；2.教学难点：基本不等式abab等号成立条件；2ab的证明过程，会用此不等式求某些简单2多媒体教学过程（一一）、情情景景导导学学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。教学设计意图核心素养目标通过介绍第 24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，生观察分析，发现欢迎来自世界各地的数学家们。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系思考 1：这图案中含有怎样的几何图形？思考 2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？（二）
4、（二）、探索新知、探索新知1探究图形中的不等关系图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中有 4 个全教育。长为 a,b（ab）,22那么正方形的边长为a b这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为等的直角三角形设直角三角形的两条直角边b ba aa b22通过图形得到了重要不等式的几何解释，为了更准确地感知和理解，再从数学的逻辑方面给出证明，由于 4 个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，22我们就得到了一个不等式：a b 2ab当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时
5、，正方形 EFGH 缩为一个点，22这时有a b 2ab（通过几何画板演示当 a=b 时的图像）不仅培养了学生2得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数 a,b，我们有a b 2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立。22严谨的数学态度，而且还可以从中学习到分析法证3思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：明的大体过程，培22因为a b 2ab a b2养和发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，增强数形结合的思想意a b 0，a b 2ab222当且仅当 a=b 时等号成立4（1）基本不等式：如果a0,b0,我们用a、b分别代识。abab（a0,b0)（当且仅当a=b时，取等号）等式2a
6、 b5.基本不等式：（1）在数学中，我们称为a、b的算术2替 a、b，可得a b 2 ab，通常我们把上式写作：基本不平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。（2 2）从不等式的性质推导基本不等式如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。ababa 0,b 0用分析法证明：证明不等式2abab证明：要证2只要证a b 2 ab只要证ab2 ab 02只要证a b 0,显然，是成立的当且仅当 a=b 时，（3）中的等号成立a bab的几（3 3）理解基本不等式2何意义探究：探究：你能利用这个图形得
7、出基本不等从不同的侧面理解不等式，培养ab式ab 的几何解释吗？2在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD(1)AB 表示什么?(2)a b表示哪个线段？(3)ab对应哪个线段呢？2（4）OD 与 CD 的大小关系如何？易证tADtDB，那么D2AB 即Dab.这个圆的半径为a b，显然，它大于或等于CD，即2a bab，其中当且仅当点C与圆心重合，即ab时，2等号成立.因此：基本不等式ab 弦弦”【归纳总结】221、由赵爽弦图我们得到了重要不等式：a b 2abab几何意义是“半径不小于半半径不小于半2(1)通过
8、换元我们得到了基本不等式：a bab2（2）两个不等式的区别和联系：区别：a,b 范围不同;联系:等号成立的条件相同（3 3）从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系（三）典例解析（三）典例解析利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值学生数形结合的思想意识。；通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生明确运用基本不等式的（）已知1a0,b0,ab36,求a b的最小值。解析：abab2ab2 ab三个关键步骤；一2 3612(当且仅当ab6时取等）正、二定、三相等，发展严谨细致的思考习惯，训练思（2）已知a0,b0,a b18
9、,求ab的最大值。解析：abab2ab,ab()22(当且仅当ab9时取等）故ab的最大值为81基本不等式的使用条件基本不等式的使用条件18()2281维的灵活性。例2、（）已知1x0,求函数f(x)解:f(x)x1x(x)(1即xx1)xx1的最小值x1)x22(x)(当且仅当x1时有最小值2（2）已知x3,函数yx1x3,当x为何值时，函数有最值，并求其最值。解析：x3y11x(x-3)32(x3)35x3x-3x31当且仅当x3最小值为5。,即x4时，函数有最小值，x31（3）若0 x1,求函数y21 ,2x(1 2x)的最大值。解解:0 x1 2x0yx(1 2x)12x(1 2x)2
10、122x(1 2x)2218当且仅当当且仅当 2 2x x=(1-2=(1-2x x),),即即x当当x1时时,取“取“=”号”号.41时时,函数函数y y=x x(1-2(1-2x x)的最大值是的最大值是.43,求函数y4x(32x)的最大值。2跟踪训练1.设0 x33-2x022x 32x29y2 2x(3 2x)2()2233当且仅当2x32x即x（0，）时取等42解：0 x2.函数f(x)x221x22能否用基本不等式求最小值？由基本不等式知 x22当且仅当 x2211x222x221x222x22能的，故此函数不能用基本不等式求最小值。即x221时取等，而这是不可三、达标检测1下列
11、不等式中，正确的是()4Aa 4Ba2b24abaC.abab23 Dx222 3x通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，感悟其中蕴解析：选 D.a0，则a 4 不成立，故 A 错；a1，b1，4aa2b24ab，故 B 错，a4，b16，则ab错；由基本不等式可知 D 项正确2若a1，则a1的最小值是()a1ab2，故 C2aA2 Ba C.D3a1解析：选 D.a1，所以a10，11所以aa112a1a13.当且仅当a11即a2 时取等号a1含的数学思想，增1（a1）1a1强学生的逻辑推理和数学运算素养。b4a3若a，b都是正数，则1 1的最小值为()abA7 B
12、8 C9 D10解析：选 C.因为a，b都是正数，所以b4ab4a115 52abab当且仅当b2a0 时取等号b4a9，ab194 已知x0，y0，且 1，则xy的最小值为_xyy9x19解析：xy(xy)10 xyxy102y9x10616.xy即x4，y12 时等号成立，所以xy的最小值为 16.四、小结本节课，我们学习了重要不等式a2b22ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（a b），几何平均数（ab）2a b及它们的关系（ab）.它们成立的条件不同，前者2只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它
13、们的应用).五、作业1.习题 2.2 1,2,4,5 题2.预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；2.2.22.2.2基本不等式（第基本不等式（第2 2课时）课时）本节 课是 人教 版普 通高中 课程 标准 实验 教科书 数学 必修 1 第二章第 二节基 本不 等式 第 2 课时。从内容 上看 是对基 本不 等式 在实 际问题 中应 用的 学习，通 过问 题解 决，发展 学生 数学 抽象、数学 运算、数学 建模、逻辑 推理 等数学核 心素 养。在 学法 上要 指导 学生：从实 际问 题中 列出 数量 关系式，进而 运用基本 不等 式
14、解 应用 题，数学建 模能 力也 是本节 要体 现的 重要 素养。对例 题的 处理可 让学 生先 思考，然后师生 共同 对解 题思路 进行 概括 总结，使学生更 深刻 地领会 和掌 握解 应用 题的方 法和 步骤。课程目标A.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题；B.围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中学科素养a.数学抽象：在实际问题中抽象出不等式；b.逻辑推理：运用基本不等式求最值的条件；心。例题的安排从易到难、从简单到复c.数学运算：灵活运用基本不等式求最值；杂，适应学生的认知水平；d.直观想象：运用图像解释基本不等式；C.进一步培养学生学习数学、应用数学e.数
15、学建模：将问题转化为基本不等式解的意识以及思维的创新性和深刻性.1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件多媒体决；教学过程（一一）、小小试试牛牛刀刀1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)教学设计意图核心素养目标通 过 课 堂 小(1)对任意的a，bR R，若a与b的和为定值，则ab有最大测，了解学生对基值()(2)若xy4，则xy的最小值为 4.()(3)函数f(x)x22的最小值为 2 21.()x21本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。通过解题培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养。通过简单的应用性问题，让学生答案：（
16、1）（2）（3）112已知xy1 且x0，y0，则 的最小值是()xyA2B3 C4 D611xy11解析：法一：4，xyxyxyxy221当且仅当xy 时取等号，211xyxyyx1法二：2 4，当且仅当xy 时xyxyxy2取等号答案：C（二）（二）、探索新知、探索新知体会在实际问题问题 1.用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多中运用基本不等少？式的步骤。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则xy 100,篱笆的长为 2（x y）m由x yxy，2可得x y 2 100，2（
17、x y）40等号当且仅当x y时成立，此时 x y 10，因此，这个矩形的长、宽为 10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为 40m结论结论 1 1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两问题 2.用段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则 2（x y）=36，x y=18，矩形菜园的面积为xym2，x y18 9,由xy 22可得xy 81,可得等号当且仅当x y时成立，此时 x y 9因此，这个矩形的长、宽都为 9 m 时，菜园的面积
18、最大，最2大面积为 81m通过典型例题结论结论 2 2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两解析，发展学生数学抽象和数学建变量值相等时取最值变量值相等时取最值.简记“和定积最大”简记“和定积最大”.模的核心素养。；（三）典例解析（三）典例解析均值不等式在实际问题中的应用均值不等式在实际问题中的应用例 1、某工厂要建造一个长方形无盖3贮水池，其容积为 4800m,深为 3m。如果池底每平方米的造价为 150元，池壁每平方米的造价为120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可
19、转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。解：设底面的长为x m,宽为y m,水池总造价为z元，根据题意，有变量值相等时取最值变量值相等时取最值.简记“积定和最小”简记“积定和最小”.z 1504800120(23x 23y)240000720(x y)3由容积为 4800m3,可得3xy 4800 xy 1600由基本不等式与不等式性质，可得240000720(x y)2400007202 xy即z 2400007202 1600，z 297600可得等号当且仅当x y时成立，此时 x y 40所以,将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600
20、 元跟踪训练 1.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3 000m2，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为 2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S平方米域)；(2)怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？解析(1)由已知xy3 000,2a6y，3 000则y(6x500)，通过典型例题的解析和跟踪练习，让学生总结归纳，运用基本不等(1)分别写出用x表示y和S的函数关系式(写出函数定义式解决应用问题的基本步骤。xS(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)5)(y6
21、)3 0306x(2)S3 0306x15 000y62(xx(6x0,b0,a+b=1,所以 1+=1+11+11=2+,同理 1+=2+,11故(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)5+4=5+4=9.所时,等号成立)跟踪训练 1.已知：a，b，cR，求证：c.以(1+)(1+)9(当且仅当=2111bccaabababcbcca证明：由基本不等式：2abcaababbc同理：2a，2b.bcccbcca2c，abbccaab三式相加即得：abcabc(当且仅当abc时取“”)【归纳总结】利用不等式利用不等式a a2 2b b2 22 2abab和和a ab b2 2abab(a
22、 a0 0，b b0)0)时，关键是对式子恰当地变形，时，关键是对式子恰当地变形，合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用合理造成“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用三、达标检测1已知正数a、b满足ab10，则ab的最小值是()A。10 B25 C5 D2 10解析ab2ab2 10，等号在ab 10时成立，选 D2小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aavab BvabCabvab22 Dvab2通过练习巩固本节所学知识，提高学生运用基本不等式解决问题的能力，增强学生的解析设从甲地到乙地的路程为s，则2ab2abvabss11
23、ab2ab2sababa0，vaabab数学抽象和数学运算素养。av0,b0,c0,且a+b+c=1,求证:+9.111证明:因为a0,b0,c0,且a+b+c=1,所以+=(+)(a+b+c)111111=3+(+)+(+)+(+)3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=3时,等号成立.故+9.四、小结生学生根据课堂学习，自主总结1.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函知识要点，及运用数表达式,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值的思想方法。注意总结自己在学习2.利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：先建目标函中的易错点；数，再用基本不等式求函数的最值，从而得出实际问题的解。五、作业1.课时练2.预习下节课内容1111