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1、第四章第四章根轨迹法根轨迹法课程的任务与体系结构11/2/202224.0 引言引言控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法根轨迹法。根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。研究特点研究特点：（1）图解方法，直观、形象。）图解方法，直观、形象。（2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能 的变化趋势。的变化趋势。（3）近似方法，不十分精确。）近似方
2、法，不十分精确。11/2/20223根轨迹法根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系统的分析与设计带来了极大的方便。本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。11/2/20224定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。41 根轨迹与根轨迹方程当闭环系统为正正反馈时，对应的轨迹为零零度根轨迹；而负负反馈系统的轨迹为 根轨迹。一.根轨迹11/2/20225例子如图
3、所示二阶系统，系统的开环开环传递函数为11/2/20226开环传递函数开环传递函数有两个极点 。没有零点，开环增益为K。闭环特征方程闭环特征方程为闭环特征根闭环特征根为 闭环传递函数闭环传递函数为11/2/20227从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+11/2/20228 如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹11/2/20229稳态性能稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置
4、的容许位置。由开环传递函数绘制根轨迹，通常采用根轨迹增益根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。2.根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能稳定性稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。11/2/202210对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法根轨迹法从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。动态性能动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。根轨迹法的任务就在于已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。11/2/202211三.根轨迹方程根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12）式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数，该式明确表
5、示出开环开环传递函数与闭环极点的关系。闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11）闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。11/2/202212设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时式（412）又可以写成（413）不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，把它分解成模值方程模值方程和相角方程相角方程。11/2/202213相角方程（415）模值方程（414）11/2/202214注意 在实际应用中，用相角方程相角方程绘制根轨迹，而模模模模 值方程值方程值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。模值方程模值方程模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，与开
6、环根轨迹增益有关；而相角方程相角方程只与开环零、极点有关。相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要充分必要条件条件。11/2/202215例41它们应满足相角方程（415）已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试证明复平面上点试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：证明：该系统的开环极点11/2/202216图44例41开环零、极点分布图11/2/202217（k=-1)(k=0)以 为试验点，可得以 为试验点，观察图44，可得图4411/2/202218证毕。可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。11/2/202219例42已知系统开环
7、传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5，求根轨迹上点 所对应的K值。解解 根据模值方程求解 值模值方程图4-511/2/202220根据图45可得所以图4-511/2/202221上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值方法。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。11/2/20222242 绘制根轨迹的基本法则起于开环极点，终于开环零点。一、根轨迹的起点与终点一、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：11/2/202223 若开环零点数m 开环极点数n (有
8、个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹终于无穷远点 起点终点11/2/202224二、根轨迹的分支数二、根轨迹的分支数 分支数开环极点数 闭环特征方程的阶数 n阶系统：n条根轨迹三、根轨迹连续、对称于实轴三、根轨迹连续、对称于实轴 代数方程系数连续变化：根连续变化 闭环极点为 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴11/2/202225四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。证明：设一系统开环零、极点分布如图。11/2/202226在实轴上任取一试验点 s 代入相角方程则所以相角方程成立，即s是根轨迹上的点。11/2/202227一般，设试验点右侧有
9、L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。11/2/202228例43设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式11/2/202229最后绘制出根轨迹如图最后绘制出根轨迹如图47所示。所示。法则一，有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹。按绘制根规迹法则逐步进行：11/2/202230图47例43根轨迹11/2/202231法则五：根轨
10、迹的渐近线：法则五：根轨迹的渐近线：n-m条条渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：渐近线与实轴相交点的坐标为：11/2/202232例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。极点解：零点11/2/202233按照公式得11/2/202234以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线11/2/20223511/2/202236对应的开环传递函数(a)(b)(c)(d)11/2/202237法则六：根轨迹的起始角和终止角法则六：根轨迹的起始角和终止角根轨迹的终止角根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹
11、角。根轨迹的起始角根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。11/2/202238起始角与终止角计算公式起始角与终止角计算公式起始角计算公式：起始角计算公式：终止角计算公式：终止角计算公式：11/2/20223911/2/202240例45设系统开环传递函数试绘制系统概略根轨迹。解 将开环零、极点画在图412的根平面 上，逐步画图：11/2/202241图412 例45根轨迹11/2/2022421、n=2，有两条根轨迹2、两条根轨迹分别起始于开环极点(-1-j2),(-+j2)；终于开环零点 (-2-j),(-2+j)3、确定起始角,终止角。如图413所示。11/2/2022
12、43例45根轨迹的起始角和终止角图41311/2/202244定义定义：几条（二条）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。七、根轨迹的分离点座标sd11/2/202245分离点的坐标sd可由下面方程求得式中：为各开环零点的数值，为个开环极点的数值。11/2/202246例46已知系统的开环传递函数试求闭环系统的根轨迹分离点坐标sd，并概略绘制出根轨迹图。11/2/202247解：根据系统开环传递函数求出开环极点按步骤：1、n=2,m=1,有两条根轨迹2、两条根轨
13、迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点3、实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点11/2/2022484、离开复平面极点的初始角初始角为11/2/2022495、渐近线（舍去）6、求分离点坐标d11/2/202250此系统根轨迹如图图41511/2/202251八、分离角与会合角所谓所谓分离角分离角是指根轨迹离开重极点处的是指根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角。切线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式（445）11/2/202252所谓会合角会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。11/2/202253会合角计算公式11/2/202254分离角与会
14、合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：若有 条根轨迹进入d点，必有 条根轨迹离开d点；条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔；任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为 ；因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则(2)、法则(4)或取试验点用相角条件来验证。11/2/202255九、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点如根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零求得。？思考：劳斯表s2 或幂数大于2的
15、偶次方行 系数构成辅助方程11/2/202256例47设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。11/2/202257解解：按步骤画图1、有4条根轨迹2、各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1,-1-j1；终于无穷远3、实轴上的根轨迹在0到-3之间4、渐近线11/2/2022585、确定分离点d解方程得（舍去）11/2/2022596、确定起始角11/2/2022607、确定根轨迹与虚轴的交点。令 代入上式解得闭环系统的特征方程为11/2/202261图417 例47根轨迹11/2/202262十、根之和与根之积如果系统特征方程写成如下形式1、闭环特征根的负值之和，等于闭环特
16、征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。11/2/202263Tipsn在开环极点已确定不变的情况下，其和在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，为常值，因此，n-m 2的系统，当增益的系统，当增益的变动使某些闭环极点在平面上的变动使某些闭环极点在平面上向左向左挪动时，则必有另一些极点挪动时，则必有另一些极点向右向右移动，这移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。根轨迹的走向很有意义。2、闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。11/2/202264例48已知单位负反馈系统开环传递函数为试画出 时的闭环
17、系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。11/2/202265解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：1.n=4，有四条根轨迹；2.起始于开环极点0，20，2-j4,-2+j4，终于无穷远处；3.实轴上的根轨迹在（0，20）区间；4.n=4,m=0,则有四条根轨迹趋于无穷远，他们的渐近线于实轴的交点和夹角为11/2/202266取取11/2/2022675、根轨迹的起始角。解得6、分离点坐标d。舍舍11/2/2022687、根轨迹于虚轴交点。系统特征方程解得解得则两个闭环则两个闭环极点极点令令代入代入11/2/202269此时特征方程为利用综合除法，可求出其他两个闭环极点11/2/20
18、2270图419例48根轨迹图11/2/202271图4-18常见闭环系统根轨迹图11/2/202272根轨迹作图步骤一、写出一、写出G G（s s），写出其零极点；），写出其零极点；二、在二、在s s平面上标出开环零极点；平面上标出开环零极点；三、作出实轴上的根轨迹；三、作出实轴上的根轨迹；四、四、n-mn-m条渐近线，并标出；条渐近线，并标出；五、根轨迹与虚轴的交点；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；六、根轨迹的分离点、会合点；七、七、根轨迹的出射角、入射角。根轨迹的出射角、入射角。结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数
19、、起始点和终点等性质画出根轨迹。终点等性质画出根轨迹。11/2/202273渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：11/2/202274求分离会合点：由特征方程由图知这两点并不在根轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。11/2/202275渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：11/2/202276求分离会合点：由特征方程由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。11/2/202277
20、渐近线例开环传递函数为：，画根轨迹。出射角 ，求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：，11/2/202278求分离会合点：由特征方程由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离角为11/2/20227943 广义根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹一、开环零点变化时的根轨迹设系统开环传递函数为(4-59)闭环特征方程为(4-60)等效变换成11/2/202280令（461）显然，利用式461就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。11/2/202281二、开环极点变化时的根轨迹设一负反馈系统的开环传递函数为现在研究 变
21、化的根轨迹。等效开环传递函数为根据（462）可画出 变化时的广义根轨迹。11/2/202282已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。例4-10解：题目显然是求广义根轨迹问题。11/2/202283系统特征方程为等效开环传递函数为等效开环传递函数有3个零点0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出广义根轨迹如图4-21。11/2/202284图4-21例4-10根轨迹图11/2/202285 分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的
22、根轨迹。三、零度根轨迹图4-2211/2/202286特征方程根轨迹方程研究内回路11/2/202287从而相角方程及模值方程相应为11/2/202288使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改法则四 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。法则五 根轨迹的渐近线计算公式不变。11/2/202289法则六 根轨迹的起始角与终止角法则八 分离角与会合角除上述四个法则外，其他法则不变除上述四个法则外，其他法则不变11/2/202290绘制零度根轨迹的基本法则 法则法则 5 5 渐近线渐近线法则法则 1 1 根轨迹的起点和终点根轨迹的起
23、点和终点法则法则 2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 4 4 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/入射角入射角11/2/202291例4-11图4-23正反馈系统的结构图如图4-23所示，试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。其中11/2/202292解：解：该系统是正反馈系统。当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。终止于开环零点实轴根轨迹在 区间内。起始于开环极点11/2/202293图
24、4-24例4-11根轨迹图11/2/20229444 系统闭环零、极点分别 与阶跃响应的关系由开环 闭环极点的根轨迹求闭环极点确定闭环传函闭环系统动态性能主要任务：11/2/202295一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式阶系统的闭环传递函数可写为：阶系统的闭环传递函数可写为：11/2/202296设输入为单位阶跃：设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：有：假设假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式中无重极点，上式分解为部分分式11/2/20229711/2/202298将将C(s)表达式进行拉式反变换得：表达式进行拉式反变换得：（474）n从式子
25、看出，系统单位阶跃响从式子看出，系统单位阶跃响应将有闭环极点及系数决定，应将有闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布而系数也与闭环零、极点分布有关。有关。11/2/202299二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定 性关系稳定性所有闭环极点为于s平面的 左半部；复数极点设置在s平面中与负实轴成 夹角线附近；平稳性11/2/2022100快速性闭环极点远离虚轴；动态过程尽快消失 小,闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。11/2/2022101三、主导极点和偶极子三、主导极点和偶极子主导极点主导极点：就是对动态过程影响占主：就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极导地位的极
26、点，一般是离虚轴最近的极点。点。11/2/2022102偶极子：偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、就是一对靠得很近的闭环零、极点。极点。11/2/2022103四、利用主导极点估算系统的性能指标四、利用主导极点估算系统的性能指标既然主导极点在动态过程中起主要作用，既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。的公式和曲线。
27、11/2/2022104例4-12试近似计算系统的动态性能指标 。解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图4-25所示。某系统的闭环传递函数为11/2/2022105 极点 离虚轴最近，所以系统的主导极点为 ，而其他两个极点可以忽略。图4-2511/2/2022106这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为式中：T=0.67s根据时域分析可知一阶系统无超调，调节时间11/2/2022107例4-13系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。11/2/2022108解：闭环零、极点分布如图(4-26)所示图4-2611/2/2022109系统近似为二阶系统对应性能指标11/2/2022110
28、例4-14已知系统开环传递函数为试应用根轨迹分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。11/2/2022111解：图4-27 根轨迹图图4-27 根轨迹图按步骤作出系统的根轨迹，如图4-27所示。11/2/2022112分析系统稳定性 在平面上画出 时的阻尼线。阻尼线与根轨迹交点的坐标设为 ，从图上测得 ，与之共轭的复数极点为 。已知系统闭环特征方程及两个极点，用长除法求出第三个极点 。使系统稳定的开环增益范围是11/2/2022113系统闭环传递函数近似为二阶系统二阶系统在单位阶跃信号作用下的性能指标：11/2/202211445系统阶跃响应的根轨迹分析例415 已知
29、系统结构如图428所示。试画出当 由 时的闭环根轨迹，并分析 对系统动态过程的影响。图42811/2/2022115解：系统开环传递函数有两个极点0，2；有一个零点4。此类带零点的二阶系统的根轨迹，其复数部分为一个园，其圆心在开环零点处，半径为零点到分离点的距离。根轨迹如图429所示。11/2/2022116n图图42911/2/2022117系统根轨迹分离点 对应开环增益1.当开环增益在（00.686）内，闭环为两个负实数极点，系统再阶跃信号下响应为非周期。2.当开环增益在（0.68623.4）内，闭环为一对共轭复数极点，其阶跃响应为振荡衰减过程。11/2/2022118下面求系统最小阻尼比
30、对应的闭环极点。过原点做与根轨迹圆相切的直线，此切线与负实轴夹角的余弦即为系统的阻尼比3、当开环增益在 内，闭环又为负实数极点，其阶跃响应又为非周期的。11/2/2022119对应闭环极点系统阶跃响应有较好平稳性。11/2/2022120例416单位反馈系统的开环传递函数试绘出闭环系统的根轨迹。11/2/2022121解：此系统开环有三个极点0，0，10图4-30按步骤作出系统的根轨迹，如图4-30所示。11/2/2022122 图中两条根轨迹位于s平面右半部，即闭环始终有两个右极点。说明开环增益无论取何值，系统均不稳定。若在系统中附加一个负实数零点Z1，用来改善系统的动态性能，则系上统的开环
31、传递函数为11/2/2022123图4-31 附加零点后的根轨迹11/2/202212411/2/2022125图4-32 附加零点后的根轨迹11/2/202212611/2/20221274 44 4 线性系统的根轨迹线性系统的根轨迹1 1 pzmap pzmap 绘制系统的零极点图。绘制系统的零极点图。格式格式1：pzmap(A,B,C,D)p,z=pzmap(A,B,C,D)pzmap(A,B,C,D)p,z=pzmap(A,B,C,D)格式格式2：pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den)pzmap(num,den)p,z=pzmap(num,den)格式格式3：
32、pzmap(p,z)pzmap(p,z)说明：说明：极点用极点用“”表示，零点用表示，零点用“o o”表示。表示。对于不带返回参数的将对于不带返回参数的将绘制零极点图。绘制零极点图。对于带有返回参数的将不作图对于带有返回参数的将不作图,其中其中返回参数返回参数P P为极点的为极点的 列向量，列向量，z z为零点的列向量。为零点的列向量。格式格式3 是将已知的零点是将已知的零点z极点极点p绘制在绘制在复平面上。复平面上。根轨迹是指当根轨迹是指当系统系统开环的某一个（或几个）参数开环的某一个（或几个）参数(一般取系一般取系统的开环放大倍数统的开环放大倍数K)K)从从0 0到到时时,闭环特征方程的根
33、在复平面闭环特征方程的根在复平面上轨迹上轨迹。利用根轨迹可以分析系统的暂态和稳态性能。利用根轨迹可以分析系统的暂态和稳态性能。MATLAB MATLAB专门提供了绘制根轨迹的函数：专门提供了绘制根轨迹的函数：rlocus()rlocus()绘制根轨绘制根轨迹迹,rlocfind()rlocfind()计算根轨迹的增益计算根轨迹的增益,pzmap()pzmap()绘制零极点图绘制零极点图 11/2/2022128 2 2 rlocus rlocus 求系统根轨迹。求系统根轨迹。格式格式1 1：rlocus(num,den)rlocus(num,den,k)rlocus(num,den)rlocu
34、s(num,den,k)R,K=rlocus(num,den)R,K=rlocus(num,den R,K=rlocus(num,den)R,K=rlocus(num,den，k)k)格式格式2 2：rlocus(A,B,C,D)rlocus(A,B,C,D,k)rlocus(A,B,C,D)rlocus(A,B,C,D,k)R,K=rlocus(A,B,C,D)R,K=rlocus(A,B,C,D,k)R,K=rlocus(A,B,C,D)R,K=rlocus(A,B,C,D,k)说明：说明：k k为用户设定的值绘制根轨迹，若省略机器自动生成。为用户设定的值绘制根轨迹，若省略机器自动生成。对
35、于不带返回参数的将对于不带返回参数的将绘制绘制根轨迹根轨迹。对对于于带带有有返返回回参参数数的的将将不不作作图图,其其中中返返回回参参数数R R对对应应K K增增益益的的 闭闭 极极 点点 的的 位位 置置。开开 环环 增增 益益 K K对对 应应 的的 闭闭 环环 特特 征征 方方 程程 为为：1+kG(S)H(S)=1+k num/den=01+kG(S)H(S)=1+k num/den=011/2/2022129 3 3 rlocfind rlocfind 计计算算根根轨轨迹迹上上给给定定一一组组极极点点所所对对应应的的增益。增益。格式格式1 1：K,poles=rlocfind(A,B
36、,C,D)K,poles=rlocfind(A,B,C,D)K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P)K,poles=rlocfind(A,B,C,D,P)格式格式2 2：K,poles=rlocfind(num,den)K,poles=rlocfind(num,den)K,poles=rlocfind(num,den,P)K,poles=rlocfind(num,den,P)说说明明：由由rlocfind()rlocfind()绘绘制制的的根根轨轨迹迹图图形形窗窗口口中中将将显显示示十十字字光光标标，当当用用户户选选择择其其中中一一点点时时，该该极极点点所所对对应应的的增增益益由
37、由K K记记录录，与与增增益益有有关关的的所所有有极极点点记记录录在在polespoles中中。也也可可通通过过指指定定极极点点p得得到到增增益益的的向向量量。向向量量K K的的第第m m项项是是根根据据极极点点位位置置P P（m m）计算的增益，矩阵）计算的增益，矩阵polespoles的第的第m m列是相应的闭环极点。列是相应的闭环极点。11/2/2022130例：已知系统的开环传递函数例：已知系统的开环传递函数求系统开环零、极点的位置求系统开环零、极点的位置num=2 5 1;den=1 2 2;pzmap(num,den);分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式求零极点函数求零极点函
38、数11/2/2022131-2.2808 -0.2192-1.0000+1.0000i -1.0000-1.0000i11/2/2022132例：已知系统的开环传递函数例：已知系统的开环传递函数绘制该系统的根轨迹图绘制该系统的根轨迹图num=2 5 1;den=1 2 2;rlocus(num,den);Title（控制系统根轨图控制系统根轨图）分子多项式分子多项式分母多项式分母多项式绘制根轨迹函数绘制根轨迹函数打印标题打印标题11/2/202213311/2/2022134本章总线索 T法则开环传递函数零、极点pi,zi闭环根轨迹(加上闭环零点)简化处理一、二阶系统系统性能指标定性分析,求K的取值范围 “法则”是指绘制根轨迹的基本法则，“简化处理”是指利用主导极点和偶极子的概念，将高阶系统近似地看成一阶或二阶系统。“定性分析”可以包含阶跃响应的不同形式对K取值的要求，例如阶跃响应单调收敛，振荡收敛，最佳阻尼比，系统稳定等。11/2/2022135