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1、基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、教学分析设计一、教学分析设计【教材分析】【教材分析】人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修 5 的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材 不等式选讲中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本
2、不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。考试说明中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在考试说明中属于 C及内容（含义：对该知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；有关技
3、能已经形成，能用它来解决简单的有关问题）。【学生分析】【学生分析】从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的能力。【目标分析】【目标分析】结果性目标：结果性目标：1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式；2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形；3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。体验性目标：体验性目标：1、在解决实际问题的过
4、程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题；2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。重点：创设基本不等式使用的条件。难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。【核心问题分析】【核心问题分析】核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地进行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求进行数据设计：问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景
5、观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？问题3：设文化长廊为 ABCD，现在长廊 ABCD 的左下角点 E 处有颗古树，且点 E 距左边 AB 和下边 AD 的 D 距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E 建造一直线型的景观带 FG，使得 FG 左下角的AFG 面积越小越好，应怎样设计？二、教学实施设计二、教学实施设计【教学环节】【教学环节】环教学过程节知识回顾：问题：在两个正数 a,b 中插入一个数 c，使得 a,c,b依次成等差数列，则 c=;在在两个正数 a,b 中插入一个正数 d，使得 a,d,b 依次成等比数列，提
6、则 c=。出数学赏析：问请说出它的几何解释。题1、创设问题情境，提出核心问题创设问题情境，提出核心问题核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地进行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中好准备。学生活动。出核心问题。究活动做核心问题，调动创设问题情景，提极参与探性，明确本节课任务，为积决的问题的重要明确学习明确本节课要解教师活动学生活动设计意图间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求进行数据设计：问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？问题2
7、：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？问题3：设文化长廊为 ABCD，现在长廊 ABCD的左下角点 E 处有颗古树，且点 E 距左边 AB 和下边AD 的 D 距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树 E 建造一直线型的景观带FG，使得 FG 左下角的AFG 面积越小越好，应怎样设计？1、个体活动巡视、引导、帮助评价预设：要求每个学生独立解决问题，学生经历独学生对问题的解读立思考的过程有利于充分暴露其思维过程，教师在巡 与解决并收集学生 学生尝试解决问题的方案和 解决问题，让学生
8、思考解决2、小组讨论决探究结果。之后教 并小组讨问题的方案，体评价预设：四人一组，相互交流各自在解决策略，教 师再从情感、知识、问论交流，然会数学美。题 师巡视收集不同的策略。方法的角度进行评 后进行展3、代表展示、交流分享价，拓展，引导学 示分享。解 视中做必要的个体提示。评价预设：学生讲解基本到位，思路清晰，目标明确。生产生问题与方法反1、基本不等式的几个重要的变形：思的关联。教师引导学生归纳 体验感受让学生通过解决解决问题的思维过 解决问题问题的体验，领a2 b222a b 2ab ab(a,b R),程，掌握此类题型 过程中的悟数学的思想方提（1）2当且仅当 a b时“=”号成立；升知
9、识点，解题思路、成功与不法，感受数学的思想方法等思维途 足，体验数严谨，从而完善a b2a b 2 ab ab ()(a,b R),（2）径，让学生完善建 学思想方自己已有的知识2当且仅当 a b时“=”号成立.立严谨的知识结构。2、基本不等式应用的条件“一正二定三相等”3、条件不足时候的基本技巧：函数的单调性、配系数、配常数、三角换元、拆项步完善建授课的意义。立自己严谨的知识结构。出示练习，让学生解决，并作出点评。1、求函数y log2x法，并进一结构，实现新知1(0 x 1)的最大值log2x的最小值2、求函数y x23x 22应 3、设a 0,b 0,2a2b2 2,求a 1b2的最大用值。出示相关题型练习运用归纳提升的成果，完成课堂练习反4、对于实数 a,b，定义运算“*”：馈2a ab(a b)a*b 2b ab(a b)设f(x)(2x1)*(x1)，且关于 x 的方程，f(x)m(mR)恰有三个互不想等的实根x1,x2,x3则x1x2x3的取值范围是。【板书设计】【板书设计】数列求和数列求和一、提出问题核心问题：二、解决问题:三、归纳提升:四、反馈应用:(辅助性板书)开 始创设情景、提出核心问题巡视，引导学生活动：解决核心问题作出恰当点评互动交流展示探究结果知识方面归纳提升思想方法方面巡视、引导、评价反馈运用学生展示交流作业布置结束