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1、基本不等式基本不等式考纲分析:考纲分析:1、理解基本不等式的内容;2、会用基本不等式解决一些数学问题。考情分析:考情分析:本节主要考查利用基本不等式求函数的最值。若单纯考查基本不等式,一般难度不大,通常出现在选填题中;若考查基本不等式的变形,即通过对代数式进行拆添项或配凑因式,构造出基本不等式的形式再进行求解,难度就会提升。对基本不等式的考查,若以解答题的形式出现时,往往是作为工具使用,用来证明不等式或解决实际问题。要点梳理:要点梳理:一、基本不等式ab a b2(1)基本不等式成立的条件:;(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号。注:该不等式反映的是两正数和积之间的转化关系,是不等式的一个重
2、要结论。二、常用的几个重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR);(2)ab(a+b)/22(a,bR);(3)(a+b)/2(a+b)/2(a,bR);(4)b/a+a/b2(a,b 同号);(5)a b222222a b2ab 21a1b(a,b R)注:上述不等式取等号的条件都是:a=b三、算术平均数与几何平均数设 a0,b0,则 a,b 的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:。四、利用基本不等式可求函数最值问题:已知 x0,y0,则(1)如果积 xy 是定值 P,那么当且仅当时,x+y 有值是;(积定和最小)(2)如果积 x+y 是定值 P,那么当且仅当时,xy 有值是;
3、(和定积最大)典例剖析:典例剖析:考点一:利用基本不等式证明不等式例 1、(1)已知 x,y,zR+,且 x+y+z=1,求证:(1-x)(1-y)(1-z)8xyz;1/x+1/y+1/z9。(2)设 a,b,cR+,求证:bc/a+ac/b+ab/ca+b+c。分析:利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,简单的直接处理,复杂的要与性质结合。练 1、(1)已知 a0,b0,a+b=1,求证:1/a+1/b4;(2)已知 a0,b0,a+b=1,求证:(1+1/a)(1+1/b)9;(3)已知 a,b,cR,求证:a4+b4+c4
4、a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c);(4)已知 a,b,cR,求证:a2 b2考点二:利用基本不等式求最值例 2、(1)设0 x 2,求函数y(2)已知x 3,求y 4x 3b c22c a222(a b c);(5)已知 0a1,0b1,0c1,求证:abc(1-a)(1-b)(1-c)1/64。x(4 2x)的最大值;x的最大值;(3)已知x 0,y 0,且x y 1,求3x4y的最小值。例 3、(1)已知 x,yR+,且 x+y-3xy+5=0,求 xy 的最小值;(2)若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,求 c 的最大值。分析:
5、基本不等式求最值时定要注意“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可;若无明显定值,则用配凑的方法,使和为定值或积为定值;当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法;二次分式函数的常见处理方法:(换元)分离法结合单调性或基本不等式。练 2、(1)已知不等式(x+y)(1/x+a/y)9 对任意正实数 x,y 恒成立,求正实数 a 的最小值;(2)若 a,b,cR+,且a(a b c)bc 4 23,求 2a+b+c 的最小值。规律归纳:规律归纳:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,在证明和求最值时,要注意这种转化思想。