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1、第1页，此课件共79页哦l重点重点(1)(1)拉普拉斯变换的基本原理和性质拉普拉斯变换的基本原理和性质(2)(2)掌握用拉普拉斯变换分析线性电掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤路的方法和步骤 (3)(3)网络函数的概念网络函数的概念(4)(4)网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点返 回第2页，此课件共79页哦 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数函数f(t)与复变函数与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变
2、换为频域的代数方程以便求解。域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。为电路的复频域分析法，又称运算法。14.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义1.拉氏变换法拉氏变换法下 页上 页返 回第3页，此课件共79页哦例例一些常用的变换一些常用的变换对数变换对数变换乘法运算变换为加法运算相量法相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换拉氏变换F(s)(频域象函数频域象函数)对应对应f(t)(时域原函数时域原函数)下 页上 页返 回第4页，此课件共79页哦2.拉氏变换的定义拉氏变换的定义定义定义 0,)区间函数区间函数 f(t)的拉
3、普拉斯变换式：的拉普拉斯变换式：正变换正变换反变换反变换s 复频率复频率下 页上 页返 回第5页，此课件共79页哦积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换 。积分域积分域注意今后讨论的均为今后讨论的均为0 拉氏变换。拉氏变换。0,0区间 f(t)=(t)时此项 0象函数象函数F(s)存在的条件：存在的条件：下 页上 页返 回第6页，此课件共79页哦如果存在有限常数如果存在有限常数M和和 c 使函数使函数 f(t)满足：满足：则则f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以总存在，因为总可以
4、找到一个合适的找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。值使上式积分为有限值。下 页上 页象函数象函数F(s)用大写字母表示用大写字母表示,如如I(s)，U(s)原函数原函数f(t)用小写字母表示用小写字母表示，如，如 i(t),u(t)返 回第7页，此课件共79页哦3.3.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数单位阶跃函数的象函数下 页上 页返 回第8页，此课件共79页哦(3)指数函数的象函数指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数单位冲激函数的象函数下 页上 页返 回第9页，此课件共79页哦14.2 14.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质1.1.线
5、性性质线性性质下 页上 页证证返 回第10页，此课件共79页哦例例1解解例例2解解 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。再进行相乘及加减计算。下 页上 页结论返 回第11页，此课件共79页哦2.2.微分性质微分性质下 页上 页证证若足够大0返 回第12页，此课件共79页哦例例解解下 页上 页利用导数性质求下列函数的象函数利用导数性质求下列函数的象函数返 回第13页，此课件共79页哦推广：推广：解解下 页上 页返 回第14页，此课件
6、共79页哦下 页上 页3.3.积分性质积分性质证证应用微分性质0返 回第15页，此课件共79页哦下 页上 页例例解解返 回第16页，此课件共79页哦4.4.延迟性质延迟性质下 页上 页证证返 回第17页，此课件共79页哦例例1例例2求矩形脉冲的象函数求矩形脉冲的象函数解解根据延迟性质根据延迟性质求三角波的象函数求三角波的象函数解解下 页上 页TTf(t)o1Ttf(t)o返 回第18页，此课件共79页哦求周期函数的拉氏变换求周期函数的拉氏变换 设设f1(t)为一个周期的函数为一个周期的函数例例3解解下 页上 页.tf(t)1T/2 To返 回第19页，此课件共79页哦下 页上 页对于本题脉冲序
7、列对于本题脉冲序列5.5.拉普拉斯的卷积定理拉普拉斯的卷积定理返 回第20页，此课件共79页哦下 页上 页证证返 回第21页，此课件共79页哦14.3 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：由象函数求原函数的方法：(1)利用公式利用公式(2)对简单形式的对简单形式的F(s)可以可以查拉氏变换表得原函数查拉氏变换表得原函数下 页上 页(3)把把F(s)分解为简单项的组合分解为简单项
8、的组合部分分式展开法返 回第22页，此课件共79页哦利用部分分式可将利用部分分式可将F(s)分解为：分解为：下 页上 页象函数的一般形式待定常数讨论返 回第23页，此课件共79页哦待定常数的确定：待定常数的确定：方法方法1 1下 页上 页方法方法2 2求极限的方法求极限的方法令令s=p1返 回第24页，此课件共79页哦下 页上 页例例解法解法1返 回第25页，此课件共79页哦解法解法2下 页上 页原函数的一般形式返 回第26页，此课件共79页哦下 页上 页K1、K2也是一对共轭复数也是一对共轭复数注意返 回第27页，此课件共79页哦下 页上 页返 回第28页，此课件共79页哦例例解解下 页上
9、页返 回第29页，此课件共79页哦下 页上 页返 回第30页，此课件共79页哦例例解解下 页上 页返 回第31页，此课件共79页哦 n=m 时将时将F(s)化成真分式和多项式之和化成真分式和多项式之和 由由F(s)求求f(t)的步骤：的步骤：求真分式分母的根，求真分式分母的根，将真分式展开成部分分式将真分式展开成部分分式 求各部分分式的系数求各部分分式的系数 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换下 页上 页小结返 回第32页，此课件共79页哦例例解解下 页上 页返 回第33页，此课件共79页哦14.4 14.4 运算电路运算电路基尔霍夫定律的时域表示：基
10、尔霍夫定律的时域表示：1.1.基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的运算形式下 页上 页根据拉氏变换的线性性质得根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式的运算形式对任一结点对任一结点对任一回路对任一回路返 回第34页，此课件共79页哦u=Ri2.2.电路元件的运算形式电路元件的运算形式 电阻电阻R的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换电阻的运算电路下 页上 页uR(t)i(t)R+-时域形式：时域形式：R+-返 回第35页，此课件共79页哦 电感电感L的运算形式的运算形式取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得L的运算电路下 页上 页i(t)+u(t)-L+-sLU(s)I(s)
11、+-时域形式：时域形式：sL+U(s)I(s)-返 回第36页，此课件共79页哦 电容电容C的运算形式的运算形式C的运算电路下 页上 页i(t)+u(t)-C时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由积分性质得由积分性质得+-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-返 回第37页，此课件共79页哦 耦合电感的运算形式耦合电感的运算形式下 页上 页i1*L1L2+_u1+_u2i2M时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换,由微分性质得由微分性质得互感运算阻抗互感运算阻抗返 回第38页，此课件共79页哦耦合电感的运算电路下 页上 页+-+sL2+sM+sL1-+返
12、回第39页，此课件共79页哦 受控源的运算形式受控源的运算形式受控源的运算电路下 页上 页时域形式：时域形式：取拉氏变换取拉氏变换b i1+_u2i2_u1i1+R+_+R返 回第40页，此课件共79页哦3.3.RLC串联电路的运算形式串联电路的运算形式下 页上 页u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)时域电路时域电路 拉氏变换运算电路运算电路运算阻抗返 回第41页，此课件共79页哦下 页上 页运算形式的欧姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏变换拉氏变换返 回第42页，此课件共79页哦下 页上 页+-U(s)R1/sC-+sLI(
13、s)+-Li(0-)返 回第43页，此课件共79页哦 电压、电流用象函数形式；电压、电流用象函数形式；元件用运算阻抗或运算导纳表示；元件用运算阻抗或运算导纳表示；电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。下 页上 页电路的运算形式电路的运算形式小结例例给出图示电路的运算电路模型。给出图示电路的运算电路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解解t=0 时开关打开时开关打开uc(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路返 回第44页，此课件共79页哦注意附加电源下 页上 页1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-+-1/
14、s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t 0 运算电路运算电路返 回第45页，此课件共79页哦14.5 14.5 应用拉普拉斯变换法应用拉普拉斯变换法 分析线性电路分析线性电路由换路前的电路计算由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)；画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用；的作用；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数；反变换求原函数。反变换求原函数。下 页上 页1.1.运算法的计算步骤运算法的计算步骤返 回第46页，此课件共79页哦例例1(2)画运算电路画运算电路解解(1)计算初值计算初值
15、下 页上 页电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0 时开关闭合，试用运算法时开关闭合，试用运算法求电流求电流 i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回第47页，此课件共79页哦(3)应用回路电流法应用回路电流法下 页上 页1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返 回第48页，此课件共79页哦下 页上 页(4)反变换求原函数反变换求原函数返 回第49页，此课件共79页哦下 页上 页例例2，求，求uC(t)、iC(t)。图示电路图示电路RC+ucis解解画运算电路画运算电路1/sC+Uc(s)R返 回第50页，此课件共79页哦下 页上 页
16、1/sC+Uc(s)R返 回第51页，此课件共79页哦t=0时打开开关时打开开关,求电感电流和电压。求电感电流和电压。例例3下 页上 页解解计算初值计算初值+-i10.3H0.1H10V23i2画运算电路画运算电路10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回第52页，此课件共79页哦下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23注意返 回第53页，此课件共79页哦UL1(s)下 页上 页10/s0.3s1.5V 0.1sI1(s)+-+-23返 回第54页，此课件共79页哦3.75ti1520下 页上 页uL1-6.56t-0.375(t)00.375(
17、t)uL2t-2.190返 回第55页，此课件共79页哦下 页上 页注意由于拉氏变换中用由于拉氏变换中用0-初始条件，初始条件，跃变情况自动包跃变情况自动包含在响应中，含在响应中，故不需先求故不需先求 t=0+时的跃变值。时的跃变值。两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。反，故整个回路中无冲击电压。满足磁链守恒。满足磁链守恒。返 回第56页，此课件共79页哦下 页上 页返 回第57页，此课件共79页哦14.6 14.6 网络函数的定义网络函数的定义1.网络函数网络函数H（s）的定义）的定义 线性线性时不变网络在单一电源激励下
18、，其零状态线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数函数H(s)。下 页上 页返 回第58页，此课件共79页哦由于激励由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应可以是电压源或电流源，响应R(s)可以可以是电压或电流，故是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。或电流转移函数。下 页上 页注意若若E(s)=1，响应响应R(s)=H(s)，即即网络函数是该响应的像网络函数
19、是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。2.2.网络函数的应用网络函数的应用由网络函数求取任意激励的零状态响应由网络函数求取任意激励的零状态响应返 回第59页，此课件共79页哦例例下 页上 页1/4F2H2i(t)u1+-u21解解画运算电路画运算电路返 回第60页，此课件共79页哦下 页上 页I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s s)2+-1返 回第61页，此课件共79页哦例例下 页上 页解解画运算电路画运算电路电路激励为电路激励为，求冲激响应，求冲激响应GC+ucissC+Uc(s)G返 回第62页，此课件共79页哦下
20、页上 页3.应用卷积定理求电路响应应用卷积定理求电路响应结论 可以通过求网络函数可以通过求网络函数H(s)与任意激励的象函数与任意激励的象函数E(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应态响应。返 回第63页，此课件共79页哦K1=3,K2=-3例例解解下 页上 页图示电路图示电路，冲激响应，冲激响应，求，求uC(t)。线性无源线性无源电阻网络电阻网络+-usCuc+-返 回第64页，此课件共79页哦14.7 14.7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点1.1.极点和零点极点和零点下 页上 页当当 s=zi 时时，H(s)=0，称
21、称 zi 为零点，为零点，zi 为重根，称为重根，称为重零点；为重零点；当当 s=pj 时时，H(s)，称称 pj 为极点，为极点，pj 为重根，为重根，称为重极点；称为重极点；返 回第65页，此课件共79页哦2.2.复平面（或复平面（或s 平面）平面）在复平面上把在复平面上把 H(s)的极点用的极点用 表示表示 ，零点用，零点用 o 表示。表示。零、极点分布图下 页上 页zi，Pj 为复数为复数j oo返 回第66页，此课件共79页哦例例绘出其极零点图。绘出其极零点图。解解下 页上 页返 回第67页，此课件共79页哦下 页上 页24 -1j ooo返 回第68页，此课件共79页哦14.8 1
22、4.8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应零零状状态态e(t)r(t)激励激励 响应响应下 页上 页1.1.网络函数与冲击响应网络函数与冲击响应零零状状态态(t)h(t)1 R(s)冲击响应H(s)和冲激响应构成一对拉氏变换对。和冲激响应构成一对拉氏变换对。结论返 回第69页，此课件共79页哦H0=-10例例 已知网络函数有两个极点为已知网络函数有两个极点为s=0、s=-1，一个单，一个单零点为零点为s=1，且有，且有 ，求，求H(s)和和 h(t)解解由已知的零、极点得：由已知的零、极点得：下 页上 页返 回第70页，此课件共79页哦下 页上 页2.2.极点、零点与冲激响应极点、零点与
23、冲激响应 若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：的冲激响应为：讨论当当pi为负实根时，为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，为衰减的指数函数，当当pi为正为正实根时，实根时，h(t)为增长的指数函数；为增长的指数函数；极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变化规律。应动态过程中自由分量的变化规律。注意返 回第71页，此课件共79页哦下 页上 页jo 不稳定电路 稳定电路返 回第72页，此课件共79页哦下 页上 页jo当当pi为共轭复数时，为共轭复数时，h(t)为衰减或为衰
24、减或增长的正弦函数；增长的正弦函数；不稳定电路 稳定电路返 回第73页，此课件共79页哦下 页上 页j0当当pi为为虚根虚根时，时，h(t)为为纯正弦函数纯正弦函数，当当Pi为零时，为零时，h(t)为实数；为实数；注意 一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化极点一定位于左半平面。根据极点分布情况和激励变化规律可以预见时域响应的全部特点。规律可以预见时域响应的全部特点。返 回第74页，此课件共79页哦14.9 14.9 极点、零点与频率响应极点、零点与频率响应 令网络函数令网络函数H(s)中复频率中复频
25、率s=j，分析，分析H(j)随随变变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。输入时的频率响应。对于某一固定的角频率对于某一固定的角频率下 页上 页返 回第75页，此课件共79页哦幅频特性相频特性下 页上 页例例定性分析定性分析RC串联电路以电压串联电路以电压uC为输出时电路的频为输出时电路的频率响应。率响应。RC+_+u2_uS解解返 回第76页，此课件共79页哦一个极点一个极点下 页上 页RC+_+u2_uS用线段用线段M1表示表示j-1/RCM11M2j1j2o返 回第77页，此课件共79页哦幅频特性幅频特性相频特性相频特性下 页上 页|H(j)|1低通特性o123|(j)|-/2o123返 回第78页，此课件共79页哦若以电压若以电压uR为输出时电路的频率响应为：为输出时电路的频率响应为：上 页RC+_+u2_uS|H(j)|1/RC10.707oj-1/RCM1N111 oo返 回第79页，此课件共79页哦