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1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在平面上应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在平面上分布的位置有关。分布的位置有关。决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这些根在平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了些根在平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了系统的基本特性。系统的基本特性。为此目的，伊文思在年提出了为此目的，伊文思在年提出了根轨迹法，根轨迹法，令开环函数的一个参数令开环函数的一
2、个参数开环增益（或另一个感兴趣的开环增益（或另一个感兴趣的参数）从变化到参数）从变化到，与此，与此对应对应，特征方程的根，便在平面，特征方程的根，便在平面上描出一条上描出一条轨轨迹，称迹，称这这条条轨轨迹迹为为根根轨轨迹。迹。根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一。成为经典控制理论中最基本的方法之一。根轨迹定义：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：特征根为：讨论：当K=0时，s1
3、=0,s2=-2,是开环传递函数的极点 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j 当K=时，s1=-1+j,s2=-1-j系统的结构图如下：-闭环传递函数为：开环传递函数为：将写成以下标准型，得：系统的结构图如下：-闭环传递函数为：开环传递函数为：将写成以下标准型，得：闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：的根。根轨迹定义：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。一些约
4、定：在根轨迹图中，“”表示开环极点，“”表示开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“”表示根轨迹上的点。我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。例4-1如图二阶系统，当Kg从0时绘制系统的根轨迹。-解闭环传递函数：特征方程和特征根：讨论：总结当从0变化到时，系统的根轨迹是连续的。的点称为起点，的点称为终点。本例中有两个分支，终点都在无穷远处。这里是用解析法画出的根轨迹，但对于高阶系统，求根困难，需用图解法画图。复平面上满足相角条件的点应在根轨迹上。上例中，A点在根轨迹上吗？向量s和s+1的相角分别为根据相角条件(试探法)：显然，只有三角形OAB是
5、等腰三角形时，A点在根轨迹上。点显然不在根轨迹上。AB定义：满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。在根轨迹上的已知点求该点的值的例子。上例中，若A点的坐标是0.5+j2，则根据幅值条件：一举例说明根轨迹的概念一举例说明根轨迹的概念特征方程特征方程的根为的根为，根轨迹定义：开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系
6、统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。令开环增益从变化到令开环增益从变化到，用解，用解析方法求不同所对应的特征根的值，将析方法求不同所对应的特征根的值，将这些值标在平面上，并连成光滑的粗实这些值标在平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随线，这就是该系统的根轨迹。箭头表示随着值的增加，根轨迹的变化趋势。着值的增加，根轨迹的变化趋势。根轨迹的基本概念从系统的根轨迹图，可以获得下述信息从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:.稳定性：稳定性：因为根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对因为根轨迹全部位于左半平面，故闭环系统对所有的值都是稳定的。所有的值都是稳定的。.稳态性能：稳态性能：因
7、为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是以是I I型系统，阶跃作用下的稳态误差为型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。K=0.25K=0K=0KK-1j当当K=0K=0时，时，S S1 1=0=0，S S2 2=-1=-1暂态性能暂态性能（）当（）当 m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时5.5.根轨迹的渐近线：根轨迹的渐近线：若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。由根轨迹方程可得：式中，当Kg，由于m=2时，即：对于任意的，闭
8、环极点之和等于开环极点之和，为常数。表明：当变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。q闭环极点之积为：根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。当有为零的开环极点：根轨迹作图步骤一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点
9、，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：求分离会合点：由特征方程由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：求分离会合点：由特征方程由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：，求分离会合点：由特征方程由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离
10、角为小结需掌握绘制根轨迹的十个准则q根轨迹的连续性和对称性；q根轨迹的支数、起始点和渐进线；q根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点；q根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；q闭环极点之积和之和。反馈控制系统的根轨迹分析例设一反馈控制系统的开环传函例设一反馈控制系统的开环传函绘制变化时的系统根轨迹。绘制变化时的系统根轨迹。解：解：.在平面中标出开环极点在平面中标出开环极点.由规则二和三知，根轨迹共有四个分支，从由规则二和三知，根轨迹共有四个分支，从开环极点出发，当时趋向无穷远处。开环极点出发，当时趋向无穷远处。.由规则四，实轴上的根轨迹由规则四，实轴上的根轨迹 。反馈控制系统的根轨迹分析渐近线
11、的相角和交点为渐近线的相角和交点为求根轨迹的分离点求根轨迹的分离点系统的特征方程系统的特征方程反馈控制系统的根轨迹分析上式的根为，。只上式的根为，。只有是实际分离点。有是实际分离点。对应分离点的对应分离点的 值可按幅值条件确定值可按幅值条件确定求根轨迹在求根轨迹在 的出射角的出射角反馈控制系统的根轨迹分析求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点此处利用劳斯判据，由特征方程此处利用劳斯判据，由特征方程列劳斯表列劳斯表反馈控制系统的根轨迹分析令，得令，得根据行的系数写出辅助方程根据行的系数写出辅助方程将代入，得将代入，得.作根轨迹图作根轨迹图在分离点附近取在分离点附近取n个试验点，知分离角为个试验
12、点，知分离角为90,在在 附近取附近取n n个试验点个试验点反馈控制系统的根轨迹分析确定闭环极点确定闭环极点.在上例中给定一对主导极点的阻尼比在上例中给定一对主导极点的阻尼比1.画出线画出线反馈控制系统的根轨迹分析线的根轨迹交点的坐标就是时，线的根轨迹交点的坐标就是时，系统的一对闭环主导极点系统的一对闭环主导极点主导极点处对应的值用幅值条件求主导极点处对应的值用幅值条件求用试探法可找到另两个闭环极点用试探法可找到另两个闭环极点当时，系统的闭环传函为反馈控制系统的根轨迹分析根轨迹法分析系统的一般步骤：根轨迹法分析系统的一般步骤：绘制系统的根轨迹图；绘制系统的根轨迹图；分析根轨迹图，估计系统增益分
13、析根轨迹图，估计系统增益 对闭环零、对闭环零、极点分布的影响；极点分布的影响；根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应指标；应指标；对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环主导极点。主导极点。反馈控制系统的根轨迹分析参数根轨迹绘制方法参数根轨迹绘制方法例已知系统框图，绘制以为参数的根例已知系统框图，绘制以为参数的根轨迹轨迹.反馈控制系统的根轨迹分析解解：（1）系统的开环传递函数）系统的开环传递函数特征方程特征方程（2）以为参变量，特征方程可写为）以为参变量，特征方程可写为即绘制的根轨迹绘制的根轨迹反馈控制系统的根轨迹分析（3）开
14、环极点）开环极点 闭环极点闭环极点（4）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹（5）渐近线倾角）渐近线倾角（6）会合点）会合点 求求 ，得，得 为实际会合点，该点为实际会合点，该点（7）出射角）出射角Matlab参考书推荐：q现代控制工程，美KatsuhikoOgats,卢伯英译，电子工业出版社qMATLAB控制系统设计，欧阳黎明著，国防工业出版社三、用Matlab绘制根轨迹num=0001;%开环传递函数分子系数，降幂排列den=1320;%开环传递函数分母系数，降幂排列r=rlocus(num,den);例子系统的开环传递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。解打开Matlab,创建一个m
15、文件，输入下列程序片段：执行之，可得到根轨迹。例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。解：（1）画根轨迹：q求出射角：，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；另两条从原点以的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。q会合分离点：由方程得解得在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。q求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当时，由辅助方程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。q 画根轨迹分离
16、（会合）点分别为-2.93和-17.07，分离（会合）角为90度。根轨迹为圆，如右图所示。例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比是，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。q当时，阻尼角，表示角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。q对于分离点，由幅值条件可知对于会合点，有由根轨迹图可知，当时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当时，闭环系统有一对共轭复数极点
17、，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。q由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。系统A和B的闭环传递函数分别为：解：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：由此可知，系统A是一单位反馈系统，前
18、向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。图(a)A系统图(b)B系统根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。例4-16:已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。解：由根轨迹图知系统的开环传递函数为：单位反馈系统的闭环传递函数为：提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加入零点后，将使根轨迹左移，有
19、利于系统的稳定性。当在系统中加入比例微分控制时，开环传递函数增加了一个零点，此时：这时渐近线与实轴的夹角为：，只要渐近线与负实轴相交,系统的根轨迹就在左半S平面。因此有：，所以。从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。clearall;num1=0013;den1=1600;num2=0015;den2=1600;num3=0017;den3=1600;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3)作业：4-7，4-10，4-11小结q 条件稳定系统的分析临界稳定
20、增益的确定；q 瞬态性能分析和开环系统参数的确定 阻尼角和等阻尼线；超调量、调整时间与闭环极点的关系；根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数；开环零、极点对根轨迹形状的影响。q用Matlab绘制根轨迹的方法p1p2X2(t)X1(t)C(S)G(S)H(S)R(S)-1i=0i=0i=1i=10K0jW主根轨迹图利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正v由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；v分析参数变化对系统稳定性的影响；v分析系统的瞬态和稳态性能；v根据性能要求确定系统的参数；v对系统进行校正。一、条件稳定系统的分析 例4-11：设开环系统传递函数为：试绘制根轨迹并讨论使闭环系
21、统稳定时的区值范围。开环极点：0，-4，-6，零点：实轴上根轨迹区间：渐进线：与实轴的交点：倾角：解根据绘制根轨迹的步骤，可得：分离角（点）：3.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50s的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。由：可以求得分离点。近似求法：分离点在-4，0之间。入射角：与虚轴的交点（略）。这时的增益值：由图可知：当和时，系统是稳定的（为什么？）；当时，系统是不稳定的。左图是用Matlab工具绘制的。条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。v具有正反馈的
22、环节。下面的系统就是条件稳定系统的例子：v开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；例非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。解：根轨迹如右：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。闭环特征方程为：，当s=0时，所以，系统稳定的条件是：二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为闭环传递函数为共轭极点为：在s平面上的分布如右图：闭环极点的张角为：所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。我们知道闭环二阶系统
23、的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：的关系如下图若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，有：上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。解：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益当时，闭环系统不稳定。下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：当时解得：这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两
24、点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数k。设A点坐标为：，则：（1）相角条件为：（2）由(1)，(2)式解得：共轭主导极点为：。计算对应的根轨迹增益。由幅值条件：解得：开环传递函数以的形式表示时，k称为开环放大系数。显然的关系为：，式中不计0极点。所以，开环放大系数：由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：特别提示特别提示：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。q一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。q若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。