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1、3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分求解系统任意激励响应的方法求解系统任意激励响应的方法 该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。实质上激励不再是周期性的。实质上激励不再是周期性的。该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐
2、次项的微分方程，都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。傅里叶积分法傅里叶积分法卷积积分法卷积积分法3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 一一单单位位脉脉冲冲输输入入，具具有有零零初初始始条条件件的的系系统统响响应应，称称为系统的为系统的脉冲响应脉冲响应。宽度宽度T0，高度，高度1/T0的矩形脉冲，如图的矩形脉冲，如图3
3、.3-1(a)所示。所示。这个矩形脉冲的面积为这个矩形脉冲的面积为1。为为了了得得到到单单位位脉脉冲冲，使使脉脉冲冲宽宽度度T0接接近近于于零零，而而保保持面积为持面积为1。图 3.3-13.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲在极限情况下，单位脉冲的数学定义为在极限情况下，单位脉冲的数学定义为 这这个个脉脉冲冲发发生生在在t=0处处，如如图图3.3-1(b)所所示示。如如果果单单位位脉脉冲冲发发生生在在t=a处处，则它可由下式定义则它可由下式定义(3.3-1)(3.3
4、-2)注注意意，(t-a)是是一一个个沿沿着着时时间间轴轴的的正正向向移移动动了了a时时间间的的单单位脉冲。位脉冲。图 3.3-13.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 数数学学上上，单单位位脉脉冲冲必必须须具具有有零零脉脉冲冲宽宽度度、单单位位面面积积和和无无限限的的高高度度。这这样样的的脉脉冲冲模模型型不不可可能能在在现现实实应应用用中中实实现。现。在在具具体体系系统统的的脉脉冲冲试试验验中中，若若激激励励的的持持续续时时间间同同系系统统的的固固有有周周期期(T=
5、1/f)相相比比时时非非常常的的短短，则则激激励励就就可可以以考虑为一个脉冲。考虑为一个脉冲。函函数数的的单单位位为为s-1，在在其其它它方方面面的的情情况况，函函数数将将有有不同的量纲。不同的量纲。具具有有上上述述特特性性的的任任何何函函数数(并并不不一一定定是是矩矩形形脉脉冲冲)，都可用来作为一个脉冲，而且称为都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。函数。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 如如果果在在t=0与与t=a处处分分别别作作用用有有瞬瞬时时冲冲量量 ，则
6、则对对应应的的脉冲力脉冲力可方便地写成可方便地写成式中式中 的单位为的单位为Ns。单单自自由由度度阻阻尼尼系系统统对对脉脉冲冲力力 的的响响应应，系统振动微分方程为系统振动微分方程为 假定系统在作用脉冲力假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即之前处于静止，即(3.3-3)(3.3-4)(3.3-5)由于由于F(t)作用在作用在t=0处，对于处，对于t0+，系统不再受脉冲力的系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。作用，但其影响依然存在。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉
7、冲响应脉冲响应 把把求求解解单单自自由由度度阻阻尼尼系系统统对对脉脉冲冲力力F(t)的的响响应应问问题题变变换换为为系系统统对对于于零零初初始始条条件件的的响响应应问问题题，将将变变成成t=0+处处的初始条件引起的自由振动。的初始条件引起的自由振动。为为了了找找出出t=0+的的初初始始条条件件，对对方方程程(3.3-4)在在区区间间0-t 0+上积分两次，有上积分两次，有(3.3-6)因为因为(3.3-7)则方程则方程(3.3-6)中中的左端第二项、第三项、右端项的积分值的左端第二项、第三项、右端项的积分值均为无限小量，可以略去不计。均为无限小量，可以略去不计。3.3 3.3 系统对任意激励的
8、响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应根据式根据式(3.3-6),考虑到考虑到x(0-)=0，则有，则有也也就就是是说说，在在脉脉冲冲力力 作作用用的的极极短短时时间间内内，质质量量m还还来不及发生位移来不及发生位移。x(0+)=0(3.3-8)对方程对方程(3.3-4)在区间在区间0-t 0+上积分一次，有上积分一次，有(3.3-9)同理，得同理，得(3.3-10)若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，可以认为在变化，可以认为在 t=
9、0 时作用的脉冲力等效于时作用的脉冲力等效于初始速度初始速度 3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 方程方程(3.3-4)等价于初始速度引起的自由振动，即等价于初始速度引起的自由振动，即(3.3-11)其解为其解为(3.3-12)令令 ，则则系系统统受受单单位位脉脉冲冲力力 F(t)=(t)的的作作用用，其其响应称为响应称为脉冲响应脉冲响应。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积
10、积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应为脉冲响应为(3.3-13)3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分 利利用用脉脉冲冲响响应应，可可以以计计算算对对任任意意激激励励函函数数F(t)的的响响应应，把把F(t)视视为为一一系系列列幅幅值值不不等等的的脉脉冲冲，用用脉脉冲冲序序列列近近似地代替激励似地代替激励F(t)。如如图图3.3-2所所示示，在在任任意意时时刻刻t=处处，相相应应的的时时间间增增量量为为，由由一一个个大大小小为为F()的的脉脉冲冲，相相应的力可以用数学表示
11、为应的力可以用数学表示为因因为为在在t=处处对对脉脉冲冲响响应应为为h(t-)，所所以以此此脉脉冲冲的的响响应应为为其其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即图 3.3-23.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分(3.3-14)通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为为令令0，并取极限，上式表示为积分形式，并取极限，上式表示为积分形式(3.3-15)上上式式称称为为卷卷积积积积分分，又又称称为为杜杜哈哈梅梅(D
12、uhamel)积积分分，它它将响应表示成脉冲响应的叠加。将响应表示成脉冲响应的叠加。(3.3-16)代入代入h(t-)的表达的表达式式(3.3-13)，得到，得到3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分 若若在在t=0时时，任任意意激激励励F(t)作作用用的的瞬瞬时时，系系统统的的初初始始位移和初始速度为位移和初始速度为则则系系统统的的响响应应是是由由激激励励和和初初始始条条件件引引起起的的响响应应的的叠叠加加，即即(3.3-17)它表示它表示单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件
13、单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件和任意激励的响应。和任意激励的响应。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分 令令t-=u，则则-d=du，此此外外考考虑虑(3.3-15)中中的的积积分分限限界界，当当=0时时，u=t，当当=t时时,u=0，将将其其代代入入式式(3.3-15)，得到，得到上式为上式为卷积积分的另一种表达形式卷积积分的另一种表达形式。式式(3.3-15)中中的的 和和式式(3.3-18)中中的的u只只是是积积分分变变量量，可见卷积积分对于激励可见卷积积分对于激
14、励F(t)和脉冲响应和脉冲响应h(t)是对称的，即是对称的，即(3.3-18)(3.3-19)卷卷积积积积分分在在线线性性系系统统研研究究中中是是一一个个有有力力的的工工具具。虽虽然然Duhamel积积分分不不便便于于笔笔算算，但但是是用用电电子子计计算算机机就就可可容容易地进行计算。易地进行计算。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-1）例例3.3-1 设设一一单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统受受到到的的简简谐谐激激励励如下：如下：试用卷积积分计算其响应。试
15、用卷积积分计算其响应。解：解：在方程在方程(3.3-16)中，令中，令=0，d=n，则则3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-1）因因为为当当t0时时没没有有激激励励，所所以以其其响响应应应应该该写写成成下下面面的的形形式式上上式式右右端端第第一一项项代代表表强强迫迫振振动动，它它是是按按激激励励频频率率进进行行的的稳稳态态运运动动，即即使使振振动动系系统统有有阻阻尼尼也也并并不不衰衰减减；第第二二项项是是按按固固有有频频率率n进进行行的的自自由由振振动动，只只要
16、要振振动动有有极极微微小小的的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动同时得出。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动同时得出。3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-2）例例3.3-2 试试确确定定单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统在在零零初初始始条条件件下下对对图图3.3-3中激励函数的响应。中激励函数的响应。解：解：由图可得激励函数为由图可得激励函数为当当0tt1时，时，时，由方程时，由方程(3.3-
17、17)得到得到图 3.3-33.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分例题（例题（3.3-2）当当t1tt2时，有时，有3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应单位阶跃响应 如如图图3.3-4所所示示的的单单位位阶阶跃跃函函数数在在数数学学上上可可以定义为以定义为单位阶跃函数单位阶跃函数是无量纲的函数。是无量纲的函数。显然，函数在显然，函数在t=a处有一处有一突变，其值从突变，其值从
18、0跳到跳到1。(3.3-20)如果突变发生于如果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写处，那么这一函数可以简单地写成成u(t)，其在数学上可以定义为其在数学上可以定义为图 3.3-43.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃函数单位阶跃函数 当一个任意函数当一个任意函数F(t)与单位阶跃函数与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，相乘时，F(t)u(t-a)相对于相对于ta的部分则的部分则不受影响，即不受影响，即(3.3-21)单位阶跃函数单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函
19、数与脉冲函数(t-a)之间存在着密之间存在着密切的积分关系，即切的积分关系，即(3.3-22)反过来，则反过来，则(t-a)可以视为可以视为u(t-a)对时间导数，即对时间导数，即(3.3-23)3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 当当初初始始条条件件为为零零时时，系系统统对对在在t=0处处所所作作用用的的单单位位阶阶跃跃函函数数u(t)的的响响应应，称称为为系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应，用用g(t)表示。表示。将将F()=u()代代入入卷
20、卷积积积积分分，可可得得单单位位阶阶跃跃响响应应，有有(3.3-24)考虑到考虑到(3.3-25)3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分因而积分因而积分(3.3-24)可以改写成可以改写成令令t-=，d=-d，并并互互换换积积分分的的限限界界后后，积积分分(3.3-26)成为成为(3.3-26)(3.3-27)3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响
21、应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应这里用到这里用到3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应式式中中单单位位阶阶跃跃函函数数u(t)将将自自动动表表明明t0时时g(t)=0。式式(3.3-28)也可以变换为也可以变换为方程方程(3.3-27)简化为简化为(3.3-28)(3.3-29)式中式中(3.3-30)3.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应
22、单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应g(t)对对t的曲线如图的曲线如图3.3-5所示。所示。图图 3.3-53.3 3.3 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分3 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 突加单位力不仅使弹簧产生静变形突加单位力不仅使弹簧产生静变形1/k，同时，同时使系统发生振幅为使系统发生振幅为 的衰减运动。的衰减运动。若若忽忽略略阻阻尼尼不不计计，即即=0，d=n，则则单单位位阶阶跃跃响响应为应为(3.3-31)可见弹簧有最大的变形可见弹簧有最大的变形2/k ，等于静变形的两倍。，等于静变形的两倍。