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1、 7.47.4 基本不等式及其应用基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最1.了解基本不等式的证明过程.值常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR R)ba(2)2(a，b 同号)ab(3)abab22(a，bR R)a2b2ab2
2、(4)22(a，bR R)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy是定值 p，那么当且仅当 xy时，xy有最小值 2 p.(简记：积定和最小)p2(2)如果和 xy是定值 p，那么当且仅当 xy时，xy有最大值.(简记：和定积最大)41知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)A 在区间 D 上恒成立f(x)mi
3、nA(xD)；若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式f(x)B 在区间 D 上恒成立f(x)maxA 成立f(x)maxA(xD)；若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)B 成立f(x)minA 恰在区间 D 上成立f(x)A 的解集为 D；不等式 f(x)B 恰在区间 D 上成立f(x)0 且 y0”是“2”的充要条件()yx1(4)若 a0，则 a32的最小值为 2 a.()aab(5)不等式 a2b22ab 与 ab有相同的成立条件()2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()题组二教材改编2 P99 例 1(2)设 x0，y0，
4、且 xy18，则 xy的最大值为()A 80B77C81D 823P100A 组 T2若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_ m2.题组三易错自纠14“x0”是“x 2 成立”的()xA 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件2D 既不充分也不必要条件235设 x0，则函数 yx 的最小值为()2x12A 0C11B.23D.26若正数 x，y满足 3xy5xy，则 4x3y的最小值是()A 2C4B3D 5题型一利用基本不等式求最值命题点 1通过配凑法利用基本不等式典例(1)已知 0 x1)的最小值为_x1命题点 2通过常数代换法利用基本不等式典例(2017
5、河北衡水中学调研)若 a0，b0，lgalgblg(ab)，则 ab 的最小值为()A 8C4B6D 2思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练(1)若对x1，不等式 x11a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_x1(2)(2017武汉模拟)已知正数 x，y满足 x2yxy0，则 x2y的最小值为_题型二基
6、本不等式的实际应用典例(2017淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250 万元，每生产 x千件，需另投入成1本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)x210 x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)3310 00051x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能x全部售完(1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3
7、)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解跟踪训练(2017江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是_题型三基本不等式的综合应用命题点 1基本不等式与其他知识交汇的最值问题41典例(1)已知直线 axbyc10(b，c0)经过圆 x2y22y50 的圆心，则 的最小bc值是()A 9B8C4D 2Sn8(2)设等差数列an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn(nN N*)，若 a1d1，则的最小值是an_命题点 2求参数值或取值范围31m
8、典例(1)已知 a0，b0，若不等式 恒成立，则 m 的最大值为()aba3bA 9B12C18D 24x2ax11(2)已知函数 f(x)(aR R)，若对于任意的xN N*，f(x)3 恒成立，则a 的取值范围x1是_思维升华(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围a跟踪训练(1)已知函数 f(x)x 2 的值域为(，04，)，则 a 的值是()x413A.B.C1D 222(2)已知
9、各项均为正数的等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项 am，an使得 aman4a1，14则 的最小值为()mn3A.29C.4利用基本不等式求最值12典例(1)已知 x0，y0，且 1，则 xy的最小值是_xy3(2)函数 y12x(x0，y0，1 2xy2，xy5B.325D.6 xy2 2，xy2 xy4 2，xy的最小值为 4 2.33(2)2x 2 6，y12x 12 6.xx3函数 y12x(xb0”是“ablgx(x0)A lg41Bsinx2(xk，kZ Z)sinxCx212|x|(xR R)1D.21(xR R)x 1143(2018青岛质检)已知 a0，b0，ab2
10、，则 y 的最小值是()ab79A.B4C.D 52211124(2017安庆二模)已知 a0，b0，ab ，则 的最小值为()ababA 4C8B2 2D 16125若实数 a，b 满足 ab，则 ab 的最小值为()abA.2C2 2B2D 4x6(2018平顶山一模)若对任意 x0，2a 恒成立，则 a 的取值范围是()x 3x11A a51Ca51D a5a2b27(2018天津滨海新区八校联考)已知 ab0，且 ab1，那么取最小值时，b_.ab128(2017襄阳一调)已知 x1，y0 且满足 x2y1，则 的最小值为_x1y9已知 x，yR R 且满足 x22xy4y26，则 z
11、x24y2的取值范围为_10(2017成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元11已知 x0，y0，且 2x5y20.(1)求 ulgxlgy的最大值；11(2)求 的最小值xy12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个6矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12.(1)试用 x，y表示 S；(2)若要使 S 的值最大，则 x，y的值各为多少？111913(2017广东清远一中一模)若正数 a，b 满足 1，则的最小值为()aba1b1A 16C6B9D 114(2017东莞调研)函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线12mxny10 上，其中 m，n 均大于 0，则 的最小值为_mnxy21215 设正实数 x，y，z满足 x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值是()zxyzA 09C.4B1D 316若实数 a，b 满足 ab4ab10(a1)，则(a1)(b2)的最小值为_7