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1、第第1414章章 线性动态电路的线性动态电路的 复频域分析复频域分析14.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14.3拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开14.4运算电路运算电路14.5用拉普拉斯变换法分析线性电路用拉普拉斯变换法分析线性电路14.6网络函数的定义网络函数的定义14.7网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点14.8极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应14.9极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应本章内容本章内容1.1.常用函数的拉普拉斯变换；常用函数的拉普拉斯变换；2.2.拉普拉斯变换的主要性质；
2、拉普拉斯变换的主要性质；3.3.求拉普拉斯反变换的部分分式展开法；求拉普拉斯反变换的部分分式展开法；4.4.复频域复频域分析法分析法(运算法运算法)3 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数把时间函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。又称运算法。14
3、.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义一.拉氏变换法拉氏变换法下 页上 页返 回4例例一些常用的变换一些常用的变换对数变换对数变换乘法运算变换乘法运算变换为加法运算为加法运算相量法相量法时域的正弦运算时域的正弦运算变换为复数运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)(频域象函数频域象函数)对应对应f(t)(时域原函数时域原函数)下 页上 页返 回运算法与相量法的比较：运算法与相量法的比较：运运算算法法与与相相量量法法极极其其相相似似，只只是是相相量量法法是是一一种种复复数数变变换换，变变换换的的工工具具是是欧欧拉拉公公式式。运运算算法法可可以以和和相相量量法法相相结结合合，复复频频域域电电
4、路路以以s代代替替了了频频域域电电路路中中的的j，即即复复频频域域中中的的电电压压、电电流流象象函函数数U(s)、I(s)，相相当当于于正正弦弦稳稳态态中中相相量量形形式式的的的的电电压压相相量量 、电电流流相相量量 ，复频域阻抗，复频域阻抗Z(s)相当于复阻抗相当于复阻抗Z(j)。二二.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义一个定义在一个定义在0，)区间的函数区间的函数f(t)，它的拉，它的拉普拉斯变换式普拉斯变换式F(s)定义为：定义为：式中式中为复数为复数时域时域 f(t)称为称为 原函数原函数，用小写字母表示，用小写字母表示，如如 i(t),u(t)。复频域复频域 F(s)称为称为 象函
5、数象函数，用大写字母表示用大写字母表示，如，如 I(s)、U(s)。f(t)与与F(s)一一 一对应一对应从定义式从定义式 可看出，可看出，把原函数把原函数f(t)与与 e-st的乘积从的乘积从 t=0-到到 对对 t 进行进行积分，则此积分的结果不再是积分，则此积分的结果不再是t 的函数。所以的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到变换到s 域域内的复变函数内的复变函数 F(s)。变量。变量s 称为称为复频率复频率。如果如果F(s)已知，要求与之对应的原函数已知，要求与之对应的原函数f(t)，由由F(s)到到f(t)的变换称为的变换称为拉普拉斯反变换
6、拉普拉斯反变换，它，它定义为：定义为：3.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换=114.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一一.线性性质线性性质二二.微分性质微分性质二二.微分性质微分性质三三.积分性质积分性质依次类推有：依次类推有：四四.延迟性质延迟性质(延迟定理延迟定理)-时域平时域平移移f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0例例1：求矩形脉冲的象函数：求矩形脉冲的象函数1Ttf(t)解：解：TTf(t)例例2：求：求f(t)的象函数的象函数解：解：常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换P350表表14-12314.3 14.3 拉普拉斯反变
7、换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项的组合部分分式部分分式展开法展开法返 回24利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：下 页上 页象函数的一般形式象函数的一般形式待定常数待定常数讨论返 回25
8、待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1下 页上 页方法方法2 2求极限的方法求极限的方法令令s=p1返 回26下 页上 页例例解法解法1返 回27解法解法2下 页上 页原函数的一般形式原函数的一般形式返 回28下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注意返 回29下 页上 页返 回30例例解解下 页上 页返 回31下 页上 页返 回32例例解解下 页上 页返 回33 n=m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和 由由F(s)求求f(t)的步骤：的步骤：求真分式分母的根，求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系
9、数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换下 页上 页小结返 回34例例解解下 页上 页返 回3514.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基尔霍夫定律的时域表示：1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回36u=Ri2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+
10、-时域形式：时域形式：R+-返 回37 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+u(t)-L+-sLU(s)I(s)+-时域形式：时域形式：sL+U(s)I(s)-返 回38 电容电容C的运算形式的运算形式C的的运算运算电路电路下 页上 页i(t)+u(t)-C时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-返 回39 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：时域形式：取拉
11、氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得互感运算阻抗互感运算阻抗返 回40耦合电感耦合电感的运算电路的运算电路下 页上 页+-+sL2+sM+sL1-+返 回41 受控源的运算形式受控源的运算形式受控源的运算电路受控源的运算电路下 页上 页时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换b i1+_u2i2_u1i1+R+_+R返 回423.3.RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式下 页上 页u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)时域电路时域电路 拉氏变换拉氏变换运算电路运算电路运算阻抗运算阻抗返 回43下 页上 页运算形式的运算形式的欧姆定律欧姆定律u(t)RC-+iL+-U
12、(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏变换拉氏变换返 回44下 页上 页+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返 回45 电压、电流用象函数形式；电压、电流用象函数形式；元件用运算阻抗或运算导纳表示；元件用运算阻抗或运算导纳表示；电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路返 回46注意附加电
13、源注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路运算电路返 回4714.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性电路分析线性电路由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；加电源的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1.1.运算法的计算步骤运算法的计算步骤返 回48例例1
14、(2)画运算电路画运算电路解解(1)计算初值计算初值下 页上 页电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0 时开关闭合，试用运算时开关闭合，试用运算法求电流法求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回49(3)应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回50下 页上 页(4)反变换求原函数反变换求原函数返 回51下 页上 页例例2，求，求uC(t)、iC(t)。图示电路图示电路RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)R返 回52下 页上 页1/sC+Uc(s)R返 回53t=
15、0时打开开关时打开开关,求电感电流和电压。求电感电流和电压。例例3下 页上 页解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回54下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意返 回55UL1(s)下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回563.75ti1520下 页上 页uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返 回57下 页上 页注意由于拉氏变换中用由于拉氏变换中用0-初始条件，初始条件，跃变情况自跃变情况
16、自动包含在响应中，动包含在响应中，故不需先求故不需先求 t=0+时的跃变时的跃变值。值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。相反，故整个回路中无冲击电压。返 回58下 页上 页返 回5914.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1.网络函数网络函数H（s）的定义）的定义线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数网络函数H(s)。下 页上 页返 回60由于激励由于激励E(s)可以是电压源或
17、电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。转移函数或电流转移函数。下 页上 页注意若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回61例例下 页上 页1/4F2H2i(t
18、)u1+-u21解解画运算电路画运算电路返 回62下 页上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s s)2+-1返 回63例例下 页上 页解解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为，求冲激响应，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)G返 回64下 页上 页3.应用卷积定理求电路响应应用卷积定理求电路响应结论 可以通过求网络函数可以通过求网络函数H(s)与任意激励的与任意激励的象函数象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应激励下的零状态响应。返 回65K1=3,K2=-3例例解解下 页上 页图示电路图示电路，冲激响应，冲激响应
19、，求，求uC(t)。线性无源线性无源电阻网络电阻网络+-usCuc+-返 回6614.7 14.7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1.1.极点和零点极点和零点下 页上 页当当 s=zi 时时，H(s)=0，称称 zi 为零点，为零点，zi 为重根，为重根，称为重零点；称为重零点；当当 s=pj 时时，H(s)，称称 pj 为极点，为极点，pj 为重根，为重根，称为重极点；称为重极点；返 回672.2.复平面（或复平面（或s 平面）平面）在复平面上把在复平面上把 H(s)的极点用的极点用 表示表示 ，零，零点用点用 o 表示。表示。零、极点分布图零、极点分布图下 页上 页zi，Pj 为
20、复数为复数j oo返 回68例例绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解下 页上 页返 回69下 页上 页24 -1j ooo返 回7014.8 14.8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应下 页上 页1.1.网络函数与冲击响应网络函数与冲击响应零零状状态态(t)h(t)1 R(s)冲击响应冲击响应H(s)和冲激响应构成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回71H0=-10例例 已知网络函数有两个极点为已知网络函数有两个极点为s=0、s=-1，一个单，一个单零点为零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s)和和 h(t)解解由已知
21、的零、极点得：由已知的零、极点得：下 页上 页返 回72下 页上 页2.2.极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：络的冲激响应为：讨论当当pi为负实根时，为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，为衰减的指数函数，当当pi为正实根时，为正实根时，h(t)为增长的指数函数；为增长的指数函数；极点位置不同，响应性质不同，极点反极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。注意返 回73下 页上 页jo 不稳定电路不稳定电路 稳定电路稳定电路
22、返 回74下 页上 页jo当当pi为共轭复数时，为共轭复数时，h(t)为衰减或为衰减或增长的正弦函数；增长的正弦函数；不稳定电路不稳定电路 稳定电路稳定电路返 回75下 页上 页j0当当pi为为虚根虚根时，时，h(t)为为纯正弦函数纯正弦函数，当当Pi为零时，为零时，h(t)为实数；为实数；注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。返 回14-114-1，14-214-2，14-514-5，14-1514-15