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1、学习必备欢迎下载基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路：1. 教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；引导学生从不同角度去证明基本不等式；用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在
2、大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2. 教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课. 我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律. 我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小
3、，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载第三个环节：启发引导、形成结论. 本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础 .第四个环节：训练小结，巩固深化. 学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和
4、 间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力. 我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件 . 虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节
5、课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用 .三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题 .四、本节课亮点：1. 积极引导学生自主探究问题，解决问题.2. 灵活运用转化与化归的思想.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载3. 实现课堂三大转变：变教学生学会知识为指导学生会学知识；变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；变模仿式学习为探究式学习.4. 课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？? （教师用投影仪给出第24 届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中
7、国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） ? 推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。三、情感、态度与价值观1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养
8、实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【三维目标】：一、知识与技能1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；二、过程与方法1.通过实例
9、探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力、知识结构解读1教材对基本不等式的推导给出了三种证法，即作差法、分析法和综合法，同时引导同学们探讨基本不等式的几何解释2基本不等式主要应用于求某些
10、函数的最值及证明不等式应用基本不等式时一定要注意其成立的条件基本不等式的应用过程蕴涵了函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化等数学思想二、重点、难点解读本节的重点内容是掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；掌握 两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论难点是正确理解和使用基本不等式求某些函数的最值或证明不等式三、知识点精析1基本不等式的定义（详见课本）基本不等式可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数注意：不等式成立的条件是2基本不等式的几何证明已知在 中，如右图所示，为斜边 上的高，为 的外接圆的圆心，的延长线交于点 ， ，证
11、明：一、教学目标1知识与技能探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式2过程与方法通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想3情感、态度与价值观：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气二、教学重点用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程教学难点 对基本不等式的探究三、教学资源普通高中数学课程标准（实验）人教 A 版教材必修5 中学数学周刊20XX 年第 10 期百度四、教学方法与手段启发学
12、生探究，多媒体辅助教学五、教学过程（一）创设情境：如图 1 是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫（二）新知探究：图 1 将风车抽象成图2 设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形的边长为 .这样 ,4 个直角三角形的面积和为 2ab, 正方形面积为 .由于 4 个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2 即 时,正方形 EFGH缩为一个
13、点 ,这时有此时， a、b 代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载【教学过程】1.课题导入基
14、本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1探究图形中的不等关系将图中的 “ 风车” 抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为。这样， 4 个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，
15、正方形 EFGH缩为一个点，这时有。2得到结论：一般的，如果3思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为当所以， ，即41）从几何图形的面积关系认识基本不等式特别的，如果a0,b0, 我们用分别代替a、b ，可得 ，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证 (1) 只要证 a+b (2) 要证（ 2），只要证 a+b- 0 （3）要证（ 3），只要证（ - ）（4）显然，（ 4）是成立的。当且仅当a=b 时，（ 4）中的等号成立。3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第110 页的基本不等式说课稿一、 教材分析1、本节课的地位、作用和意义基本不等式又称为均值不等式，
16、选自普遍高中课程标准实验教科书(北京师范大学出版社出版) 必修 5 ，第 3章第 3 节内容。学生在初中学习了完全平方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载公式、圆、初步认识了不等式，同时，在本章前面两节学习了比较大小、一元二次不等式等，这些给本节课提供了坚实的基础；基本不等式是后面基本不等式与最大（小）值的基础，在高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实际应用。2、本节课的教学重点和难点我通过解读新课标和分析教材，认为：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数
17、学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点之一；再者，均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解，因此，均值不等式以及其成立的条件也是教学重点。突出重点的方法：我将采用用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出均值不等式的推导；用重复法（在课堂的每一环节，以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学来突出均值不等式及其成立的条件。难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点。突破难点的方法：我将采用用重复法（在课堂的每一环节，
18、以各种方式进行强调均值不等式和其成立的条件），变式教学等等来突破均值不等式成立的条件这个难点。二、教学目标分析1、知识与技能目标（1）学会推导基本不等式：。（2）理解 的几何意义。（3）能 3 分钟内写出基本不等式，并说明其成立的条件，准确率为95% 2、过程方法与能力目标（1）探索并了解均值不等式的证明过程。（2）体会均值不等式的证明方法。3、情感、态度、价值观目标（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯。“ 探究 ” 基本不等式的证明（1）【三维目标】：一、知识与技能精选学习资料 - -
19、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号 “”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；二、过程与方法1.通过实例探究抽象基本不等式；2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学
20、生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力【教学重点与难点】：重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：理解基本不等式等号成立条件及“ 当且仅当时取等号 ” 的数学内涵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载【学法与教学用
21、具】：1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）【授课类型】：新授课【课时安排】： 1 课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 提问： 与 哪个大？2.基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。二、研探新知重要不等式：一般地，对于任意实数、 ，我们有 ，当且仅当时，等号成立。证明: 所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页