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1、第十四章第十四章 线性动态电路的复频域分析线性动态电路的复频域分析内容提要内容提要 本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理），还将介绍换的部分分式法（分解定理），还将介绍KCL和和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。过实例说明它们在电路分析中的应用。
2、目录目录141 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义142 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质143 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开144 运算电路运算电路145 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路本章作业本章作业141(2)(4)(6)(8)、142(1)(3)、143(2)(4)、144、147第四版第四版1313、149 第四版第四版1315、1410 第四版第四版131014 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。拉普拉斯变换是一种数学变换。定义：定义：F(s)=f(t)estdt 0 拉普拉斯
3、正变换拉普拉斯正变换f(t)=F(s)estds2 j1 +j j 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换S=+j f(t)原函数原函数F(s)象函数象函数拉氏正变换拉氏正变换拉氏反变换拉氏反变换一一对应一一对应简写符号简写符号F(s)=Lf(t)f(t)=L1F(s)例：例：解：解：F(s)=f(t)estdt 0 1.F(s)=L(t)=(t)estdt 0 =estdt 0 =1s=est1s 02.F(s)=L(t)=(t)estdt 0 =(t)dt 00+=1计算下列原函数的象函数；计算下列原函数的象函数；1.f(t)=(t)2.f(t)=(t)3.f(t)=e t (t)4.f(t)=t(
4、t)3.F(s)=Le t (t)=e t estdt 0 0=+s1e(+s)t=+s14.F(s)=Lt(t)=testdt 0=test 1s 0 estdt 0 =1s2同理：同理：F(s)=Ltn (t)=n sn+114 2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若：若：Lf1(t)=F1(s)Lf2(t)=F2(s)则：则：LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s)证：证：LA1f1(t)+A2f2(t)=A1f1(t)+A2f2(t)estdt 0=A1 f1(t)estdt+A2 f2(t)estdt 0 0=A1F1(s)+A2F2(s)一、线性
5、性质一、线性性质=A1f1(t)estdt+A2f2(t)estdt 0 0 例：例：例：例：计算下列原函数的象函数；计算下列原函数的象函数；1、常数、常数U 2、A(1e t)3、sin t解：解：1、LU2、LA(1e t)3、Lsin t=s2+2=LALAe t As(s+)=AsAs+=LU (t)Us=12j12j=L ej t ej t12j sj 112js+j 1=同理：同理：Lcos t=s2+2s二、二、(时域时域)微分性质微分性质设：设：Lf(t)=F(s)则：则：Lf (t)=sF(s)f(0)证：证：Lf (t)=0 df(t)dtestdt=0 estdf(t)=
6、estf(t)f(t)(s)estdt 0 0=f(0)+s f(t)estdt 0=sF(s)f(0)导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以为象函数乘以s再减去初始值的代数运算。再减去初始值的代数运算。推广：推广：Lf (t)=s2F(s)sf(0)f (0)Lfn(t)=snF(s)sn1f(0)sn2f (0)f(n1)(0)例：例：(t)RCuC求：求：uc(t)的冲击响的冲击响应应解：解：Cducdt+uc=(t)1R等式两边进行拉普拉斯变换等式两边进行拉普拉斯变换LC +L uc=L(t)ducdt1RsCUC(s)Cuc(
7、0)+UC(s)=1 1R(sC+)UC(s)=11RUC(s)=sC+1R1=1Cs+1RC1进行拉氏反变换进行拉氏反变换uc(t)=L1 1Cs+1RC11C=e t三、三、(时域时域)积分性质积分性质设：设：Lf(t)=F(s)则：则：L f()d()=0tF(s)s 积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算转换为复频域中象函数除以转换为复频域中象函数除以s的代数运算。的代数运算。证：证：ddt 0tf()d()=f(t)两边进行拉氏变换两边进行拉氏变换ddt 0tf()d()L =Lf(t)根据导数性质根据导数性质因此：因此：L f()d()
8、=0tF(s)ssL f()d()f()d()=F(s)0t 0tt=0=0四、四、(时域平移时域平移)延迟性延迟性质质tf(t)时域平移时域平移tf(tt0)t0设：设：Lf(t)=F(s)则：则：Lf(tt0)(tt0)=e F(s)st0例：例：求单个正弦波的象函数。求单个正弦波的象函数。tf(t)Ttf(t)Ttf(t)Tf(t)=sin t(t)sin(tT)(tT)F(s)=Lf(t)esT=s2+2 s2+2 s2+2=(1esT)五、五、(频域频域)导数性质导数性质设：设：Lf(t)=F(s)则：则：Ltf(t)=dF(s)ds推广：推广：Ltn f(t)=(1)ndnF(s)
9、dsn六、六、(频域频域)平移性质平移性质设：设：Lf(t)=F(s)则：则：Le tf(t)=F(s+)例：例：求：求：Le tsin t解：解：Ltn=n sn+1Ltne t=n (s)n+1例：例：求：求：Ltne t=s2+2 解：解：Lsin tLe tf(t)=(s+)2+2常用函数的拉氏变换表常用函数的拉氏变换表原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)原函数原函数f(t)象函数象函数F(s)A(t)Ae tcos(t)s+(s+)2+2A(t)A/ste t(s+)21Ae ts+Ats211e ts(s+)sinh(t)s2 2 sin(t)s2+2 cosh(t)s2 2s
10、cos(t)s2+2 s(1 t)e t(s+)2ssin(t+)s2+2ssin+cos t221s31cos(t+)s2+2scos+sin tnn！1sn+11e tsin(t)(s+)2+2 tne tn！1(s+)n+1114 3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开f(t)=F(s)estds2 j1 +j j 求：求：L1 (s+)21解：解：L1 =ts21L1 =te t(s+)21频域平移性质频域平移性质例例1：例例2：求：求：L1(12e s+e2 s)/s2解：解：L1(12e s+e2 s)/s2=L1 e s+e2 s s21s22s21=t2(
11、t)(t)+(t2)(t2)时域平移性质时域平移性质部分分式展开法部分分式展开法F(s)一般可以写成关于一般可以写成关于s的两个多项式之比。的两个多项式之比。F(s)=N(s)D(s)N(s)、D(s)是关于是关于s的多项式的多项式=a0sm+a1sm1+am1s+am b0sn+b1sn1+bn1s+bn 设：设：F(s)为有为有理式理式(nm)=(sp1)(sp2)(spn)N(s)对分母进行因式分解对分母进行因式分解式中式中p1、p2、pn为为D(s)=0的根，称为的根，称为F(s)的的极点极点。一、一、F(s)的极点为各不相等的实数根的极点为各不相等的实数根F(s)=(sp1)(sp2
12、)(spn)N(s)p1 p2 pnp1、p2pn为实数为实数=+sp1k1sp2k2spnkn则：则：L1F(s)=k1ep t+k2ep t+knep t1n2如何求如何求k?用用(sp1)乘以上面等式两边乘以上面等式两边(sp2)(spn)N(s)=k1+(sp1)+(sp1)sp2k2spnkn令令s=p1(sp2)(spn)N(s)k1=s=p1即即 k1=(sp1)F(s)s=p1k2=(sp2)F(s)s=p2kn=(spn)F(s)s=pn例例1:求求:L1 s(s+2)(s+3)s2+2s2解解:F(s)=s(s+2)(s+3)s2+2s2=+sk1s+2k2s+3k3k1=
13、(s+2)(s+3)s2+2s2s=013k2=1 s(s+3)s2+2s2s=213k3=F(s)=+131ss+2113 s+31L1F(s)=+e2t+e3t1313例例2:求求:L1 s3+6s2+15s+11s2+5s+6解解:F(s)=s+1+s2+5s+64s+5=s+1+s+2k1s+3k2=s+1+s+23s+37L1F(s)=(t)+(t)3e2t+7e3t二、二、F(s)有共轭复极点有共轭复极点F(s)=(s j)(s+j)N(s)=s j+s+j k1k2k1=s+j N(s)s=+j=N(+j)j2=|k1|ej 1k2=s j N(s)s=j=N(j)j2=|k1|
14、ej 1k1、k2共轭共轭L1F(s)=L1 +s j|k1|ej 1s+j|k1|ej 1=|k1|ej 1e(+j)t+|k1|ej 1e(j)t=|k1|e tej(+t)+ej(+t)11=2|k1|e tcos(t+1)波形波形f(t)=2|k1|e tcos(t+1)tf(t)=0 0tf(t)0tf(t)例：例：求：求：L1 (s2+2s+5)(s+2)s2+3解：解：s2+2s+5=(s+1j2)(s+1+j2)则：则：=1 =2F(s)=+s+1j2k1s+1+j2k2s+2k3k1=(s+1+j2)(s+2)s2+3s=1+j2=1+j25=0.45ej116.6则：则：|
15、k1|=0.45 1=116.6s2+2s+5s2+3k3=s=2=1.4f(t)=0.9etcos(2t+116.6)+1.4e2t三、三、F(s)有重极点有重极点F(s)=F2(s)(sp1)mN(s)=sp1k1m+(sp1)2k1m1+(sp1)mk11+k11=(sp1)mF(s)s=p1k12=(sp1)mF(s)dsds=p1k13=(sp1)mF(s)ds2d2s=p112k1m=(sp1)mF(s)dsm1dm1s=p11(m1)！例：例：求：求：L1 s(s+1)3s2解：解：F(s)=sk1+s+1k23+(s+1)2k22+(s+1)3k21k1=(s+1)3s2s=0
16、=2s=1k21=ss2=3ss2k22=dsds=1=s22s=1=2s=1k23=12 dsd s22=2F(s)=s2+s+12+(s+1)22+(s+1)33L1F(s)=2+2et+2tet+t2et32 Ltn=n sn+1部分分式展开法的一般步骤：部分分式展开法的一般步骤：1、若、若nm，则先将则先将F(s)化为真分式和多项式之和。化为真分式和多项式之和。2、对真分式的分母进行因式分解，求其极点。、对真分式的分母进行因式分解，求其极点。3、将真分式展开成部分分式，确定其系数。、将真分式展开成部分分式，确定其系数。4、对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。、对每个部分分式和多项式
17、逐项求拉氏反变换。14 4 运算电路运算电路一、元件的运算等效电路一、元件的运算等效电路1、电阻、电阻u u i iRu=iR时域电路模型时域电路模型两边进行拉氏变换两边进行拉氏变换U(s)=I(s)RRU(s)I(s)运算电路模型运算电路模型2、电容、电容Cu u i ii=C du udt t两边进行拉氏变换两边进行拉氏变换I(s)=sCU(s)Cuc(0)Cuc(0)I(s)U(s)sC1或：或：初始状态引起初始状态引起的附加电流源的附加电流源U(s)=I(s)+sC1suc(0)+sC1suc(0)U(s)I(s)初始状态引起初始状态引起的附加电压源的附加电压源运算电路模型运算电路模型
18、3、电感、电感Lu u i iu=L di idt t两边进行拉氏变换两边进行拉氏变换U(s)=sLI(s)Li(0)或：或：I(s)=U(s)+sL1si(0)4、受控源、受控源u=iU(s)=I(s)U(s)I(s)sL+Li(0)si(0)I(s)U(s)sL5、含有耦合电感的电路、含有耦合电感的电路i1L1L2Mi2u2u1L1di1dtu1=+Mdi2dtL2di2dtu2=+Mdi1dtU1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0)自感电压自感电压 自感附自感附加电压源加电压源互感电压互感电压 互感附互感附加电压源加电压源U2(s)=sL2I2(s)L2i2
19、(0)+sMI1(s)Mi1(0)电路模型：电路模型：U1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0)U2(s)=sL2I2(s)L2i2(0)+sMI1(s)Mi1(0)sL1I1(s)U1(s)+L1i1(0)+sMI2(s)+I2(s)U2(s)sL2L2i2(0)sMI1(s)Mi1(0)Mi2(0)+sMI1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+L2i2(0)Mi1(0)+L1i1(0)+Mi2(0)sL1sL2二、运算电路二、运算电路+2ARCL1L2S1ViL1iL2uC 已知：电路原已达稳已知：电路原已达稳态，电容无储存能量，态，电容无储存能量，t=0时将
20、开关时将开关S合上。试画合上。试画出运算形式电路图。出运算形式电路图。解：解：iL1(0+)=iL1(0)=2AiL2(0+)=iL2(0)=2AuC(0+)=uC(0)=0VA2sV1sR+sL1sL2sC1IL1(s)IL2(s)UC(s)例：例：2L1+2L2+三、运算形式的电路定律三、运算形式的电路定律线性线性无源无源U(s)I(s)=Z(s)U(s)I(s)运算形式欧姆定律运算形式欧姆定律Z(s)运算阻抗运算阻抗 基尔霍夫定基尔霍夫定律的运算形式律的运算形式KCL:I(s)=0KVL:U(s)=0提示：提示：电阻电路的各种分析方法及定理电阻电路的各种分析方法及定理都可以在运算电路中应
21、用。都可以在运算电路中应用。14 5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路运算法运算法1、确定、确定iL(0)、uC(0)。步骤：步骤：2、对、对uS(t)、iS(t)进行拉普拉斯正变换。进行拉普拉斯正变换。3、画出运算形式电路图。、画出运算形式电路图。4、应用电路分析的方法求出响应的象函数。、应用电路分析的方法求出响应的象函数。5、对象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时、对象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时 域解（原函数）。域解（原函数）。例例1：+RLCS12(t=0)2Vei(t)2 1H12F 已知：已知：t=0时，时，iL(0)=1A，uC(0)=1V，
22、t=0时时将开关将开关S从从12。求：求：t0时时i(t)。解：解：i(t)为二阶电路全响应，应用运算法。为二阶电路全响应，应用运算法。V1s2 2s+V2sI(s)RsLsC1uC(0)sLiL(0)s1VI(s)=2+s+s2s2+1s1=s2+2s+2s+1i(t)=etcost(A)进行拉氏反变换进行拉氏反变换响应为欠阻尼震荡衰减。响应为欠阻尼震荡衰减。例例2：+10VR1R2L2L1S(t=0)i(t)2 3 0.3H0.1H 已知：电路原已达已知：电路原已达稳态，求稳态，求S打开后电路打开后电路中的电流和电感上的电中的电流和电感上的电压。压。解：解：iL1(0)=5A iL2(0)
23、=0A S打开后，打开后，L1与与L2串联，此时串联，此时iL1(0+)=iL2(0+)，电感中的电感中的电流将发生跳变，电路仍为二阶电路，应用运算法。电流将发生跳变，电路仍为二阶电路，应用运算法。注意：注意：+2 0.3s3 0.1s1.5V10VsI(s)I(s)=2+0.3s+3+0.1s10s+1.5=2s+s+12.51.75+2 0.3s3 0.1s1.5V10VsI(s)拉氏反变换拉氏反变换 i(t)=2+1.75e12.5tAti3.752i(t)iL1(t)电感中的电流发生跳变，说电感中的电流发生跳变，说明电路中必有冲击电压。明电路中必有冲击电压。UL1(s)UL2(s)UL
24、1(s)=0.3sI(s)1.5=s+12.56.6 0.38uL1(t)=6.6e12.5t0.38(t)VUL2(s)=0.1sI(s)=s+12.52.2+0.38uL2(t)=2.2e12.5t+0.38(t)ViL2(t)续续例例3：i(t)u(t)CLRiL已知：已知：R=,L=0.2H,C=0.5F,uC(0)=2V,iL(0)=3A,i(t)=10sin5t (t)。求：求：u(t)3.51I(s)U(s)sLR+sC1s20.6解：解：I(s)=L10sin5t=s2+2550列结点方程列结点方程(+sC)U(S)=I(s)+sL1R1sC1s2sL0.6代入数据代入数据,整
25、理整理:U(s)=(s2+25)(s2+7s+10)100s+s2+7s+10s2+7s+102(s3)零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应u(t)=5.6e2t+8.7e5t+2.6sin(5t23.2)V例例4：+100V4 2 2 4H4H2H2HS(t=0)iL1iL2 电路原已达稳态，电路原已达稳态，求求S打开后电感中的电打开后电感中的电流和开关两端的电压。流和开关两端的电压。解：解：iL1(0)=iL2(0)=10A +4 2 2 4s4s2sIL1(s)100Vs+IL2(s)UK(s)40V40V20V20VIL1(s)=100s+40+204+2+4siL1(t)=503
26、35e1.5tAIL2(s)=0 iL2(t)=0UK(s)=IL1(s)(2+4s)40 20+20+402sIL1(s)uk(t)=1003355e1.5t+90(t)V本章小结：本章小结：运用拉普拉斯变换法运用拉普拉斯变换法(运算法运算法)求解电路问题求解电路问题和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思想是类似和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思想是类似的，如下表所示。的，如下表所示。相量法相量法运算法运算法正弦量正弦量相量相量 (相量模型相量模型)原函数原函数象函数象函数 (运算模型运算模型)线性代数方程线性代数方程(以相量为变量以相量为变量)线性代数方程线性代数方程(以象函数为变量以象函
27、数为变量)相量相量正弦量正弦量 (一定已知一定已知)象函数象函数 原函数原函数 (拉氏反变换拉氏反变换)将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源后，将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源后，电路方程电路方程(KCL和和KVL，电路元件电路元件VCR)的运算形式和的运算形式和相量形式类似，因此，相量法中各种计算方法相量形式类似，因此，相量法中各种计算方法(如结如结点电压法、回路电流法等点电压法、回路电流法等)和定理和定理(如叠加定理、戴维如叠加定理、戴维宁定理等宁定理等)在形式上完全可以移用于运算法。但注意在形式上完全可以移用于运算法。但注意这两种方程具有不同的意义。这两种方程具有不同的意义。
28、应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：1、完整正确地作出时域电路对应的运算电路。、完整正确地作出时域电路对应的运算电路。在运算电路中，对电容、电感及耦合电感元件不能在运算电路中，对电容、电感及耦合电感元件不能遗漏附加电源遗漏附加电源(方向不要搞错方向不要搞错)，正确写出运算阻抗，正确写出运算阻抗(或运算导纳或运算导纳)。运算电路中的电容电压和电感电压。运算电路中的电容电压和电感电压应包含其运算阻抗两端电压和附加电源电压两部分。应包含其运算阻抗两端电压和附加电源电压两部分。2、采用与相量法类似的计算方法和定理对所得、采用与相量法类似的计算方法和定理对所得到的运算电路进行分析。到的运算电路进行分析。3、对求解出的各电压和电流的象函数，利用部分分、对求解出的各电压和电流的象函数，利用部分分式法进行其拉氏反变换的计算。式法进行其拉氏反变换的计算。